中考复习锐角三角函数

1、 锐角三角函数中考大纲ABC锐角三角函数了解锐角三角函数（ sin A ， tan A ）; 知道 ， 45角三角函数值由某个锐角的一个三角函数值会这个角的其 能用三角函数解决与 余两个三角函数值；会计 直三角形有关的简单 算含有 30 实问题角的三角函数式的值会解直角三角形；能根据解直角三角形知道解直角三角形的含义问题的需要添加辅助线 构造直角三角形；会解由 两个特殊直角三角形构能综合运用直角三角形 的性质解决有关问题成的组合图形的问题知识网络图锐角三角函数 锐角三角函数 特角的三角函值 三角函数间的关系 直角三角形的边与角 解直角三角形 解直角三角形的型和解法 解直角三角形与实际问题直角三

2、角形问题知识精讲一、锐角三角函数的定义如图所示，在 eq oac(,Rt) eq oac(, ) 中 、 b 、 c 别为 、 、 的边（1正弦： RtABC 中锐角 的边与斜边的比叫做 的弦，记作 sin A ，即 A 的对边 = 斜边 AB c（2余弦： Rt 中，锐角 A 的边与斜边的比叫做 的弦，记作 A ，即 A 邻边 AC = 斜边 AB c（3正切： Rt 中，锐角 A 的边与邻边的比叫做 的切，记作 tan ，即 tan 的邻边 a = 对边 AC b二、特殊角是三角函数值三角函数sin A30123233452222603212三、三角函数之间的关系、由三角函数的定义和勾股定

3、理，可以得出同角三角函数的关系：（1 sin ；（） sin 对于（1）的变形如下：sin A A A)(1cos A 互余角三角函数关系：； sin (1 A)(1 (1)任意锐角的正弦值等于它的余的余弦值：sin ；(2)任意锐角的余弦值等于它的余的正弦值： A ；锐角三角函数值的变化规律： 、 B 是锐角，若 ， sin A sin ； A ， sin sin ； 、 B 是角，若 ， A B ； A ，则 cos A cos B ； 、 B 是角，若 ， A B 若 ，则 A tan B 四、解直角三角形的概念在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形 五、直角三角形的

4、边和角的关系如图，在 Rt 中若 90 三边之间的关系： 勾股定)锐角之间的关系： 边角之间的关系： B a， cos A sin B bc， 六、解直角三角形的类型及解法 、已知两边（1已知两直角边( a 和 b ，求出 a ，由 ，得 （2知边和一直角(如斜边 c 角 sin a求出 90 c、已知一边一角（1已知斜边和一锐角如斜边 c ，锐角 )，出 90 a sin A ， b A （2已知一直角边和一锐(如 和角 A )求出 B 90 b B ， 七、直角三角形中其他重要概念sin 、仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水线下方的叫做俯 角视线铅垂线仰

5、角俯角水平线h视线图(1)、坡角与坡度：坡面的垂直高度 h 和平宽度 l 的叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 i l，坡面与水平面的夹角记作 ，做坡角，则 i hl坡度越大，坡面就越陡hi :l北l、方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方图旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西度北八、解非直角三角形问题：图(在不含直角三角形的图形中，我们应通过适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角问 题主要的转化思想有：、构造直角三角形当所给的三角形不是直角三角形时，一般都应转化为直角三角形构造直角三角形应尽可能以不 坏已知为前提、补形

6、、转化通过添加辅助线、平移等方式，把分散开来的元素集中在一个直角三角形中，再通过解直角三角 来解决、构造几何图形解题方法技巧、一些特殊角是三角函数值的补充：三角函数90sin 06 24 A06 242 3【注意】由于一些题目会用到 所以这里将 15的三角函数值补充一下，作为学生的了解、正切值为1 和 的个角的和为 2 、一些特殊角的三角函数值的推导：【例】 求 tan15sin15【答案】在 eq oac(, ) 中 90 延长 CA 至 D ,使 ，连接 BD .设 ，BAC 90 ，由勾股理可得AC x，且1D BAC 2由勾股定理可得 CD x 3 ) 8 x 2 sin BC x 2

7、 BD ( 6) x 4，sin15 6 4; x 3 x， C D A【例】 计 【答案】作 ABC 使 令 BC ， AC ， 1 1 1 1 过 ABC 的平分线 ，交 AC D , 因为等腰 ABC 腰 所以BC CD ，故 CD ，a 由此得 AD b 因为 ， a bb即得b令，则 2 ，解方程得x 5 2故b 5 ，a 2过点 D 作 DM AD ， AM sin A DMADab b b 1 5 a ( ) ( ) 4 4 2 5) 10 a a 4 4 16 4 4AMB C易错点辨析、应用三角函数定义时，要保证直角三角形这个前提、在求解直角三角形的有关问题时，要画出图形，以

8、利于分析解决问题、选择关系式时，要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”、遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求锐角三角函数习题集课堂练习题型一：锐角三角函数的定义【例】 如图，在 ABC 中 ， ， sin 值是（ ）BA A3 4B4 3CD45【例】 如图，在 eq oac(,Rt) eq oac(, )ABC 中 90， BC ， ，则下列结论正确的是（ ）A sin 32B tan B 32D tan 3 A【例】 把 边的长度都扩大为原来的 3 倍则锐角 正弦函数值（ ）A不变B缩小为原来的13C大为原来的 倍D能定【例】 如图， eq oac(,Rt

9、) 中 C AD BC 于 D ， BD : 2 则 tan =（ ）ABDA3 2B2 3C6 D2 3【例】 如图，在 eq oac(,Rt) eq oac(, )ABO 中斜边 AB OCBA （ ）B A点 到 的离为 sin54 C A 到 的距离为 sin54 O CB点 到 距离为 tan36 D A OC 的离为 cos36 【例】 如图，已知 l / / l / / l ，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角 ABC 的三个项点分别在这三条平行直线上，则 sin的值是（ ）ABC5 D5 10Clll题型二：特殊角的三角函数值【例】 在 ， C 33则 )A3B1 C2

10、4D32【例】 在 中，三边之比a : : c 3 : 2，则 sin tan 等（ ）A3 3B 6 3 2【例】 如果 ABC 中 cos B A ABC 是角三角形 C 是腰直角三角形22，则下列最确切的结论是（ ）B 等腰三角形 D 是角三角形【例1】在 ，若sin A ，则 度数是（ A 45B 60C 105D 【例1】在 eq oac(, ) ， C 90 AB ，现给出下列结论： A 32 ； cos B ； tan 33； B ，其中正确的结论需上正确结论的序号）题型三：同角、互余两角的关系【例1】比下列各式的大小（1 sin43 （2当 是角， A A 【例1】如，已知：

11、45 90下各式成立的是（） CA A cos A sin A【例1】计下列各题：B cos A D sin A （1 （2 cos(60 题型四：化简求值【例1】求列各式的值：（1 （2 1cos60 cos45【例1】计（1） ；（2sin60 cos30 【例1】先简，再求代数式a a 的值，其中 题型五：解直角三角形【例1】如是教学用直角三角板，边 30 90 33，则边 长为（ ）A 3cmB 3cm 3cmD 3【例1】菱的边长是 a ，一个内角为 50较的对角线是（ ）A sin50 B 2a 25 cos25 【例2】如，四边形 ABCD 是形，对角线 cm ， ， DH 于点

12、 H ，且 DH 与 AC 于 G ， ）DAAHB28 25 cm B cm D25 21cm【例2】在 eq oac(, ) 中， C 据列条件解直角三角形（1 b （2 3， b （3 ， b 2【例2】已 知：如图，在 eq oac(,Rt) eq oac(, ) 中 3，点 D 为 边一点，且 BD AD ， 的长。（结果保留根号D【例2】等三角形的面积为 2腰长为 5 ，角为，求 tan题型六：实际问题与解直角三角形（仰角与俯角；坡度与坡角；方位角）【例2】如在里市某广场上空飘着一只汽球 A是地面上相距 90 米两点它分别在汽球的正西和正东得角 45 PBA 的精到 米3=1.73

13、2） B 【例2】周，身高都为 6 米小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在 A 处得她看顶的仰角为 丽站在 处（ A 、 B 塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角 为 30们又测出 、 B 两点的距离为 米假设她们的眼睛离头顶都为 10cm ，可计算出塔高约为（结果精确到 01参考数据： 2 414 ， ） ）A36 B3771 米C98 D48 米【例2】如，某游乐场一山顶滑梯的为 ，梯的坡角为 ，么滑梯长 l为（ ）lhAsin BtanD h 【例2】如所示河横断面迎水坡 的比是1: 堤 cm 则面 AB 的（ mA 100 D 3【例2】一船在海岛 A

14、南东 20向的 B 处险，测得海岛 A 与 的距离为 海里，船将险情报告 给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 方向向海岛 C 靠，同时，从 A 处发的救援船沿南偏西 方向匀速航行， 20 分后，救援船在海岛 处好追上渔船，那么救援船航行的速度为 （ ）里小A10 B C20 3D30 【例2】如， AC 是某市环城路的一段， BF CD都是南北方向的街道，其与环城路 AC 的叉路口分别是 经测量花卉世界 D 位点 A 的偏东 、 B 的北偏东 30上AB ， （1求 之的距离； （2求 C 之的距离FD题型七：解非直角三角形问题【例3】如，在 ABC 中已知AB 45 ，求 、BC 的长C 【

15、例3】如，在四边形 ABCD 中 90 AB ， AD 求 CD 的DA 【例3】如，已知在直角梯形 中， 60 cm ， 、F 分为 AB、 的中 点， EF cm ，两底 、 长？D CEFA B cA 6 C cA 6 C 3 米B 米课作【练】 ， C 90 A ，则 BC 的_【练】 ， b 、 分别是 的边 么列结论正确的 ）A c sin A B cos B C tan A D c tan 【练】 小想要测量一棵树的高度发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上图时测得地面上的 影长为 ，坡面上的影长为 米已知斜坡的坡角为 ，同一时刻，一长为 米、垂直于地 面放置的标杆在地面上的影长为 ，则树的高度为（ ） 【练】 计（1 ( 2 45 米D 米1（2 ( ) tan60 3【练】 在 Rt ABC 中， C 90别下列条件，解直角三角形 （1 c （2 ， 45（3 ， 【练】 已，如图在菱形 中 AB 于 E ， BE cm ， sin A 1213求菱形的周长DC【练】 台是种然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海