线性代数 第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵课件_第1页
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文档简介

1、第四讲 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换阶梯形矩阵初等矩阵矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。引例：用消元法解下面的线性方程组一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 在上述过程中，对线性方程组的消元操作实际上就是对整个线性方程组进行了三种操作:(1)对某一方程两边同时乘以不为零的常数；(2)交换方程组中两个方程的位置；(3)给某一方程乘以常数k加到另一个方程上去。相当于是对该方程组所对应的增广矩阵进行了：(1)给某一行所有元素都乘以一个非零常数；(2)交换两行元素的位置；(3)给某一行所有元素乘常数

2、 k 加到另一行的对应元素上去。一、矩阵的初等变换 显然，三种初等变换都是可逆的，且其变换是同一类型的初等变换。变换rirj的逆变换就是本身；变换 rjk 的逆变换为 rjk ；变换 ri+krj 的逆变换为ri k rj。如果 A 经过有限次初等变换变为矩阵 B，称矩阵 A与 B是等价的，记为A B 。矩阵的等价关系有如下性质： 反身性： A A 对称性： A B ，则B A 传递性： A B， B C，则A C一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换的应用1 行列式的计算2 求矩阵的逆3 求矩阵的秩4 求线性方程组的解5 求向量组的线性关系6 一向量组能否由另一向量组线性表出7 求向量组的秩与极大

3、无关组8 判断两向量组是否等价一、矩阵的初等变换下列矩阵中哪几个是阶梯形矩阵?哪几个不是?二、阶梯形矩阵定理1 任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵.二、阶梯形矩阵练习：定义3 一个行阶梯形矩阵若满足 (i) 每个非零行的第一个非零元素为 1 ; (ii) 每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零. 二、阶梯形矩阵则称之为简化阶梯形矩阵（行最简形矩阵）.定理2 任何矩阵都可经过有限次初等行变换化为行最简形矩阵. 二、阶梯形矩阵定义4 由单位阵 E 经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。 对应于三种初等变换，有三种初等矩阵：三、初等矩阵对n 阶单位阵E，有i列j列j 行i 行i列i 行j 行i 行初等矩阵的性质：(1) 初等矩阵的转置矩阵仍然是初等矩阵;(2)初等矩阵均是可逆矩阵，其逆矩阵是同类型的初等矩阵。定理3 设A=(aij)是mn 矩阵，则 (1)对A进行一次初等行变换，相当于用一个m阶的初等矩阵左乘矩阵A； (2) 对

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