分析动力学基础及运动方程的建立市公开课获奖课件

1、结构动力学 第 2 章 分析动力学基础及 运动方程建立第1页第1页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.1 基本概念 广义坐标与动力自由度 功和能 实位移、也许位移和虚位移 广义力 惯性力 弹簧恢复力 阻尼力 线弹性体系和粘弹性体系 非弹性体系第2页第2页2.1 基本概念2.1.1 广义坐标与动力自由度广义坐标：能决定质点系几何位置彼此独立量称为该质点系广义坐标。广义坐标能够取长度量纲量，也能够用角度甚至面积和体积来表示。 静力自由度：拟定结构体系在空间中位置所需独立参数数目称为结构自由度。 动力自由度：结构体系在任意瞬时一切也许变形中，决定所有质量位置所需独立参数数目称为结构动力自由度。

2、广义坐标必须是互相独立参数，其选择原则是使解题以便。动力自由度数目与结构体系约束情况相关。第3页第3页2.1 基本概念2.1.2 功和能功 有势力和势能 动能满足下列性质力称为有势力：（1）力大小和方向只决定于体系中各质点位置；（2）力作功只取决于运动起始点和终点相对位置，而与详细运动路径无关。第4页第4页2.1 基本概念2.1.3 实位移、也许位移和虚位移也许位移： 满足所有约束方程位移称为体系也许位移。实位移： 假如位移不但满足约束方程，并且满足运动方程 和初始条件，则称为体系实位移。虚位移： 在某一固定期刻，体系在约束许可情况下也许 产生任意组微小位移，称为体系虚位移。 第5页第5页2.

3、1 基本概念2.1.4 广义力广义力是标量而非矢量，广义力与广义坐标乘积含有功量纲。第6页第6页2.1 基本概念2.1.5 惯性力（Inertial Force） 惯性：保持物体运动状态能力。惯性力：大小等于物体质量与加速度乘积， 方向与加速度方向相反。 I 表示惯性（Inertial）；m 质量（mass）； 坐标方向：向右为正 质点加速度。第7页第7页2.1 基本概念2.1.6 弹簧恢复力（Resisting Force of Spring） 对弹性体系，弹簧恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)乘积 方向指向体系平衡位置。 s 表示弹簧（Spring）k

4、 弹簧刚度（Spring Stiffness）u 质点位移 第8页第8页2.1 基本概念单层框架结构水平刚度 h框架结构高度L梁长度E弹性模量Ib和Ic梁和柱截面惯性矩第9页第9页2.1 基本概念2.1.7 阻尼力（Damping Force） 阻尼：引起结构能量耗散，使结构振幅逐步变小一个作用。阻尼起源（物理机制）：(1)固体材料变形时内摩擦，或材料快速应变引起热耗散；(2)结构连接部位摩擦，结构构件与非结构构件之间摩擦；(3)结构周围外部介质引起阻尼。比如，空气、流体等。粘性(滞)阻尼力可表示为： D 表示阻尼（Damping） c 阻尼系数（Damping coefficient） 质点

5、运动速度 第10页第10页2.1 基本概念阻尼系数 c 确实定：不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和材料力学性质等来取得，由于c是反应了各种耗能原因综合影响系数，阻尼系数普通是通过结构原型振动试验办法得到。粘性(滞)阻尼理论仅是各种阻尼中最为简朴一个。其它惯用阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，普通为常数；滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比(相位与速度相同)； 流体阻尼：阻尼力与质点速度平方成正比。滞变阻尼时滞阻尼复阻尼第11页第11页2.1 基本概念2.1.8 线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic

6、 System)线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）构成体系。 最简朴抱负化力学模型。 粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼（粘性阻 尼）影响时体系。 结构动力分析中最基本力学模型。 第12页第12页2.1 基本概念2.1.9 非弹性体系 (Inelastic System)结构构件力-变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数。构件（或弹簧）恢复力可表示为 fs是位移和速度 非线性函数。图2.6 非弹性体系中结构构件力与位移关系 第13页第13页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.2 基本力学原理与 运动方程建立 DAlembert原理 虚位移原理 Hamilton原理 Lagran

7、ge方程第14页第14页2.2 基本力学原理与运动方程建立运动方程： 描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系 数学表示式。（有时也称为动力方程）运动方程是进行结构动力分析基础运动方程建立是结构动力学重点和难点本章首先通过对简朴结构体系(单自由度体系)讨论简介结构动力分析中存在基本物理量及建立运动方程办法，然后简介更复杂多自由度体系运动方程建立。 第15页第15页基本动力体系： 应涉及结构动力分析中涉及所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。单自由度体系： SDOF (Single-Degree-of-Freedom) System 结构运动状态仅需要一个几何参数即能够拟定 第16页第16页基本动

8、力体系两个典型单自由度体系 (a) 单层框架结构 (b) 弹簧质点体系 物理元件： 质量 集中质量m 阻尼器 阻尼系数c 弹簧 弹簧刚度k两个力学模型完全等效由于两个体系运动方程相同 第17页第17页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.1 DAlembert原理（直接动力平衡法）DAlembert原理：在体系运动任一瞬时，假如除了实际作用结构积极力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想）惯性力，则在该时刻体系将处于假想平衡状态（动力平衡）。 单质点体系受力分析 第18页第18页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.1 DAlembert原理DAlembert原理长处： 静力问题是人

9、们所熟悉，有了DAlembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控制方程办法，都能够用于建立动力问题平衡方程，使对动力问题思考有一定简化。对诸多问题，DAlembert原理是用于建立运动方程最直接、最简便办法。DAlembert原理奉献： 建立了动力平衡（简称：动平衡）概念。第19页第19页2.2 运动方程建立 也许位移；实位移；虚位移 2.2.2 虚位移原理虚位移原理：在一组外力作用下平衡系统发生一个虚位移时， 外力在虚位移上所做虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件无限小位移。设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做总虚功为: 单质点体系受力分析第20

10、页第20页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.2 虚位移原理虚位移原理优点：虚位移原理是建立在对虚功分析基础之上，而虚功是一个标量，能够按代数方式运算，因而比DAlembert原理中需要采取矢量运算更简便。对以下图所表示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些 第21页第21页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理能够应用变分法（原理）建立结构体系运动方程。 在数学上，变分问题就是求泛函极值问题。 在这里，泛函就是结构体系中能量（功）。 变分法是求体系能量（功）极值。 体系平衡位置是体系稳定位置，在稳定位置，体系能量取得极值,普通是极小值。 Hamilton原

11、理是动力学中变分法（原理）。第22页第22页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理(积分形式动力问题变分办法) Hamilton原理：在任意时间区段t1, t2内，体系动能和位能变分加上非保守力做功变分等于0。 T 体系总动能；V 体系位能，包括应变能及任何保守力势能；Wnc 作用于体系上非保守力(包括阻尼力及任意外荷载)所做功； 在指定期间段内所取变分。 对于静力问题 : 最小势能原理。 第23页第23页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.3 Hamilton原理 Hamilton原理长处：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能变分代替。因而对这两项

12、来讲，仅涉及处理纯标量，即能量。而在虚位移原理中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功力和虚位移则都是矢量。动能：集中质量 转动质量位能：拉伸弹簧 转动弹簧多自由度体系： 动能 位能第24页第24页2.2 基本力学原理与运动方程建立用Hamilton原理建立体系运动方程体系动能： 位能(弹簧应变能)：因此能量变分：非保守所做功变分(等于非保守力在位移变分上作功) 将以上两式代入Hamilton原理变分公式，得：对上式中第一项进行分部积分第25页第25页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.4 Lagrange方程 Hamilton原理是一个积分形式动力问题变分办法，实际尚有另外与之等价微分形

13、式动力问题变分原理，就是运动Lagrange方程，其表示式下列： 其中： T 体系动能； V 体系位能，包括应变能及任何保守力势能； Qj与qj相应广义力。第26页第26页2.2.4 Lagrange运动方程 算例2.8 如图所表示一复合摆，摆杆长分别为l1和l2，摆质量分别为m1和m2，忽略杆分布质量，采用Lagrange方程建立体系无阻尼自由运动方程。广义坐标q1和q2取为杆1和杆2转角。为以便计算体系动能，也给出了直角坐标系，在直角坐标系中更容易建立体系势能和动能公式。 第27页第27页2. 2.4 Lagrange运动方程 直角坐标x、y 算例2.8和广义坐标q1、q2关系及其速度之间

14、关系下列： 第28页第28页2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8体系动能T：设q1=q2= 0时是0势能位置，则势能（位能）V：第29页第29页2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8取Lagrange方程中i=1, 2，得到， 假设非保守力，即阻尼力和外力都为零，则Q1=Q2=0，将T和V代入Lagrange方程得复合摆运动方程： 能够发觉以上运动方程公式是高度非线性。第30页第30页2. 2.4 Lagrange运动方程 算例2.8复合摆运动方程： 当微幅振荡时，q1、q2很小，忽略高阶小量，运动方程可化为：这是一线性方程组，可见只有当微幅摆动时，复合摆运动方程才成

15、为线性。当m2=0时，得到单摆运动方程:第31页第31页2.2 基本力学原理与运动方程建立2.2.4 Lagrange方程 应用Lagrange方程办法建立体系运动方程环节：建立坐标系，拟定广义坐标；建立广义坐标与物理坐标之间关系；写出体系动能和势能表示式；代入Lagrange方程写出体系运动方程。 第32页第32页四种建立运动方程办法特点DAlembert原理：是一个简朴、直观建立运动方程办法，得到广泛应用。DAlembert原理建立了动平衡概念，使得在结构静力分析中一些办法能够直接推广到动力问题。当结构含有分布质量和弹性时，直接应用DAlembert原理，用动力平衡办法来建立体系运动方程也

16、许是困难。虚位移原理：部分避免了矢量运算，在取得体系虚功后，能够采用标量运算建立体系运动方程，简化了运算。第33页第33页五种建立运动方程办法特点Hamilton原理：是一个建立运动方程能量办法(积分形式变分原理) ，假如不考虑非保守力作功（主要是阻尼力），它是完全标量运算，但事实上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。Hamilton原理美妙在于它以一个极为简练表示式概括了复杂力学问题。Lagrange方程：得到更多应用，它和Hamilton原理同样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全标量分析办法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时

17、最为困难处理对象。第34页第34页2.2 基本力学原理与运动方程建立4种建立运动方程办法特点运动方程办法第35页第35页2.2 基本力学原理与运动方程建立单自由度体系运动方程单自由度系统运动方程反应了结构动力学中将碰到几乎所有物理量(1) 质量m,和惯性力：(2) 阻尼c,和阻尼力：(3) 刚度k,和弹性恢复力：对于多自由度体系： 第36页第36页第2章 分析动力学基础及运动方程建立 2.3 重力影响 第37页第37页2.3 重力影响 静平衡位置：受动力作用以前结构所处实际位置 st重力W=mg作用下体系静位移记：动位移为u 惯性力、阻尼力和弹性恢复力分别为： 应用DAlembert原理：外荷

18、载为：第38页第38页2.3 重力影响 考虑重力影响时，结构体系运动方程与无重力影响时运动方程完全同样，此时u是由动荷载引起动力反应。可见在研究结构动力反应时，能够完全不考虑重力影响，建立体系运动方程，直接求解动力荷载作用下运动方程，即得到结构体系动力解。当需要考虑重力影响时，结构总位移为总位移=静力解+动力解 即能够应用叠加原理将结构动力反应和静力反应相加即得到结构总体反应。 在结构反应问题中，应用叠加原理可将静力问题（普通是重力问题）和动力问题分开计算。第39页第39页2.3 重力影响 并不是对任何结构动、静力反应问题都能够这样处理，由于在以上推导中，假设弹簧刚度k为常数，即结构是线弹性，因此只有对线弹性结构（假如是二维或三维问题，还要加上小变形（位移）限