2021年高考数学一轮总复习专题24平面向量的概念及运算检测文

1、 年高考数学轮总复专题 平面向量的概及算检测 本专题专门注意：1.向量加减的几何意义2. 向共线的问题3. 零量问题4.向量夹角为锐角和钝角问题5.差不多定理的两条路径法表示量6.向量共线与三点共线的区别与系7.向量的模与夹角的运算及应用题8.平行与垂直问题【学习目标】1明白得平面向量的概念，明得两个向量相等的含义明白得向量的几何表示2把握向量的加法、减法的运，并明白得其几何意义3把握向量数乘的运算及其几意义，明白得两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及几何意义【方法总结】1.向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用

2、平面几何的一些差不多定.(2)在求向量时尽可能转化到某行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线 段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意.2.向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注 意待定系数法和方程思想的运. / (2)证明三点共线问题，可用向共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线 且有公共点时，才能得出三点共.高考模拟：一、单选题1已知平面向量A. B. 2 C. D. 3 【答案】，则 （ ）点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在解题的过程中，需要

3、应用向量的数乘以及减法运公式，求得对应 向量的坐标，之后应用模的坐标运算式求得结.2设为向量，则“ ”“ ”（ ）A. 充不必要条件 B. 必不充分条件 C. 分必要条件 D. 既充分也不必要条件 【答案】【解析】分析：“可得结果 详解：由”可得 ，“ ”可得向量夹角为 或 ，用充分不必要的定义，得 ，即由或 ， ，得向量 与 同向反向，或 ， ，“ ”“”的充分必要条件，故选 C.点睛定充要条件应注意弄条件 和论 分别是什么直了当依据定义尝.关于带有否定性的命题或比较难判定的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命和逆否命题、逆 / x x x x 命题和否命题的等价性，转化为判定它

4、的等价命题；关于范畴问题也能够转化为包含关系来处3已知向量A. B. C. 【答案】，且D. 5，则 （ ）【解析】分析：第一应用向量共线时坐标所满足的关系，求得 向量的模的坐标公式求得结果.，从而能够求得 ，之后应用详解：依照题意可得，可得 ，因此 ，而可求，故选 B.点睛：该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足条件，求得相关 的参数的值，之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求结4已知四个命题：假如向量 a与 共线，则 a 或 ；x 是x 的必要不充分条件；命题 ： 0， x 的否定 ： ， x x ；“指数函数y 是增函

5、数，而 是指数函数，因此 是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确. 以上命题正确的个数为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】【解析】错，假如向量 a b 共线，则 ；x 是x 的必要不充分条件；正确，由x 能够得到x ，但由x 不能得到x ，如 ；命题 ： 0 x 的定 ： x ；正确“指数函数 是增函数，而 y 是指数函数，因此 / 是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确.，正. 故选 D.5两个单位向量 ， 的夹角为，则 （ ）A. B. C. 【答案】D.6已知 ， 是个单位向量，则A. B. C. D. 【答案】【解析】设则的最大值为（ ），因此当且仅当时，取到最

6、大值 5.,因此的最大值为 , 故选 A.点睛：本题的难点在于解题思路的找寻，关于那个最值，一样利用函数的思想，先建立的三角函数，进而研究函数7若向量 、 满足 、的最值， ， 与 的夹角为（ A. B. 【答案】C. D. / 考点：平面向量的数量 积模夹角.8已知向量，满足 ， ，若且 （ ， 的最小值为（ ）A. 1 B. 【答案】【解析】C. D.，当且仅当时，点睛：本题考查向量的差不多运算，向量模的求法，差不多不等式的应用，考查运算能力解时二次函数的配 方是解题的关键9已知A.是互相垂直的两个单位向量，B. C. D.， ，则【答案】【解析】本题选择 B 选项.10设平面向量 i满足

7、 i，且 1 ，则 的最大值为（ ）A. 2 B. C.2 D. 2【答案】 / 点睛：由于向量 1 ，且 a ，因此向量 2确定，这是解题的基础也是关键然后在此基础上依照向量模的三角不等式可得 的范畴，解题时要注意等号成立的条件11四边形 中 DC 且 AB AD ，则四边形 是 ）A. 平四边形 B. 菱 C. 矩形 D. 方形【答案】【解析】由于 ，四边形是平行四边形，依照向量加法和减法的几何意义可知，该行四边形的对角 线相等，故为矩.12下列命题正确个数为的是（ ） 关任意向量 、 b 、 ， a ， b ， a c 若量 与 同，且 则 向 AB与CD是共线向量，则 、B、 四一定共

8、线A. 4 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】【解析】 关 不能得出 错于量能比较大小此错于，表示与 共线的向量，a / 2 22 2 与 CD 是线向量，等价于 CD，、 四不一定共线，因此错，正确个数为 0 个，选 D.点睛：本题要紧考查向量中的有关概念，属于易错题。解答本题的关键是熟练把握向量中的相概念、性质等。13 图，以 AB为直径在正方形 ABCD 内作半圆 ， 为半圆上与 B不重合的一动点，下面关于 PB PD的说法正确的是（ ）A. 无大值，但有最小值B. 既最大值，又有最小值C. 有大值，但无最小值D. 既最大值，又无最小值【答案】【解析】设正方形的边长为 2，图建立平

9、面直角坐标系，则 D（-1，2（cos，sin 0）PA PB PD 2 PD PB cos（-1，1 PB PD，16）.故选 D.点睛本题考查了向量的加法及量模的运算利用建系的方法引入三角函数来解决使得思路清晰算简便， 遇见正方形，圆，等边三 角，角三角形等专门图形常用建系的方.14下列命题正确的是( ) / 2 , 4 2 , 4A.a与 b,b与共 线，则 a与 也共线B. 任两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C. 向 与 b 不线，则 与 b 差多上非零向量D. 有同起点的两个非零向量不平行【答案】【解析】当 b 为零向量时，A 不立；两个相等的零向量的始点与终点能

10、够在同一直线上B 不立；有相同起点的两个非零向量若它们终与起点共线则它们平行 不成若 与b至一零向量则向量 a与 共线，因此 C 正确选 C.15知向量OA与OB 的夹角为 OA ，OB ，OP tOA，OQ ，PQ在t时取最小值，当 时， 的值范畴为（ ）A. 1 1 ,0 B. , C. ,1 D. 2 2 4 【答案】【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：A ，由向量关系可得： OP tOA ，则： ，整理可得：PQ ，满足题意时： t 3 ，据此可得三角不等式： 3 1 4，解得： ，即 的取值范畴是 1 .本题选择 D 选项. / 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

11、利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何义具体应用时 可依照已知条件的特点来选择，同时要注意数量积运算律的应用16下列命题中： 存在唯独的实数，使得 ； 为单向量，且 ，； ； 与 共线， 与 共线，则 与 共；若正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】【解析】分析：逐一分析判定即得正确答. / 点睛）本题要紧考查平面向的差不多概念和性质定理，意在考查学生对这些基础知识的把握能力和辨别能力 (2)本题的几个命题是典型易错题，要明白得把如： 线， 与 共线，则 与 共线；若.17给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大.存在

12、唯独的实数，使得 ； 与 共a （ 实 为. 实数，若 ，则 与 b 共线其中正确的命题的个数为( )A. 1 B. C. D. 【答案】【解析因为两个向量终点相同点若不 在条直线上则不共线命题错误由于两个向量能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若a （ 实 也够零 ，此命题也是错误的；若为 0，尽管有 ，则 与 b也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案 。18关于非零向量a b c，下列命题正确的是（ ）A. 若 1 ，则 1 B. 若a / b 则 a 在 b 上投影为C. 若 ，则 D. 若a ，则 【答案】 / 【解析】A.：若 1 1 a 2时，不一定有 1 2，故

13、 A 错B：a / / b可得在b上的投影为或，故 B 错；C：由a b， 可a 从而有 b ，故 C 正D：由 不一定成立，故 D 错故选 C19设a , 差不多上非零向量，下列四个条件中，一定能使a a 成立的是( )A.a B./bC.a D.a 【答案】【解析】由a a 得若 a a b,即a b b,则向量a b共线且方向相反，因此当 向 b 共且方向相反,能使a a 成立，本题选择 D 选项.20在以下关于向量的命题中，正确的是（ ）A. 若量 B. 若边形 ABCD 为菱，则AB DC 且 AB ADC. 点 G 是 的重心，则 GB D. 中， AB 和 夹角等于 A 【答案】

14、【解析】 中， AB和的夹角等于 的补角，D 的法是错误的本题选择 D 选项.二、填空题21已知向量， ，中 ，且 与 共线，则当 取最小值时，为_【答案】【解析】由向量共线的充要条件得 / 则当且仅当时，取等号，现在 ，则22已知向量 ，若 （ 实数 _.【答案】【解析】 ，即 ，得23若 AP PB AB 【答案】 ，则 _.【解析】如图所示，由 AP PB可知点 P 是段 上靠近点 A 的三分点，则 BP结合题意可得： 5 , 2.24如图所示已知,由射线OA和射线OB及线段 构成如图所示的阴影区（不含边界（1）若 D为 中点,OD （OA,OB表示）（2）已知下列四个向量: / OM

15、OB ; 1OA 3; OM 1 OA ; OM OB 5.关于点 , , , M ,落在阴影区域内（不含边界）的点_（把所有符合条件点都填 1 2 4上）【答案】 , 12【解析】若 D 为 中点,则由向量的加法法则可得 D ；设 M 在影区域，则射线 O 与段 有共点，记为 ， 则存在实数 t 且存在实数 r ，使得OM rON从而OM rtOA 且rt 于 ，故 rt ，解得 r ， 满足 r 也满足 条件关于 rt 解得 r ， 13，满足 r 也满足 条件， 关于 rt ，解得 r ， 6 5 关于 rt ， ，不满足 r ，故不满足条件， 解得 r ， ，不满足 r ，故不满足条件

16、，故答案为1).(2). M1 225已知向量 ， b _.【答案】5【解析】由a 1 5,由 a ，方得 2 a b 25，因为a b，因此a ，有20 2 25，解得 / 2 2 2 2 2 3 3 3 b b 整 理可得：， 2 2 2 2 2 3 3 3 b b 整 理可得：， 26已知 a ， b ， a 0 ，若向量 c 满 【答案】【解析 c cos a c cos a ，因此 或c c，由此可得的取值范畴是.27 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， ， B 0,cos，C ， 若 动 点 1 1 3 3 OC OD的最大值为_.【答案】 7

17、【解析】设动点D ，由题意得动点 D轨迹方程为 则 OB OC OD 2 2 2 由其几何意义得 2 2 3表示圆上的点到 3 的距离，max 2 1 故OA OB OD max 3 3 点睛：本题要紧考查了平面向量的线性运算及其运用，综合了圆上点与定点之间的距离最大值先给出动点的轨迹方程，再表示出向量的坐标结果，依据其几何意义运算求得结果，本题方法不唯独，还能够截了当运算含有 三角函数的最值28已知向量a b的夹角为，若 a 7，则 _ _。【答案】【解析】由题意可得： b 2 ，据此可得： . / 2 22 229已知TM 2， 且 TM 若点 P 满足TM TN 则TP的取值范畴_【答案

18、】【 解 析 】 因 为TM 2 TM ， 由TM TN TM ， 得 TP ,故填30在锐角 【答案】中， ， ， _31如图，在中， 为段上的一点， ， ，则 _， _.【答案】【解析题合形照面向量的运算法则 因此 ， . ，32若 与 为零向量，且时，则必与 或 中一的方向相同；若 为位向量，且，则 ； ；若 与 共线， 与 共， 与 必共线；若平面内有四个点 ，必有 .上述命题正确的_.（序号）【答案】【解 析】由题意，命题中， 与 相等且方向相反时，不成立；命题中，若 为零向量时不成立；命题中，依照向量数量积，得 ；题中，若为 零量时，不成立；命题中，依照向量的 / 加减，由，得 ，

19、 ，因此 ，成立，故正确答案为.点睛：此题要紧考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.此问题中，针对每个命题的条件与结论，逐一对比平面向量相关的知识， 进行运算、判定，抓住零向量方向的专门性，进行验证，从而问题可得.33设为单位向量，若 为面内的个向量，则；若 与 平行则 ；若 与 平行且 ， .上述命题，假命题个数_ 【答案】【解析】向量是既有大小又有方向的量， 与两种情形：一是同向，二是反向，反向时模相同，但方向不一定相同，故为假命题；若 与 方向有 ，故也是假命题，故答案为34如， 为线段 中点， CE ， BD.

20、， DF AF 设 AC ， AB 试 a ， 表 AE，【答案】 AD 1 ， BD 5【 解析题析】依据题设条件运用向量的三角形法则进行求解：解：因为CB ， CE CF CB b 3， 因此 AE AC CE a . 8 因为 AF ，因此 AD AF a 5，因此BD AD AB 4 5 .35已知 共线的单位向量【答案】 4 或 , 5 5 【解析】由题意可得：AB / 或 AM , 1 3 或 AM , 1 3 设所求向量为：n ，由题意可得：x2 y 2 ，y 求解方程组可得：与向量 共的单位向量为 3 4 .36如下图所示，平行四边形 ABCD 的角线 AC 与 BD 相交于点

21、 ，点 M 是段 OD 的中点，设则 = 果用 表示）AB AD ，1 3【答案】a b4 【解析】试题分析：由题可知， AD DM AD 考点：向量的运算 DO DB ( ) = a 4 4；37 已 知是 .， ，数 ， 那下列 四个题中正 确题的 序号f 是周期函数，其最小正周期为；当 x 时，f 有最小值 ； 8是函数f 的一个单调递增区间；点 2 是函数 f x 的一个对称中心.【答案】【解析】试题分析： / f f x 1 3 1 x x x sin2 x 2 x 2 2 4 数f 的周期为， 错误的；当 时，f 取得最小值，现在 x k ，即 x k Z ，当 k 时， x ，

22、为正确的；令 2 5 k k ， 2 8， 函 数f 的 增 区 间 为 5 3 k ，当 时，函数 的增区间为 , ， 正确的；令 8 ，解得 x k， 数f 的对称中心为 k Z 2 ，当 时，得点 2 是函数 f x 的一个对称中心， 正确的上述是正确的命.故答案为.考点：命题的真假；三角函数的性.38天直梯形 ABCD 中BCADC=90 是腰 DC 上的动点的最小值为 【答案】【解析】试题分析：依照题意，利用解析法求解，以直 分别为 轴立平面直角坐标系，则 （2，a a依向量模的运算公式即可得 ，利用完全平方式非负，即可求得其最小值解：如图，以直线 DA，DC 分为 x，y 建立平面直角坐标系， 则 A（2，