以密码学为主题的数学研究性学习翻转课堂教学研究

1、以密码学为主题的数学研究性学习翻转课堂教学研究摘 要：分析阐释数学与密码学的关系，以数学课程为主线，设计几个以密码学为主题的研究性课题。 促进学生对数学的理解，在一定程度上提高学生利用数学知识解决网络空间安全问题的能力。关键词：数学；密码学；微课；翻转课堂；研究性学习0引言随着2016年网络空间安全国家战略1的提 出，网络空间安全知识越来越受到人们的重视, 密码学是其中的重要理论基础2，因而很多学者 致力于密码学知识的科普工作邓。数学课程贯 穿于从小学到大学甚至博士的各个阶段，其重要 性毋庸置疑，研究性学习是数学的一种重要教学 内容。密码学的很多理论都以数学为基础，是数 学基本理论的应用。把数

2、学和密码学结合起来, 利用微课5、翻转课堂6等新教学模式，探讨以 密码学为主题的数学研究性学习，不仅可以培养 学生利用数学知识解决实际问题的能力，促进学 生了解密码学相关知识，提高综合素质，而且可 以提升教师的教学能力和水平。1 预备知识数学是贯穿整个学习过程的一门学科，密 码学作为数学在网络空间安全应用的一门新兴学 科，两者关系密切，相互促进。研究性学习与翻 转课堂的目标都是为了培养学生的创新能力、合 作能力、自主解决问题能力，两者结合有助于提 高教学效果。本章我们主要从数学与密码学的关 系、研究性学习的概念、微课与翻转课堂等新教 学模式几个方面，探讨以密码学为主题的数学研 究性学习翻转课堂

3、教学研究的重要性。数学与密码学密码学7是在存在第三方敌手的情况下实现 安全通信技术的实践和研究，涉及消息机密性、 完整性、身份认证、数字签名、访问控制等诸多 领域，拥有密码编码学和密码分析学两个分支， 是网络空间安全的基础与核心。密码学涉及较多 的数学知识8，如数论、图论、椭圆曲线、概率 论、数理逻辑等，还涉及计算机、通信工程等多 个学科，是数学学科的一个重要应用。所用的数 学知识，有的涉及比较高深的数学知识，有的只 需要中小学的数学知识。研究性学习研究性学习9是指学生在教师指导下，从生 活中选择研究专题、主动获取知识、应用知识、 解决问题的学习活动，是学生自主开展的以科学 研究为主的课题研究

4、活动。研究表明10，研究 性学习通过学生研究复杂、新奇的问题，提高了 学习兴趣、学习成绩和提出问题的能力，提高了 学习质量。研究性学习的主要目标11是培养学生的创新意识与能力、问题意识、合作意识与能 力、关注社会现实意识与责任感。1.3微课、翻转课堂教学模式微课5是围绕学科知识点，针对教学环节 设计制作的一系列微视频教学资源。翻转课堂6 是对传统教学模式的翻转，学生在课前利用教 师的微课视频等资源学习，在课堂上在教师的 指导下完成作业或者 实验的一种教学模 式。翻转课堂加强了 学生自主学习、自主 探索的过程，更符合 人类的认知规律，体 现了 “以学生为中 心”的教学理念。2 基于密码学的 数学

5、研究性学习教 学设计(b)图1移位密码(a (b)图1移位密码这里主要针对移 位密码和秘密分割两 部分内容做研究性学习设计，这两部分内容都 需要选择一个学生感兴趣的实际应用故事，这种 故事在一般的密码学书籍中都有介绍，我们没有 在此给出。对于移位密码，主要通过学习相关数 学知识的应用，让学生不仅巩固相关数学知识， 而且理解密码学中明文、密文、加密、密码分 析、基尔霍夫原则等基本概念。对于秘密分割， 主要是在巩固相关数学知识的基础上，理解密 码学中秘密分割的基本概念及其常见的门限方 案构造方法。2.1移位密码古典密码体制中的移位变换密码12是一种 代换密码，把26个字母围成一圈，以密钥3(凯 撒

6、密码)为例，加密是每个字母向后移3个，解 密是每个字母向前移3个。小学二年级数学学习认识时间。钟表，同一 个刻度“1”，时针指过来，表示“1小时”，分 针指过来，表示“5分钟”，这刚好是一种代换。 如图1(a)所示，箭头所示的地方表示小时为“1 小时”，表示分钟为“5分钟”；类似地，在凯撒 密码中，如图1(b)所示，用大写字母表示明文， 小写字母表示密文，箭头所示的地方对应的明文 为“A”，密文为“d”。利用凯撒密码，根据图 1(b)可知，对于汉语拼音(二年级的小朋友还没 有学习英语)“WE MEN SHI HAO PENG YOU(我 们是好朋友)”加密所得的密文是“zh phq vkl k

7、dr shqm brx”，解密，可得对应的明文。小学四年级数学学习除数是两位数的除 法，利用带余除法，结合钟表的认识，类似于 文献3在2.1.2节中讲解模余运算的方法，把 A - Z对应于0 - 25,选定密钥k为 025中的一个随机数(凯撒密码中k=3 )，明文 记作m，密文记作c，加密算法为c=Ek(m)=m+k mod 26 ；解密算法为 m=Dk(m)=c-kmod 26。初中三年级数学学习概率初步之后，我们 可以对移位密码进行密码分析。根据基尔霍夫原 则12，假设敌手知道正在使用的密码体制是移位 密码，截获的密文是“bg fwg kwngsix，利用英 文语言的统计特性13，字母E是

8、出现次数最 多的，说明密文g对应的明文E,因而密 钥 k=5,明文是 “WE ARE FRIENDS”。秘密分割秘密分割12是密码学的一个重要概念，是 指把一个秘密分给多个人掌管，在需要恢复这个 秘密的时候，必须有一定数目的掌管秘密的人同 时到场才能完成。常见的(k,n)门限方案是指把 秘密s分成n个部分，每一部分由一个参与者持有，并且满足由k个或者多于k个秘密持有者 可以恢复秘密S,由少于k个秘密持有者不能 恢复秘密s。1979年Blakley网和Shamir15分别 利用几何方法和基于多项式的拉格朗日插值公式 构造了门限方案。其中Shamir的方案18是目前 使用最广泛的门限方案，该文章的

9、谷歌学术引用 次数已经达到1.3万次。针对几何构造方法，可以根据初中一年级数 学学习几何图形初步16中的知识点“两点确定 一条直线”设计(2,3)门限密码分割方案，见图2。 假定一个秘密是位置P，并且知道这个位置在某 条已知直线I。上，则我们过这个位置点P任意做 一条与已知直线相交的直线I，在直线l上任取 不同于P的3个点A】,42, A3分发给3个参与者, 恢复秘密的时候，只需有两个参与者就可以把直 线l恢复出来，与直线直线lo的交点P也就恢复另外，也可以根据初中三年级数学学习圆15 中的知识点“不在同一条直线上的三个点确定一 个圆”设计(3,5)门限密码分割方案，见图3。假 定一个秘密是位

10、置P，则我们以点P为圆心任意 做一个圆，记作P”，在。P上任取5个点 A1, A?, A3, A4, A5分发给5个参与者，恢复秘密的 时候，只需有3个参与者就可以把。P恢复出来, 圆心P也就恢复出来了。也可以把图2所示的(2,3)门限密码分割方 案转化为Shamir的方案15的形式，见图4。初 中二年级数学学习一次函数及其图像，我们假 定秘密是一个数s，把秘密作为图2中点P的纵 坐标，直线10作为纵轴(y轴)，选择合适的横 轴(x轴)，随机选择数1( 乂 0)构造一次函数 f(x)=s+a1x，其图像对应于图2中直线I。随机选 择3个不为0的自变量X1, X2, X3，计算f(X1), f(

11、x2), ffe)，把对应的 3 个点 A1(xfX1), A2(X2fx2), A3(X3,fx3)分发给3个参与者。恢复秘密的时候, 可以按照图2的方式恢复，也可以利用初中一年 级数学学习二元一次方程的求解过程恢复，详细 如下：假设其中两个参与者提供了 A1, A2的坐标, 可以构造方程组，( 1 1 ,其中s,a1f (x2) = s + 1*2是未知的，可以利用初中一年级数学学习二元一 次方程求解上述方程组，得出秘密s的值。图4利用直角坐标系中的直线构造的秘密分割方案还可以把图4所示的(2,3)门限密码分割 方案利用初中三年级数学学习二次函数推广 到(3,5)门限密码分割方案，详见图5

12、。我们假 定秘密是一个数s,点P和坐标系的选择同图 4,随机选择两个不为0的数0死，构造二次 函数f(x)=s+a1x+a2x2,其图像如图5曲线l,随 机选择5个不为0的自变量X1,X2,X3,X4,X5 ,计 算f Xj, f X2) ffe), f X4) ffe),把对应的5个点 A1(X1,f(X1),A2(X2,f(X2), A3(X3,f(X3),A4(X4,f(X4),A5(X5,f 任)分发给5个参与者。恢复秘密的时候，类似 于图4的第二种方式，详细如下：假设其中两个参与者提供了 A1,A2,A5的坐标， f( *1)=s+a 1x1+a2 *2f( x2)=s+a1x2+a2 x2,其中可以构造方程组f( x5)=s+a1x5+a2 x2 s,ai,a2是未知的，我们可以利用初中一年级数学 学习三元一次方程求解上述方程组，得出秘密s 可以构造方程组图5利用直角坐标系中的二次函数构造的秘密分割方案在大学里面学习了计算方