2021年全国高考理科数学试题及答案

1、 5/52021年全国高考理科数学试题及答案 绝密启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2） 理科数学 注意事项： 1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 （1）已知集

2、合A=-2，-1,0，1,2，B=x|（X-1）（x+2）0,则AB=（）（A）-1,0（B）0,1（C）-1,0,1（D）,0,，1，2 （2）若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（） （A）-1 （B）0 （C）1 （D）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列a n 满足a

3、 1=3，135a a a + =21，则357a a a += ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （5）设函数211log (2),1, ()2,1, x x x f x x -+-时， ()()0 xf x f x -成立的x 的取值范围是 A (,1)(0,1)- B (1,0)(1,)-+ C (,1)(1,0)- D (0,1) (1,)+ 二、填空题 （13）设向量a ，b 不平行，向量a b +与2a b +平行，则实数=_ （14）若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+? -?+-? ， ，则z x y =+的最大值

4、为_ （15）4 ()(1)a x x +的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =_ （16）设n S 是数列n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S +=，则n S =_ 三解答题 （17）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 ()求 C B sin sin ; () 若AD =1，DC = 2 2 求BD 和AC 的长. (18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53

5、76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级： 记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率 19（本小题满分12分） 如

6、图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面所成的角的正弦值。 20（本小题满分12分） 已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。 （1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点(,)3 m m ，

7、延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时l 的斜率；若不能，说明理由。 21（本小题满分12分） 设函数2()mx f x e x mx =+-。 （1）证明：()f x 在(,0)-单调递减，在(0,)+单调递增； （2）若对于任意12,1,1x x -，都有12|()()|1f x f x e -，求m 的取值范围。 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22（本小题满分10分） 选修4 - 1：几何证明选讲 如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，O 与ABC 的底边BC 交 于M ，N 两点，

8、与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。 （1）证明：EF BC ； （2）若AG 等于O 的半径，且AE MN =EBCF 的面积。 23（本小题满分10分） 选修4 - 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t =?=? （t 为参数，t 0），其中0 cd （2| -=，所以当l 的斜率为4 4OAPB 为平行四 边形 （21）解： （）()(1)2mx f x m e x =-+ 若0m ，则当(,0)x -时，10,()0mx e f x - 若0m 所以，()f x 在(,0)-单调递减，在(0,)+

9、单调递增 （）由（）知，对任意的,()m f x 在-1，0单调递减，在0,1单调递增，故()f x 在0 x =处取得最小值，所以对于任意1212,1,1,|()()|1x x f x f x e -的充要条件是 (1)(0)1, (1)(0)1, f f e f f e -? -? 即 1, 1, m m e m e e m e -?-?+-? 设函数()1t g t e t e =-+，则()1t g t e =- 当0t 时，()0g t ，故()g t 在(,0)-单调递减，在(0,)+单 调递增。 又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-时，由()g t 的单调性，()

10、0g m ，即1m e m e -； 当1m ，即1m e m e -+- 综上，m 的取值范围是-1,1 （22）解： （）由于ABC 是等腰三角形，AD BC ，所以AD 是CAB 的平分线 又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF 从而/EF BC （）由（）知，AE AF =，AD EF ，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为 O 的弦，所以O 在AD 上 连结,OE OM ，则OE AE 由AG 等于 O 的半径得2AO OE =，所以30OAE =，因 此ABC 和AEF 都是等边三角形 因为AE =4,2AO OE = 因为12,2OM OE DM MN = =1OD =，于是5,3 AD AB = 所以四边形EBCF 的面积为 221122?=（23）解： （）曲线2C 的直角坐标方程为22 20 x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为220 x y +-=. 联立2 2 22 20,0 x y y x y ?+-=?+-=? 解得0,0,x y =?=? 或3.2 x y ?=? ?=? 所以