2021年全国硕士研究生招生考试(数学一)-答案解析

1、 9/92021年全国硕士研究生招生考试(数学一)-答案解析 2020年全国硕士研究生招生考试（数学一）参考答案及解析 1.D 解析：A 选项可知22 20 ( (1)1x t x e dt e x -=-? ； B 选项32 (ln(1)ln(1x dt x =? ； C 选项sin 2220 ( sin )sin cos x t dt x x x =? ； D 选项1-cos 40 ( )sin =? . 2.C 解析：当()f x 在0 x =处可导时,有()f x 在0 x =处连续，()()0 0lim 0 x f f x ?=，且()00()0() lim =lim x x f x

2、 f f x x x -存在设为a ,则有，()()0 0lim lim lim lim 0 0.x x x x f x f x f x a x x x x x =? 3.A 函数(,)f x y 在点（0,0）处可微，,则有 ()()()( )()()()(0,0,0,00,0,0,0 ,0,0 ,0 li lim m x y x y f f f x y f x y x y f f f x y x y x y ?抖抖抖-抖= = 即有(,)lim x y 4.A 5.B 解析：矩阵A 经初等列变换化成B ，根据左行右列，应该选B . 6.C 解析：由于两直线相交，故两直线的方向向量无关，即2

3、1，无关，由因为两直线上有两点 组成的向量与两直线的方向向量共面，故03 22 1 322 13 221=c c c c b b b b a a a a ，故选C . 7.D ()()()()()()()()()()()()()()()()()()111 1111000041241241212(512)()() p AB p ABC p AB p ABC p BC p ABC p A p AB p AC p ABC p B p AB p BC p ABC p C p BC p AC p P ABC P ABC P AB A C BC =-+-+-=+?= +-+- ?=+ 8.B 100100

4、 1 1 1 100502i i i i E X EX =? = 100 100 1111 10025 22i i i i D D X X =?= ()100100115050555011555i i i i X x P P =? -?-?=? ?剟 9.-1 1)21 (21) 1()1ln(lim 2 222 -=+-= -+x x x x x x e x x x 10. 解析：1dy dx t = ，223 d y dx t = -221 t d y dx =?= 11.n am + 解析：n am dx x f x f a dx x f +=-= ? + + )()()(. 12.e

5、4 解析：()()()()()2 22 3 33 2,e d ,e ,1e ,1e 3e 1,14e. xy xt xx y x y y x x yx yx f x y t f x y x f x x f x x x f = =+= ； ； ； 13. 0110111101 1 a a a a 00011 = 110 a a a a a a -411100=0 (1)1110 0a a a a a a a a a +-?+ 241011+00 =0(1)11100a a a a a a a a a +-?+ 24=4a a -+. 14. 2 Cov(,sin )sin sin X X EX

6、X EXE X =- 11,()2201x f x ?-? ?=? 其他 222200 02 1 2 22sin sin sin cos cos =EX X x xdx x xdx x x xdx - ?= =- ? ? sin 0EX E X = 2 Cov(,sin )sin in s X X EX X EXE X =-= 15.解：对函数关于,x y 分别求导，令并两偏导数同时为零，得22 30240 x x f x y f y x ?=-=? ?=-=?，解得00 x y =? =?或16112 x y ? = ?=?.又 6,1,48xx xy yy f x f f y =-=，在(

7、)0,0处，210AC B -=-=，从而函数在此处取极小 值，且111,612216f ? =- ? .综上函数的极值为111,612216f ? =- ? . 16.解：由条件知 22224,44x y x y P Q x y x y -+= = +，可得 () 22222484Q x xy y P x y x y ?-+?= ?+ .令 222:4l x y +=，其中为充分小的正数，取顺时针方向.则 ()()2 2 1 1 =42L l l l D D Q P I dxdy x y dx x y dy dxdy x y +?-=-+-+= = ? ? ?蜒? 17.（1）已知11 +

8、21 n n n a a n +=+，故111n n a a a +，由于(0)(2)0f f =，故0(0,2)x ?，此时0()f x M = 010()(0)()M f x f f x x =-=，10(0,)x x ? （1） 00(2)()()(2)M f f x f x x =-=-，20(,2)x x ? （2） 若0(0,1)x ?，由（1）式得 10 ()M f M x x = 若0(1,2)x ?，由（2）式得 20 ()2M f M x x = - 综上所述，无论0 x 在(0,2)中何处，均有(0,2)x ?使 ()f M x 3 (2) 20.（1）可知矩阵12 24

9、A 轾-犏 =犏-臌 ，2 2a b B 轾犏= 犏臌 .故有5a b +=，40ab -=，联立解得4a =，1b =. （2）12= =(5)2 4A E l l l l l 当特征值为0时，其对应的特征向量为()T 1=2,1. 当特征值为5时，其对应的特征向量为()T 22=1,-. 故1P 轾=犏-，11T 00 05P AP 骣?=?桫 . 42= =(5)2 B E l l l l l 当特征值为0时，其对应的特征向量为()T 32=1,-. 当特征值为5时，其对应的特征向量为()T 1=2,1. 故2P 轾=犏-,22T 00 05P BP 骣?=?桫 . 所以12T T 12

10、P AP P BP =，T 2112T P P AP P B = 所以 T 1243 553 45 5Q P P 轾轾轾- 犏-犏=犏犏犏犏犏犏臌. 21.（1）由于(,)P A =，01，且A l 1 则与A 不成比例，且01，故P 可逆. （2）2 (,)(,)(,6)AP A A A A A A =-+ 即06 11AP P 轾犏=犏-臌 故106 11P AP -轾犏 =犏-臌 所以06 11A B 轾犏=犏-臌 : 6= =(3)(2)1 1B E l l l l l -+ 故12l =，23l =-，故B 可以有两个不同的特征值，可以相似对角化，因此A 可以相似对角化. 22. （1）() 113132(,),1X X F x y p x Y y p x X X X X y =+-剟 ? ()() 13132331313233,1|00,1|11p X x X X X X y X p X p X x X X X X y X p X =+-=+-=剟剟 121111 ,22 p X x X y X x X y = +剟? 当x y +-+= =- 1()e e 1()e m m m m s s s t s t F s t F s +?- ?+? ? ? ?- ? -+= =- 似然函数为 ()1111211 ,.()0,0 n m i m i