逻辑函数的运算和卡诺图

1、逻辑函数的运算和卡诺图第1页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三逻辑代数的基本公式交换率A+B=B+AAB=BA结合率A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C分配率A(B+C)=AB+ACA+(BC)=(A+B)(A+C)吸收率A+AB=AA(A+B)=A01率A+1=1,A+O=AA0=0,A1=A互补率重叠率A+A=AAA=A非非率反演率包含率第2页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三（1）常量之间的关系0 0 = 0 0 + 0 = 0 0 1 = 0 0 + 1 = 1 1 0 = 0 1 + 0 = 1 1 1 = 1 1 + 1

2、= 1 0 = 1 1 = 0 请特别注意与普通代数不同之处与或 这些常量之间的关系，同时也体现了逻辑代数中的基本运算规则，也叫做公理，它是人为规定的，这样规定，既与逻辑思维的推理一致，又与人们已经习惯了的普通代数的运算规则相似。 逻辑代数的基本公式第3页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三（2）常量与变量之间的关系普通代数结果如何？（3）与普通代数相似的定理 交换律AB = BAA + B = B + A结合律A（BC）=（AB）CA +(B+C)=(A+B)+C分配律A（B+C）=AB + ACA+(BC)=(A+B)(A+C)逻辑代数的基本公式第4页，共24页，202

3、2年，5月20日，19点43分，星期三（4）特殊的定理De morgen定理逻辑代数的基本公式反演律：P14注意第5页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三 目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。吸收律：（互补率）说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和/B两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和/B两个因子。 说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。吸收律：常用公式 第6页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三冗余律：推论：证：若干常用公式

4、P14第7页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三A+BC = (A+B)(A+C)证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC=(A+AC+AB)+BC=A(1+C+B)+BC= A+BC交叉互换律：加对乘的分配率：若干常用公式P14六式-2第8页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三(1) 定义：最小项是一个与项。 (2) 特点： n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量有 2n 个最小项。例如：在三变量A、B、C的最小项中：1、最小项 输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。当

5、A=1、B=0、C=1时，所对应的十进制数就是5。按照上述约定，作出三变量最小项编号表。原取1,反取0.卡诺图化简第9页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三最小项使最小项为1的变量取值对应十进制数编号ABC00000011010201131004101511061117最小项的重要性质 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。三变量最小项编号表第10页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三所有最小项之和为1。任意两个最小项的乘积为0。具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。相邻性： 若两个最小项彼此只有一个因子

6、不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。例：卡诺图化简第11页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三 定理：任何逻辑函数 y都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。1、 真值表法： 将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。例：将表示为最小项之和的形式。解：由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A ,所以 F 是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。列：F 真值表：卡诺图化简第12页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三 由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。 那么：将 F = 1 的输入变量组

7、合相加即可。其输入变量组合中，1表示原变量 ,0表示反变量用最小项表示逻辑函数的方法第13页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三摩根定律及配项法 将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。例1：解：原取1反取0用最小项表示逻辑函数的方法第14页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三 卡诺图的目的是用来化简逻辑函数，那么如何用卡诺图来表示逻辑函数？真值表法 已知一个真值表，可直接填出卡诺图。方法是：把真值表中输出为 1 的最小项，在的卡诺图对应小方格内填 1 ，把真值表中输出为 0 的最小项，在卡诺图对应小方格内填 0 。例：已知真值表

8、为ABCFm i0000m 00011m 10101m 20110m 31001m 41010m 51101m 61111m 7 填有1 的所有小方格的合成区域就是该函数的卡诺图。二、卡诺图表示逻辑函数的方法第15页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三是 m13 和 m12 的公因子所以只要在 A=B=1 ，C=0 所对应的区域填1即可。同理：在 A=0， B=D=1 所对应的区域填1。 在 A=1，C=1 所对应的区域填1。直接观察法：（填公因子法）卡诺图表示逻辑函数的方法第16页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三以四变量为例说明卡诺图的化简方法:

9、若规定：代表一个最小项的小方格叫做“0”维块。 “0”维块： 表示四个变量一个也没有被消去。“0”维块相加“1”维块“2”维块“3”维块从上述分析中可以看出：二个“0”维块相加，可合并为一项，并消去一对有 0，1变化因子。四个“0”维块相加，可合并为一项，并消去二对有 0，1变化因子。八个“0”维块相加，可合并为一项，并消去三对有 0，1变化因子。m0+m1m3+m2m4+m5m7+m6 将相邻“0”维块相加，可以将两项合并为一项，并消去一对因子。相邻项卡诺图化简逻辑函数的方法：第17页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三2、画出表示该函数的卡诺图。3、画合并圈。 将相邻的

10、“1”格按 2n 圈一组，直到所有“1”格全部被覆盖为止。1、合并圈越大，与项中因子越少，与门的输入端越少。2、合并圈个数越少，与项数目越少，与门个数越少。3、由于 A+A=A，所以同一个“1”格可以圈多次。4、每个合并圈中要有新的未被圈过的“1”格 。卡诺图化简原则：4、将每个合并圈所表示的与项逻辑相加。1、将函数化简为最小项之和的形式。卡诺图化简步骤：第18页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三有“约束”的逻辑函数的化简“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相“制约”的概念。对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的

11、取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“”表示，在标准与或表达式中用d（）表示。“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或“无关项”、“禁止项”第19页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三2.5.6 有“约束”的逻辑函数的化简例 2.5.3：如图电路，A、B、C、D 是十进制数 x 的 8421BCD 编码，当 x5 时输出 F 为1。求 F 的最简与或表达式。ABCDF解：列真值表 画卡诺图0001111000 01 11 1011111xA B C DF50 1 0 1160 1 1 0170 1

12、 1 1181 0 0 0191 0 0 11-1 0 1 0-1 0 1 1-1 1 0 0-1 1 0 1-1 1 1 0-1 1 1 1第20页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三如何处理约束项0001111000 01 11 10111110001111000 01 11 1011111将约束项当作任意项处理，可 0 可 1第21页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三本章小结 数字电路中广泛采用二进制，二进制的特点是逢二进一，用0和1表示逻辑变量的两种状态。二进制可以方便地转换成八进制、十进制和十六制。 数字电路的输入变量和输出变量之间的关系可以用逻辑代数来描述，最基本的逻辑运算是与运算、或运算和非运算。 第22页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三逻辑函数有四种表示方法：真值表、逻辑表达式、逻辑图和工作波形图。这四种方法之间可以互相转换，真值表和卡诺图是逻辑函数的最小项表示法，它们具有惟一性。而逻辑表达式和逻辑图都不是惟一的。使用这些方法时，应当根据具体情况选择最适合的一种方法表示所研究的逻辑函数。本章小结 第23页，共24页，2022年，5月20日，19点43分，星期三 本章介绍了两种逻辑函数化简法。公式化简法是利用逻辑代数的公式和规则，经