角平分线的性质-完整精讲版课件

1、1.4角平分线的性质角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.探究 如图1-26，在AOB的平分线OC上任取一点P， 作PDOA ， PEOB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？图1-26你能证明吗？ 将AOB 沿OC 对折，我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等.图1-26 PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.在PDO和PEO中， PDO =PEO， DOP =EOP， OP = OP， PDOPEO. PD = PE.我们来证明这个结论.图1-26结论角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由此得到角平分线的性质定理：动脑筋 角

2、的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ 如图1-27，点P 在AOB 的内部， 作PDOA， PEOB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在AOB的平分线上吗？图1-27在RtPDO和RtPEO中， OP = OP，PD = PE， RtPDORtPEO. PDOA， PEOB， PDO =PEO = 90.如图1-27，过点O，P作射线OC. AOC =BOC. OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.图1-27结论角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.由此得到角平分线的性质定理的逆定理：举例例1 如图1-28，BAD =BCD = 90，1=

3、2. (1)求证：点B在ADC的平分线上；(2)求证：BD是ABC的平分线.图1-28证明： 在ABC中， 1=2， BA = BC.又 BAAD， BCCD， 点B在ADC的平分线上.图1-28(1)求证：点B在ADC的平分线上；图1-28证明： 在RtBAD和RtBCD中， BA = BC， BD = BD， RtBADRtBCD. ABD =CBD. BD是ABC的平分线.(2)求证：BD是ABC的平分线.解 作AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所 求作的点P.(提示：用尺规作图)练习如图，在直线MN上求作一点P ，使点P到AOB两边 的距离相等.P2. 如图，在ABC 中，AD

4、 平分BAC， DEAB 于点E，DFAC 于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.证明 点D在BAC的平分线上， DEAB，DFAC ， DE = DF. AB = AC. 在RtBED和RtCFD中， BD = CD， DE = DF， RtBEDRtCFD. B =C.动脑筋 如图1-29， 已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？图1-29 MECD， MNCA，同理可得AM是CAB的平分线.可以添加条件MN =ME (或MN =MF). M在ACD的平分线上，即CM是ACD的平分线.图1-29如图1-

5、30，在ABC 的外角DAC 的平分线上任取一点P，作PEDB， PFAC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.例2 PE=PF.在EBP中，BE+PEPB， BE+PFPB. AP是DAC的平分线， 又PEDB， PFAC，解图1-30举例 如图1-31，你能在ABC 中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？动脑筋图1-31 因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作ABC 任意两角(例如A与B) 的平分线，其交点P 即为所求作的点. 点P也在C 的平分线上，如图1-32.图1-32练习如图，E 是AOB 的平分线上一点，ECOA 于点C，EDOB 于点D. 求证：(1)ECD=EDC； (2)OC=OD. (2)在RtOED和RtOEC中， OE= OE， ED = EC， RtOEDRtOEC(HL). OD=OC.证明 (1) 点E在BOA的平分线上， ECAO，EDOB ， ED =EC. ECD=EDC. EDC 是个等腰三角形.2. 如图，在ABC 中，ADDE，BEDE，AC， BC 分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.M证明 作CMAB于点M. AC，BC 分别平分BAD，ABE， CD = CM，CE = C