福建省连江县尚德中学2023学年高三考前热身数学试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数（）的图象的大致形状是（ ）ABCD2设是定义域为的偶函数，且在单调递增，则（ ）ABCD3已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若则该双曲线的离心率为A2B3CD4已知集合，若，则（ ）A或B或C或D或5如图

2、所示，三国时代数学家在周脾算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A20B27C54D646函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ）ABCD7已知函数是上的减函数，当最小时，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD8设集合，则集合ABCD9九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三

3、角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ）ABCD10点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ）A0B1C2D311如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A2019年12月份

4、，全国居民消费价格环比持平B2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格12若直线与曲线相切，则（ ）A3BC2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则_.14三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为_.15已知向量，若，则_.

5、16某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：.18（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.19（12分）已知函数.（1）求证：当时，；（2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值.20（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，满足，恰为等比数列的前3项（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和为；若对均满足，求整数的最大值；（3）是

6、否存在数列满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由21（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.22（10分）如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

7、的。1、C【答案解析】对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【题目详解】 故选C【答案点睛】识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题2、C【答案解析】根据偶函数的性质，比较即可.【题目详解】解：显然，所以是定义域为的偶函数，且在单调递增，所以故选：C【答案点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.3、D【答案解析】本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点，然后通过圆与

8、双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度，的长度即点纵坐标，然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标，最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【题目详解】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，即，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，故选D。【答案点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。4、B【

9、答案解析】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.5、B【答案解析】设大正方体的边长为，从而求得小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，利用概率模拟列方程即可求解。【题目详解】设大正方体的边长为，则小正方体的边长为，设落在小正方形内的米粒数大约为，则，解得：故选：B【答案点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题。6、B【答案解析】根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值.【题目详解】由于，函数最高点与最低点的高度差为，所以函数的半个周期，所以，又，则有，可

10、得，所以，将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数，所以的最小值为1，故选：B.【答案点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.7、A【答案解析】首先根据为上的减函数，列出不等式组，求得，所以当最小时，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【题目详解】由于为上的减函数，则有，可得，所以当最小时，函数恰有两个零点等价于方程有两个实根，等价于函数与的图像有两个交点画出函数的简图如下，而函数恒过定点，数形结合可得的取值范围为故选：A.【答案点睛】该题

11、考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.8、B【答案解析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【题目详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【答案点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.9、C

12、【答案解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，直角三角形的斜边长为，利用等面积法，可得其内切圆的半径为，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为.故选：C.【答案点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.10、C【答案解析】设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求.【题目详解】设,则,所以,依题意可得,设,则,当时,则单调递减；当时,则单调递增,所以,且,有两

13、个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2.故选:C【答案点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.11、D【答案解析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【题目详解】由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，则有，所以D正确.故选：D【答案点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.12、A【答案解析】设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线

14、方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.【题目详解】设切点为，由得，代入得，则，故选A.【答案点睛】该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果.【题目详解】由正弦定理可知，即.故答案为：.【答案点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题.14、【答案解析】某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比.【题目详解】设抽取的样本容量为x，由已知，解得.故答案为：【答案点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运

15、算能力，是一道容易题.15、-1【答案解析】由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论【题目详解】由已知，故答案为：1【答案点睛】本题考查向量垂直的坐标运算掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键16、【答案解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人，根据抽样比可求得结果.【题目详解】设高一、高二、高三人数分别为，则且，解得：，用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人故答案为：.【答案点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【答案

16、解析】（1）求得的导函数，对分成两种情况，讨论的单调性.（2）由（1）判断出的取值范围，根据韦达定理求得的关系式，利用差比较法，计算，通过构造函数，利用导数证得，由此证得，进而证得不等式成立.【题目详解】（1）.当时，此时在上单调递减；当时，由解得或，是增函数，此时在和单调递减，在单调递增.（2）由（1）知.，不妨设，令，在上是减函数，即.【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18、（1）；（2）.【答案解析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得

17、结果; （2）.作出函数的图象, 当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，由图可得结果.【题目详解】（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）即.作出函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.所以实数的取值范围是.【答案点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想19、（1）见解析；（2）【答案解析】（1）不等式等价于

18、，设，利用导数可证恒成立，从而原不等式成立.（2）由题设条件可得在上有两个不同零点，且，利用导数讨论的单调性后可得其最小值，结合前述的集合的包含关系可得的取值范围.【题目详解】（1）设，则，当时，由，所以在上是减函数，所以，故.因为，所以，所以当时，.（2）由（1）当时，；任意，存在和使成立，所以在上有两个不同零点，且，（1）当时，在上为减函数，不合题意；（2）当时，由题意知在上不单调，所以，即，当时，时，所以在上递减，在上递增，所以，解得，因为，所以成立，下面证明存在，使得，取，先证明，即证，令，则在时恒成立，所以成立，因为，所以时命题成立.因为，所以.故实数的最小值为.【答案点睛】本题考查

19、导数在不等式恒成立、等式能成立中的应用，前者注意将欲证不等式合理变形，转化为容易证明的新不等式，后者需根据等式能成立的特点确定出函数应该具有的性质，再利用导数研究该性质，本题属于难题.20、（2），（2），的最大整数是2（3）存在，【答案解析】（2）由可得（），然后把这两个等式相减，化简得，公差为2，因为，为等比数列，所以，化简计算得，从而得到数列的通项公式，再计算出 ，从而可求出数列的通项公式；（2）令，化简计算得，从而可得数列是递增的，所以只要的最小值大于即可，而的最小值为，所以可得答案；（3）由题意可知，即，这个可看成一个数列的前项和，再写出其前（）项和，两式相减得，利用同样的方法可得.【题目详解】解：（2）由题，当时，即当时， -得，整理得，又因为各项均为正数的数列故是从第二项的等差数列，公差为2又恰为等比数列的前3项，故，解得又，故，因为也成立故是以为首项，2为公差的等差数列