常微分方程模型及其数值解

1、常微分方程模型及其数值解第1页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三0、导言 在许多实际问题中，例如物理中的速率问题，人口的增长问题，放射性衰变问题，经济学中的边际问题等，常常涉及到两个变量之间的变化规律。微分方程是研究上述问题的一种机理分析方法，它在科技、工程、生态、环境、人口以及经济管理等领域中有着十分广泛的应用。在应用微分方程解决实际问题时，必须经过两个阶段。一是微分方程的建立，建立一个微分方程的实质就是构建函数、自变量以及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系。而正确地构建这种平衡关系，需要对实际问题的深入浅出的刻画，根据物理的和非物理的原理、定律或定理，作出合理的假设和

2、简化并将它升华成数学问题。第2页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三另一个是方程的求解和结果分析。对一些常系数的或特殊函数形式的微分方程，往往能得到解析解，这对实际问题的分析和应用都是有利的,但是大多数变系数的、非线性函数形式的微分方程都是求不出解析解的,此时就需要应用求解微分方程的另一个重要方法数值解法。本章简要介绍有关微分方程模型的概念，微分方程的数值解法和图解法，主要介绍若干建模实例，通过它们展示微分方程模型的建模步骤及解决实际问题的全过程。第3页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三1、实例及其数学模型 例1 海上缉私问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正

3、东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b前往拦截。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，讨论缉私艇能够追上走私船的条件，求出追上的时间。第4页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三建立直角坐标系如图，设在t=0时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在(0, 0)，走私船的位置在(c, 0)。走私船以速度a平行于y轴正向行驶，缉私艇以速度b按指向走私船的方向行驶。在任意时刻t缉私艇位于P(x, y)点，而走私船到达Q(c, at)点，直线PQ与缉私艇航线（图中曲线）相切，切线与x轴

4、正向夹角为。Q(c,at)P(x,y)R(c,y )0yxc第5页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三缉私艇在x, y方向的速度分别为 ，由直角三角形PQR写出sin 和cos 的表达式，得到微分方程： （1） 初始条件为 （2） 这就是缉私艇位置(x(t), y(t)的数学模型。但是由方程（1）无法得到x(t), y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在后面继续讨论这个问题。 第6页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三例2 弱肉强食问题 自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式，比如相互竞争，即争夺同样的食物资源，造成一个种群趋于灭

5、绝，而另一个趋向环境资源容许的最大容量；或者相互依存，即彼此提供部分食物资源，二者和平共处，趋于一种平衡状态；再有一种关系可称之为弱肉强食，即某个种群甲靠丰富的自然资源生存，而另一种群乙靠捕食种群甲为生，种群甲称为食饵（Prey），种群乙为捕食者（Predator），二者组成食饵-捕食者系统。海洋中的食用鱼和软骨鱼（鲨鱼等）、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。这样两个种群的数量是如何演变的呢？近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本节介绍的是最初的、最简单的一个模型，它是意大利数学家Volterra在上个世纪20年代建立的。第7页，共6

6、8页，2022年，5月20日，5点21分，星期三模型 用x(t)表示时刻t食饵（如食用鱼）的密度，即一定区域内的数量，y(t)表示捕食者（如鲨鱼）的密度。假设食饵独立生存时的（相对）增长率为常数r0，即 ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小量与捕食者密度成正比，比例系数为a0，则 。 捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为常数d0，即 ，而食饵的存在为捕食者提供了食物，使捕食者的死亡率减小，设减小量与食饵密度成正比，比例系数为b0，则 ，实际上，当bxd时捕食者密度将增长。 给定食饵和捕食者密度的初始值x0, y0，由上可知x(t), y(t)满足以下方程： （3）（3）的解x(

7、t), y(t)描述了食饵和捕食者密度随时间的演变过程。但是我们同样得不到x(t), y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在3继续讨论这个问题 第8页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三2 欧拉方法和龙格库塔方法一阶常微分方程初值问题的一般形式为 y=(x,y) ,axb(4)y(a)=其中(x,y)是已知函数,为给定的初值. 如果函数(x,y)在区域axb,-y0为Lipschitz常数,则初值问题(4)有唯一解.第9页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值. a=

8、x0 x1x2xnxN=b其中剖分节点xn=a+nh,n=0,1,N, h称为剖分步长.数值解法就是求精确解y(x)在剖分节点xn上的近似值yny(xn), n=1,2,n. 假设初值问题(4)的解y=y(x)唯一存在且足够光滑.对求解区域a,b做剖分 我们采用数值积分方法来建立差分公式. 2.1 构造数值解法的基本思想 在区间xn,xn+1上对方程(4)做积分,则有第10页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三对右边的积分应用左矩形公式，则有梯形公式oxyab左矩形公式y=(x)右矩形公式中矩形公式第11页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三对右边的积分应用

9、左矩形公式，则有因此，建立节点处近似值yn满足的差分公式称之为Euler公式. 称为梯形公式. 若对(6)式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式第12页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 利用Euler方法求初值问题 解 此时的Euler公式为称为Euler中点公式或称双步Euler公式. 若在区间xn-1,xn+1上对方程(4)做积分,则有对右边的积分应用中矩形求积公式，则得差分公式例3的数值解.此问题的精确解是y(x)=x/(1+x2).第13页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三分别取步长h=0.2 ,0.1 ,0.05,计算结果如下第14页

10、，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三hxnyny(xn)y(xn)-ynh=0.20.000.400.801.201.602.000.000000.376310.542280.527090.466320.406820.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.03148-0.05448-0.03529-0.01689-0.00682h=0.10.000.400.801.201.602.000.000000.360850.513710.509610.458720.404190.000000.344830.487800.4

11、91800.449440.400000.00000-0.01603-0.02590-0.01781-0.00928-0.00419h=0.050.000.400.801.201.602.000.000000.352870.500490.500730.454250.402270.000000.344830.487800.491800.449440.400000.00000-0.00804-0.01268-0.00892-0.00481-0.00227第15页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三Euler中点公式则不然, 计算yn+1时需用到前两步的值yn , yn-1 ,称其为

12、两步方法,两步以上的方法统称为多步法. 在Euler公式和梯形公式中,为求得yn+1,只需用到前一步的值yn,这种差分方法称为单步法,这是一种自开始方法. 隐式公式中,每次计算yn+1都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好. 在Euler公式和Euler中点公式中,需要计算的yn+1已被显式表示出来,称这类差分公式为显式公式,而梯形公式中,需要计算的yn+1隐含在等式两侧,称其为隐式公式.第16页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 从数值积分的角度来看,梯形公式计算数值解的精度要比Euler公式好,但它属于隐式公式,不便于计算. 实际上,常将Euler

13、公式与梯形公式结合使用: 2.2 改进的Euler方法第17页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 由迭代法收敛的角度看，当 (是给定的精度要求)时, 取 就可以保证迭代公式收敛, 而当h很小时, 收敛是很快的. 而且, 只要 通常采用只迭代一次的算法:称之为改进的Euler方法. 这是一种单步显式方法. 改进的Euler方法也可以写成第18页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 y=y-2x/y , 0 x1的数值解, 取步长h=0.1 . 精确解为y(x)=(1+2x)1/2.例4 求初值问题 y(0)=1 解 (1) 利用Euler方法第19页，共68

14、页，2022年，5月20日，5点21分，星期三计算结果如下: (2) 利用改进Euler方法第20页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三nxnEuler方法yn改进Euler法yn精确解y(xn)01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.1918181.2774381.3582131.4351331.5089661.5803381.6497831.7177791.78477011.0959091.1840961.2662011.3433601.4164021.4859561.5525151.6164761.6781681.7

15、3786911.0954451.1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051第21页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 在节点xn+1的误差y(xn+1)-yn+1 ,不仅与yn+1这一步计算有关,而且与前n步计算值yn,yn-1,y1都有关. 为了简化误差的分析,着重研究进行一步计算时产生的误差.即假设yn=y(xn),求误差y(xn+1)-yn+1,这时的误差称为局部截断误差,它可以反映出差分公式的精度.2.3 差分公式的误差分析 如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp+1

16、),则称该公式为p阶方法.这里p为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高. 研究差分公式阶的重要手段是Taylor展开式,一元函数和二元函数的Taylor展开式为:第22页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三另外,在yn=y(xn)的条件下,考虑到y(x)=(x,y(x),则有 y(xn)=(xn,y(xn)=(xn,yn)=n y(xn)=(xn,y(xn)=x(xn,yn)+y(xn,yn)(xn,yn)第23页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 yn+1=yn+h(xn,yn) 对Euler方法，有 =yn+(xn,yn)h+O(h2)从而有: y

17、(xn+1)-yn+1=O(h2)所以Euler方法是一阶方法.再看改进Euler方法, 因为可得第24页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三所以, 改进的Euler方法是二阶方法.而从而有: y(xn+1)-yn+1=O(h3)2.4 Taylor展开方法 设y(x)是初值问题（4)的精确解, 利用Taylor展开式可得第25页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三称之为p阶Taylor展开方法. 因此，可建立节点处近似值yn满足的差分公式其中第26页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三所以,此差分公式是p阶方法. 由于Taylor展开方法

18、涉及很多复合函数(x,y(x)的导数的计算,比较繁琐,因而很少直接使用,经常用它为多步方法提供初始值.然而, Taylor展开方法给出了一种构造单步显式高阶方法的途径. Euler方法可写为 可见,公式的局部截断误差为: y(xn+1)-yn+1=O(hp+1).2.5 Runge-Kutta方法第27页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 构造差分公式 改进的Euler方法可写为其中i,i,ij为待定参数. 若此公式的局部截断误差为第28页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三由于 yn+1=yn+h1n+h2(n+hxn+hn yn)+O(h3)O(h3)

19、,称此公式为p阶Runge-kutta方法,简称p阶R-K方法. 对于p=2的情形, 应有 =yn+h(1+2)n+h22(xn+n yn)+O(h3)所以,只要令 1+2=1, 2=1/2, 2=1/2 (8)第29页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 一般地, 参数由(8)确定的一族差分公式(7)统称为二阶R-K方法.称之为中点公式,或可写为若取=1,则得1=2=1/2,=1,此时公式(7)就是改进的Euler公式; 若取1=0,则得2=1,=1/2,公式(7)为 高阶R-K公式可类似推导. 下面列出常用的三阶、四阶R-K公式.第30页，共68页，2022年，5月20日

20、，5点21分，星期三 四阶标准R-K公式 三阶R-K公式第31页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 解 四阶标准R-K公式为例3 用四阶标准R-K方法求初值问题 y=y-2x/y , 0 x1 y(0)=1的数值解, 取步长h=0.2 .计算结果如下:第32页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三nxnyny(xn)nxnyny(xn)0120.00.20.41.001.18321.34171.001.18321.34163450.60.81.01.48331.61251.73211.48321.61251.7321 也可以构造隐式R-K方法,其一般形式为称

21、之为p级隐式R-K方法,同显式R-K方法一样确定参数.如第33页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三是二级二阶隐式R-K方法,也就是梯形公式.但是p级隐式R-K方法的阶可以大于p,例如,一级隐式中点公式为或写为它是二阶方法.2.6 变步长Runge-Kutta方法 以p阶R-K方法为例讨论.设从xn以步长h计算y(xn+1)的近似值为 ,局部截断误差为其中,C是与h无关的常数.第34页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 如果将步长减半,取h/2为步长, 从xn经两步计算得到y(xn+1)的近似值记为 ,其局部截断误差为于是有从而,得到事后误差估计可见,当

22、成立时,可取 .否则,应将步长再次减半进行计算.第35页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 求解初值问题的单步显式方法可一统一写为如下形式 yn+1=yn+h(xn,yn,h) （9) 对于Euler方法,有2.7 单步方法的收敛性 y=(x,y) ,axb y(a)= 其中(x,y,h)称为增量函数. (x,y,h)=(x,y)对于改进的Euler方法,有 (x,y,h)=1/2(x,y)+(x+h,y+h(x,y)第36页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 设y(x)是初值问题（4)的解 ,yn是单步法 （9)产生的近似解.如果对任意固定的点xn,均

23、有y(xn),则称单步法（9)是收敛的. 可见,若方法（9)是收敛的,则当h0时,整体截断误差en=y(xn)-yn将趋于零. 定理 设单步方法（9)是p1阶方法, 增量函数(x,y,h)在区域axb,-yn)的变化均不超过 ,则称此差分方法是绝对稳定的. 讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程 y=y 其中是复数且Re()0. 在复平面上,当方法稳定时要求变量h的取值范围称为方法的绝对稳定域,它与实轴的交集称为绝对稳定区间. 第40页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 将Euler方法应用于方程y=y, 得到 设在计算yn时产生误差n,计算值yn=yn+n,则n将

24、对以后各节点值计算产生影响.记ym=ym+m ,mn,由上式可知误差m满足方程 m=(1+h)m-1=(1+h)m-nn , mn 对隐式单步方法也可类似讨论.如将梯形公式用于方程y=y,则有 yn+1=yn+h/2 (yn+yn+1) yn+1=(1+h)yn 可见,若要|m|n|,必须且只须|1+h|1 ,因此Euler法的绝对稳定域为|1+h|1,绝对稳定区间是-2Re()h0.解出yn+1得 第41页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三类似前面分析,可知绝对稳定区域为由于Re()0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式公式的优点. 一些常用方法的绝对稳定区间为方

25、法方法的阶数稳 定 区 间Euler方法梯形方法改进Euler方法二阶R-K方法三阶R-K方法四阶R-K方法122234(-2 , 0)(- , 0)(-2 , 0)(-2 , 0)(-2.51 , 0)(-2.78 , 0)第42页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 解 因y0=1,计算得y10=1024,而y(1)=9.35762310-14.例4 考虑初值问题 y=-30y , 0 x1 y(0)=1取步长h=0.1 ,利用Euler方法计算y10y(1). y(x)=e-30 x 这是因为h=-3不属于Euler方法的绝对稳定区间. 若取h=0.01,计算得y100

26、=3.23447710-16. 若取h=0.001,计算得y1000=5.91199810-14. 若取h=0.0001,计算得y10000=8.94505710-14. 若取h=0.00001,计算得y100000=9.315610-14.第43页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 单步显式方法的稳定性与步长密切相关, 在一种步长下是稳定的差分公式,取大一点步长就可能是不稳定的. 收敛性是反映差分公式本身的截断误差对数值解的影响;稳定性是反映计算过程中舍入误差对数值解的影响.只有即收敛又稳定的差分公式才有实用价值.2.9 线性多步方法 由于在计算yn+1时 ,已经知道yn

27、 ,yn-1 ,及(xn,yn), (xn-1,yn-1),利用这些值构造出精度高、计算量小的差分公式就是线性多步法.2.9.1 利用待定参数法构造线性多步方法 r+1步线性多步方法的一般形式为第44页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三当-10时,公式为隐式公式,反之为显式公式.参数i,i的选择原则是使方法的局部截断误差为 y(xn+1)-yn+1=O(h)r+2 选取参数,0,1,2,使三步方法 yn+1=yn+h(0n+1n-1+2n-2) 这里,局部截断误差是指 ,在yn-i=y(xn-i),i=0,1,r的前提下,误差y(xn+1)-yn+1.为三阶方法. 例5 解

28、 设yn=y(xn),yn-1=y(xn-1),yn-2=y(xn-2),则有 第45页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 n=(xn,y(xn)=y(xn) y(xn+1)=y(xn)+hy(xn)+1/2h2y(xn)+1/6h3y(xn) 于是有若使: y(xn+1)-yn+1=O(h4) ,只要,0,1,2满足: n-1=(xn-1,y(xn-1)=y(xn-1)=y(xn-h) =y(xn)-hy(xn)+1/2h2y(xn)-1/6h3y(4)(xn)+O(h4) n-2=y(xn)-2hy(xn)+2h2y(xn)-4/3h3y(4)(xn)+O(h4) yn

29、+1=y(xn)+h(0+1+2)y(xn)-h2(1+22)y(xn) +h3(1/21+22)y(xn)-h4/6(1+82)y(4)(xn)+O(h5) +1/24h4y(4)(xn)+O(h5) 第46页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 =1, 0+1+2=1, 1+22=-1/2 , 1+42=1/3于是有三步三阶显式差分公式设pr(x)是函数(x,y(x)的某个r次插值多项式,则有解之得: yn+1=yn+h/12(23n-16n-1+5n-2) 因为 2.9.2 利用数值积分构造线性多步方法 其中 第47页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期

30、三 选取不同的插值多项式pr(x),就可导出不同的差分公式.下面介绍常用的Adams公式. 设已求得精确解y(x)在步长为h的等距节点xn-r,xn上的近似值yn-r ,yn , 记k=(xk,yk) ,利用r+1个数据(xn-r,n-r),(xn,n)构造r次Lagrange插值多项式由此,可建立差分公式 1.Adams显式公式 其中 第48页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三由此,可建立差分公式 由于 hrj 则有 称之为r+1步Adams显式公式. 第49页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三下面列出几个带有局部截断误差主项的Adams显式公式 r=

31、0 yn+1=yn+hn+(1/2)h2y(xn) 2.Adams隐式公式 r=1 yn+1=yn+(h/2)(3n-n-1)+(5/12)h3y(xn) r=2 yn+1=yn+(h/12)(23n-16n-1+5n-2) +(3/8)h4y(4)(xn) r=3 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3) +(251/720)h5y(5)(xn) 如果利用r+1个数据(xn-r+1,n-r+1),(xn+1,n+1)构造r次Lagrange插值多项式pr(x),则可导出数值稳定性好的隐式公式,称为Adams隐式公式,其一般形式为第50页，共68页，2022年，

32、5月20日，5点21分，星期三其中系数为 下面列出几个带有局部截断误差主项的Adams隐式公式 r=0 yn+1=yn+hn+1-(1/2)h2y(xn) r=1 yn+1=yn+(h/2)(n+n+1)-(1/12)h3y(xn) r=2 yn+1=yn+(h/12)(5n+1+8n-n-1) -(1/24)h4y(4)(xn) r=3 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2) -(19/720)h5y(5)(xn)第51页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 3.Adams预估-校正公式 由显式公式提供一个预估值，再用隐式公式校正一次，求得数值解

33、，称为预估校正方法。 校正 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2) 一般预估公式和校正公式都采用同阶公式。例如： 预估 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3) n+1=(xn+1,yn+1) , n=3,4,称为四阶Adams预估校正公式.实际计算时通常用四阶单步方法(如四阶R-K公式)为它提供起始值y1,y2,y3 . 例6 用四阶Adams预估校正公式求解初值问题 第52页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三 y=y-2x/y , 0 x1 y(0)=1取步长h=0.1. 解 用四阶R-K公式提供起始值,计算结

34、果如下xnR-k法yn预估值yn校正值yn精确值y(xn)00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.0954461.1832171.2649121.3415511.4140451.4830171.5489171.6121141.6729141.7315661.3416411.4142131.4832391.5491921.6124501.6733181.73204811.0954451.1832161.2649911.3416411.4142141.4832401.5491931.6124521.6733201.732051第53页，共68页，2022年，5月20日，5点

35、21分，星期三3 RK方法的MATLAB实现对于微分方程（组）的初值问题 龙格库塔方法可用如下MATLAB命令实现其计算：t，x=ode23(f，ts，x0，options)t，x=ode45(f，ts，x0，options)其中ode23用的是3级2阶龙格库塔公式，ode45用的是以Runge-Kutta-Fehberg命名的 5级4阶公式。第54页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三命令的输入f是待解方程写成的函数m文件：function dx=f(t,x)dx=f1;f2;fn;若ts=t0,t1,t2, ,tf，则输出在指定时刻t0,t1,t2, ,tf的函数值；等分

36、点时用ts=t0:k:tf，输出在t0,tf内等分点处的函数值。x0为函数初值（n维向量）。options可用于设定误差限（options缺省时设定相对误差10-3，绝对误差10-6），命令为： options=odeset(reltol,rt,abstol,at)其中rt，at分别为设定的相对误差和绝对误差。命令的输出t为指定的ts，x为相应的函数值（n维向量）。注意，计算步长是根据误差限自动调整的，并不是输入中指定的ts的分点。第55页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三下面用MATLAB软件解决1提出的两个问题例1 海上缉私（续）模型的数值解 1. 设a=20 (海里/

37、小时)，b=40 (海里/小时)，c=15 (海里)，由模型（1），（2）求任意时刻缉私艇的位置及缉私艇航线。 对于给出的a, b, c用MATLAB求数值解时，记x(1)=x, x(2)=y, x=(x(1), x(2)T。编写如下m文件：function dx=jisi(t,x) % 建立名为jisi的函数m文件a=20; b=40; c=15;s=sqrt(c-x(1)2+(a*t-x(2)2); dx=b*(c-x(1)/s;b*(a*t-x(2)/s; % 以向量形式表示方程（1）第56页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三然后运行以下程序：ts=0:0.05:0.

38、5; % 设定t的起终点及中间的等分点，终点可先作试探，再按照x(t)c=15调整到0.5x0=0,0; % 输入x，y的初始值（2）t,x=ode45(jisi,ts,x0); % 调用ode45计算t,x % 输出t, x(t), y(t)plot(t,x), grid, % 按照数值输出作x(t), y(t)的图形gtext(x(t), gtext(y(t), pauseplot(x(:,1),x(:,2), grid, % 作y( x) 的图形gtext(x), gtext(y)第57页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三得到的数值结果x(t), y(t)为缉私艇的位

39、置，列入表1。走私船的位置记作x1(t), y1(t)，显然x1(t)= c=15，y1(t)=at=20t，将y1(t)列入表1最后一列。可知当t=0.5（小时），x, y与x1, y1几乎一致，认为缉私艇追上走私船。x(t), y(t)及y(x)的图形见图2，y(x)为缉私艇的航线。tx(t)y(t)y1(t)00000.051.99840.06981.00.103.98540.29242.00.155.94450.69063.00.207.85151.28994.00.259.67052.11785.00.3011.34963.20056.00.3512.81704.55527.00.4

40、013.98066.17738.00.4514.74518.02739.00.5015.00469.997910.0a=20， b=40，c=15的数值解x(t), y(t)和y1(t) 第58页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三a=20，b=40，c=15 时x(t), y(t) 和y( x)的图形 第59页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三2. 设b，c不变，而a变大为30，35，接近40 (海里/小时)，观察解的变化 修改a的输入，并相应地延长t的终点。设a=35，t的终点经试探，调整为1.6合适。表2是计算结果，其中x(t), y(t)有两列数字，左边的是用“缺省”精度（即相对误差10-3，绝对误差10-6）计算的，中间的y1(t) =at=35t是走私船到达的位置。可知t=1.3, 1.4, 1.5时缉私艇的位置x15, 但y与y1(t)相差甚远，t=1.6时x, y与x1, y1也有差距，这是累积误差造成的。可利用ode45的控制参数options提高精度（上面的“调用ode45计算”用以下程序代替），如设 第60页，共68页，2022年，5月20日，5点21分，星期三opt=odeset(reltol,1e-6,abstol,1e-9);t,x=ode45(jisi,ts,x0,opt)