金融数学市公开课获奖课件

1、第二章 年金 年金是依据一个事先拟定计划或者方案在一段时间内连续收付款行为。 比如，养老金、按揭贷款、固定收益资产定期收入。 分析办法是利用钞票流分析办法，计算现值和终值。第1页第1页学习要点一、基本年金现值与终值计算二、期末年金与期初年金关系三、延续年金与永续年金现值四、剩余付款期不是单位时间年金计算五、实际应用第2页第2页2.1 基本年金定义2.1 若年金现金流在第一个付款期末首次发生，随即依次分期进行，则称这种年金为期末年金。（0，R，R，R）定义2.2 对于期末年金来说，假如每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标如期末年金。（0，1，1，1）第3页第3页n期标如期末年金现值上式

2、变形可得n期标如期末年金终值这个终值能够写成第4页第4页结论2.1证实 （2）由（1）有 因此第5页第5页例2.1（商业银行还款方式） 既有期50万元贷款，年利率为8%。试计算下列四种还款方式应付利息：（1）在第10 年终一次付清；（2）每年年终归还当年利息，本金最后一次付清；（3）每年年终归还固定金额，还清；（4）每年年终归还额由固定本金和剩余贷款利息构成，还清。第6页第6页解（1）一次性还完金额为50（1+8%）10=107.946250(万元) 归还利息为 107.946250-50=57.946250(万元) （2）所付利息为 508%10=40(万元) （3）设每期还款额为R，还款钞

3、票流为（0，R，R，R）钞票流现值就是贷款金额，因此有第7页第7页即解得R=7.451474（万元）共付利息为10R-50=24.514744（万元）商业银行将上述还款方式称之为等额本息法。第8页第8页（4）利用普通会计中平均摊销原理每期还款额=固定本金+剩余本金产生利息第1年终还款额为R1=50/10+50i=9（万元）第2年终还款额为R2=50/10+（50-5）i=8.6（万元）第2年终还款额为R3=50/10+（50-25）i=8.2（万元）普通，第k年终还款额为Rk=50/10+50-5（k-1)i=9-0.4（k-1) （万元）第9页第9页共付利息为商业银行将上述还款方式称之为等额

4、本金法。比较一下，第（4）中还款方式所付利息最后少，而第（3）中还款方式最受欢迎。请大家思考一下？第10页第10页 依据我们生活习惯，都愿意选择稳定点还款方式，等额本息法选择比较普遍。假如感觉还款压力不大，能够选择等额本金法，但是我们能够对等额本息法做一些调整，比如缩短短款年限，使得整体利息变少。第11页第11页定义2.3 若年金现金流在第一个付款期初首次发生，随即依次分期进行，则称这种年金为期初年金。（R ，R，R，0）定义2.4 对于期初年金来说，假如每次付款为1个单位货币，共n期，则称之为n期标如期初年金。（1，1，1，0）n期标如期初年金：（1，1，1，0）第12页第12页n期标如期初

5、年金现值n期标如期末年金终值结论2.2 第13页第13页证实 （2）由（1）有因此 结论2.3第14页第14页例2.2 某人从现值开始每年定期地投入相同一笔钱，希望在第底得到100万元回报。假如年利率为7%，事实上每年投入金额。解 假设投入钞票流为（R ，R，R，0）终值为100万元，则有解得R=5.224485（万元）第15页第15页定义2.5 若年金钞票流初次发生在递延了一段时间后进行，这样年金称为递延年金。比如，递延m期n期期末原则钞票流（0，0，0，1，1，1）这个钞票流现值能够认为是下面两个钞票流现值差（0，1，1，1，1，1）和（0，1，1 ）即还能够表示为 第16页第16页定义2

6、.6 若年金钞票流永远连续不断支付下去，没有终止日期，这样年金称为永续年金。例2.3 某人留下遗产10万元，第一个将每年利息付给甲，第二个将每年利息付给乙，后将每年利息付给丙丙始终持续下去，均在年终支付。假设年利率为7%，计算三人相对收益百分比。第17页第17页解 甲受益相称于期期末年金，现值为乙受益相称于递延期期末年金，现值为丙受益相称于递延永续年金，现值为这三者受益百分比分别为49.2%，25.0%，25.2%第18页第18页剩余付款期不是单位时间钞票流计算当年金钞票流为整数时，同时要确保每一期支付也为整数，就会造成现值与钞票流不一致，产生零碎部分，对这一部分需进行处理。对于任旨在0，1t

7、，定义下列现值第19页第19页例2.4 既有10万元投资，年利率为5%，每年年终定期收回1万元。试问：这样定期回报能够进行多少年？对不足1万元最后一次回报部分，按一下三种方式计算回报金额。方式A：不足1万元部分与最后一次正常回报同时收回；方式B：不足1万元部分在最后一次正常回报下一年终收回；方式C：不足1万元部分在最后一次正常回报下一年某个等价时间收回；第20页第20页解 （1）设正常回报为n年，则有解得14n+t15，取n=14这种正常回报能够连续（2）设这三种方式相应不足部分金额为XA，XB，XC万元A方式钞票流为（0，1，1，1+ XA ）有下列终值方程第21页第21页解得XA=0.20

8、0684（万元）B方式钞票流为（0，1，1，1，XB）有下列终值方程解得解得XB=0.210718（万元）C方式钞票流为（0，1，1，1）和在后时间段为t钞票流（0，XC ）有下列现值方程第22页第22页又由于因此有解得 t=0.2067于是XC =(1+i)t-1/i=0.202719(万元)第23页第23页例2.5 某人每年终存入1000元，年利率为8%，希望通过若干年后达到25000元。若最后一次不足1000元存款将在正常存款一年后进行，试计算正常存款年数和最后一次存款金额。解 设正常存款年数为n，则有解得14n+t15，取n=14因此正常存款能够进行第24页第24页设最后一次存款额为X，则有解得X=-1152即在底时候，不需要再追加资金，本身投资已经超出了预期目的。第25页第25页补充例题（循环钞票流）已知一笔钞票流下列