上海市上师大附中2021-2022学年高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为， 两点的坐标分别为， ，则（ ）ABCD2定义在上的函数满足,则不等式的解集为( )ABCD3对于实数x，符号x表示不超

2、过x的最大整数，例如=3，1.08=2，定义函数f（x）=xx，则下列命题中正确的是函数f（x）的最大值为1； 函数f（x）的最小值为0；方程有无数个根； 函数f（x）是增函数ABCD4在中，若，则此三角形解的个数为（）A0个B1个C2个D不能确定5（）A2B4C2D46已知是定义在上的可导函数，的图象如图所示，则的单调减区间是（ ）ABCD7某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线 ：和相关系数现给出以下3个结论：；直线恰过点；其中正确结论的序号是（ ）ABCD8若，则的大小关系为ABCD9给出命题零向量的长度为零，方向是任

3、意的若，都是单位向量，则向量与向量相等若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线以上命题中，正确命题序号是（ ）ABC和D和10已知抛物线y2=8x的焦点和双曲线A3B3C5D511执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（ ）ABCD12观察下列各式：则（）A28B76C123D199二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则_14若复数满足，则的最小值_15化简_16已知一组数据从小到大排列为1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）（1）已知矩阵的一个

4、特征值为，其对应的特征向量，求矩阵及它的另一个特征值.（2）在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线l：的最小距离.18（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.19（12分）在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成

5、绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望20（12分）已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）若，求.21（12分）已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于，两点（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（2）已知点，求当直线倾斜角变化时

6、，的范围22（10分）若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设ABF1的内切圆的圆心为G连接AG，BG，GF1设内切圆的半径为r，则1r=，解得r=可得=|F1F1|，即可得出【详解】由椭圆=1，可得a=5，b=4，c=2如图所示，设ABF1的内切圆的圆心为G连接AG，BG，GF1设内切圆的半径为r，则1r=，解得r=则=|F1F1|，4a=|y1y1|1c，|y1y1|=故选C【点睛】本题考查了椭圆的标准方

7、程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2、B【解析】由已知条件构造辅助函数g(x)=f(x)+lnx，求导，根据已知求得函数的单调区间，结合原函数的性质和函数值，即可的解集【详解】令g(x)=f(x)+lnx (x0) ，则g(x)= ，又函数满足，g(x)= ，g(x)在单调递增.，当，当，当，则不等式成立.故选：B.【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用和函数综合，一般采用构造函数法，求导后利用条件判断函数的单调性，再根据特殊值解出不等式所对应的区间即可，属于中等题.3、A【解析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解x的含义，

8、根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果【详解】画出函数f(x)=xx的图象，如下图所示由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故不正确；函数f(x)的最小值为0，故正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故正确；函数f(x)有增有减，故不正确故答案为【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解4、C【解析】判断的大小关系，即可得到三角形解的个数.【详解】,即，有两个三角形.故选C.【点睛】本题考查判断三角形解的个数问题，属于简单题型.5、A【解析】根据题意，先利用定积分性质可得，然后利用微积分基本定理计算，利用定

9、积分的几何意义计算，即可求出答案。【详解】因为，所以，故选A。【点睛】本题主要考查利用定积分的性质、几何意义以及微积分基本定理计算定积分。6、B【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.详解：因为当时，所以当时，所以的单调减区间是，选B.点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.7、A【解析】结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，正确；由题中数据可得: ，所以回归直线过点，正确；又，错误.故选A【点睛】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记

10、线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.8、A【解析】利用作差比较法判断得解.【详解】，故.，所以aab.综上，故选A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9、A【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知正确错误，由向量的表示方法可知错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断错误【详解】根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故错误；与向量互为相反向量，故错误；若与是共线向量，那么 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故错误，故选A.【点

11、睛】向量中有一些容易混淆的概念，如共线向量，它指两个向量方向相同或相反，这两个向量对应的起点和终点可以不在一条直线上，实际上共线向量就是平行向量10、A【解析】先求出抛物线的焦点坐标，进而可得到双曲线的右焦点坐标，然后利用m=a2【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为2,0，则双曲线的右焦点为2,0，则m=22【点睛】本题考查了抛物线、双曲线的焦点坐标的求法，考查了学生的计算能力，属于基础题.11、C【解析】读懂流程图，可知每循环一次，的值减少4，当时，得到的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，的值减少4，输入，因为2019除以4余3，经过多次循环后，再经过一次循环后满足的条件，输出【点睛】流

12、程图的简单问题，找到循环规律，得到的值，得到输出值.属于简单题.12、C【解析】试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即考点：归纳推理二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】去括号化简，令虚部为0，可得答案.【详解】，故答案为4.【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算以及复数为实数的等价条件.14、【解析】设复数,由可得,即.将转化为和到抛物线动点距离和,根据抛物线性质即可求得最小值.【详解】设复数 即

13、 整理得: 是以焦点为的抛物线.化简为:转化为和到抛物线动点距离和.如图.由过作垂线,交抛物线准线于点.交抛物线于点根据抛物线定义可知, ,根据点到直线,垂线段最短,可得: 的最小值为:.故答案为:.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.15、.【解析】分析：利用，逆用二项式定理求和，再根据展开式特点结合棣莫弗定理求值.或者构造和的二项式展开式求和，再利用和周期性解决问题. 详解：方法一：因为 展开式中所有有理项的和，又因为，所以展开式中所有有理项的和为，因此.方法二：原式= +可得： 点睛：展

14、开式的应用：可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.有关组合式的求值证明，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断. 16、6【解析】这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为4，这组数据的中位数为x6，故这组数据的众数为6，填6.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2） .【解析】（1）由矩阵运算，代入可求得或，即求得另一个特征值。（2）由直角坐标与极坐标互换公式，实现直角坐标与极坐标的相互转化。【详解】（1）由得：， 矩阵的特征多项式为，令，得，解得或所以矩阵的另一个特征值为 （2）以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系因为，所以

15、， 将其化为普通方程，得 将曲线：化为普通方程，得 所以圆心到直线的距离 所以到直线的最小距离为【点睛】直角坐标与极坐标互换公式，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化。18、（1）见解析；（2）2【解析】分析：（1）设，根据，推出，代入到，消去参数即可求得曲线的方程及其表示的轨迹；（2）法1：先求出点的直角坐标，再求出直线的普通方程，再根据题设条件设点坐标为，然后根据两点之间距离公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值；法2：将，代入，即可求得，再根据三角形面积公式及三角函数的图象与性质，结合面积的最大值为，即可求得的值.详解：（1）设，由得.在上即（为参数），消

16、去参数得.曲线是以为圆心，以为半径的圆.（2）法1：点的直角坐标为.直线的普通方程为，即.设点坐标为，则点到直线的距离.当时，的最大值为.法2：将，代入并整理得：，令得.当时，取得最大值，依题意，.点睛：本题主要考查把参数方程转化为普通方程，在引进参数和消去参数的过程中，要注意保持范围的一致性；在参数方求最值问题中，将动点的参数坐标，根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.19、（1），82；（2）见解析【解析】（1）由频率分布直方图面积和为1，可求得取每个矩形的中点与概率乘积和求得平均数（2）由二项分布求得分布列与数学期望【详解】

17、1由题意：，估计这200名选手的成绩平均数为2由题意知， X B (3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，所以X的分布列为 ：X的数学期望为【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查独立性检验，意在考查离散型随机变量的分布列期望和独立性检验等基础知识的掌握能力，考查学生基本的运算推理能力.20、（1）；（2）或1-2i.【解析】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求.详解：（1）若是纯虚数，则，所以（2）因为，所以，所以或.当时，当时，.点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b0漏掉了.21、 (1)(2)【解析】分析：（1）联立直线和椭圆方程得到，由点点距离公式得到AB的长度；（2）联立直线和椭圆得到t的二次方程，根据韦达定理得到，进而得到范围.详解：（1）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为 当时，直线的方程为， 代入，可得，.；（2）直线参数方程代入，得 设对应的参数为，点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极