(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测

1、一、选题1某大楼共有 12 层有 11 人在第一层上了电梯，他们分别要去 至 12 层每层 1 人，因特殊原因，电梯只能停在某一层，其余 人要步行到所要去的楼层，假设初始的 “不意”为 ，位乘客每向下步行一层“不满意度”增量为 ，每向上步行 1 层的“不 满意度增为 2，要使得 10 人不满意”之和最小，电梯应该停在第几层（ ） A B C D2设等差数列 n前 项为 ，差数列bn前 n 项为 T ，若nnn n 则 （ ）ABC543已知数列n式 ，则前 n 项 的最小值 )A784 B368 C389 D3924在 中，内角 A B, 所对的边分别为 b c，已知 2 , c 成等差数列，

2、则 的最小值为（ ）A12BC5已知等差数列项和 ， a ， 36 n 5 8，则数列 n n的 n 项为（ ）A B Cn n 6张丘建算经是我国北魏时期大学家丘建所著，约成书于公元 485年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相. 已 第一天织布 尺 天其织布 390 尺，则该女子织布每天增加的尺数不作近似计算）为 （ ）AB1627C7设等差数列 项和为 ， ， ， 中大的是 ). 8 13 nA 108设 是列 nB 项，且C S20S a ，则n 21式为a n（ ）A B 2 nC1 9在等比数列na, 是于 x 的程 x2 x 的两个实根，

3、则a a 2 6 n n （ ）AB C 8 10知是等差数列n 项和，且6 7 ，下列说法错误的是（ ）Ad B C a 711知等比数列n4 , a ,2 1 32成等差数列，则公比 q ）A1B 2C D 12 1 和 19 之间插个 数，使这n 个数成等差数列，若这 个中第一个为 ，第 个，当 取最小值时， 的是（ ）A二、填题B C D13数列na ， 1 ，曲线 x在点 3 点 n ,0，下列四个结论 ； 13；4i i；数列 n数列；其中所有正确结论的编号_.14比数列n为正数，且 a 2 ，则log log a log log log a 2 1 2 3 _.15列n a2，a

4、n n ， 34 n ，则数列n的前 项为_16数列n 1，a a a ，则使得 2020n2成立的最小正整数 的是_.数列 n中，若 a a( n N a 则 1 n的通项公式为_.18义max , b表实数 a 中较大的数已知数列 n满足a a 0), 1 max 2 n n N ，若a 4 ，数 2015 的前项和为，则 S 2015的值为_19数列na n ， a ，则 n n 120知数列 n 1， a 2, n *，若 1 a1 三、解题m，则 _21知数列 n满足a a ( n N*). n . . n n 2 n n . . n n 2 n （）证：数an 是等差数列（）数列（

5、）数列 n n的通项公式的前 n 项为 S 求：S 7n . 2 422数列 足 n 1 n nn. （）的通项公式； n （）数列 前 项为 n ，证明：T .23数列n 项和S n2*（）n式（）数列n nnn，求数列和 S .n 24知数列n 项为 . n *（）数列n式（）下面两条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问. ， b 4 是 和 b 的比中项， T 72 .若差不为 0 的差数列 和为 2 1 8 ；，且 _求数列 项 .25知各项均为正数的数 项为 S ，满足 n a 2 a n.（）数列式 （）3 b 2a，求数列项和 Tn .26知数列na ， 2 1 n.（）证数列

6、 ； （） log a ，求数列 n 项和 . b 【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1C 9 5 5 5 9 5 5 5 解析：【分析】根据题意，假设电梯所停的楼层，表达“不意”之，利用等差数列的求和公式即可 求得结论【详解】解：设电梯所停的楼层是n 12) ，则 n 2) 21 (12 )(n )(13 2 3 2 ( 2 ( ) 157 3 2 开口向上，对称轴为 ，故 S在 n 9时取最小值 min 2 31440 故选：C【点睛】本题考查数列知识，考查函数思想的运用，考查计算能力，求“满意度之是关键 2B解析：【分析】本题首先可令 n 9 ，出S 4 ，然后通过等差数列的性质

7、得出 9 以及T b9 ，代入S 4 中，即可得出结果.【详解】因为 n n nS ，所以 ， 5 因为 S 是差数列 项和， T 是差数列 b 前 n 项和， n 9 所以 S 1 ， T 9 b ，2 S 4 9a 则 ， ， 5 9b b 故选：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前 项公式以及等差中项的应用，若等差数列 n前 n 项为 S ， S n 1 n2，当 k时， m n ，考查化归与转化思想，是中档. 3D解析：【解析】令3n ，求得 ，即数列从第17项开始为正数，前 6 项为负数，故数列的前16 项和小， 1，S162，故选 【方法点睛】求

8、等差数列前 项的最大值的方法通常有两种将前 项和表示成关于的二次函数， AnBn ， B时有最大值（若 不整数， 等 A 离它较近的一个或两个整数时 S 最大）可据值4A解析：【解析】a 且 a 确 S 最时的 n 分析：用余弦定理推论得 c B a2 2ac2由a 2 b 2 2成等差数列，可得b2a2 2 a 2 2 a ，所以 cos 2 2ac 2，利用重要不等式可得a 2 2 4ac 4ac 详解：因为a , b 2 c 成等差数列，所以 2a222a 2 2 由余弦定理推论得 2 ac 4 当且仅当a 时，上式取等号故选 A点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，

9、考查学生的运算能力及 转化能力利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等 时，应转化为函数求最值5B解析：【解析】设等差数列 a ，差为 d . 1 5， 368 d 28d 36 ） ）a d ，则1a n n 1 1 1 n( n 数 项为 a a n 1 1 1 1 1 2 4 n 故选 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破 这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) 1 1 k n 1 n n n； （） 1 2n 2 ） 1 1 1n 外需注意裂项之后相消过程中容易出现丢项或多项的 问题，导致计算结果错

10、误 6A解析：【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知a 390 1 30，求公差 d由等差数列的知识可得 216d ，解之得 ，应选答案 A297C解析：【解析】分析：利用等差数列的通项公式，化简求得 ，进而得到a 20 ，即可作出判定详解：在等差数列a 0,3 a 1 13，则3( ) a ) 1 1，整理得2 a d ， 1 1，所以 ，又由 ，所以 a a 20 ，所以前 n 项和 S 中大是 S ，选 C 点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前 项和 的质，其中解中根据等差数列的通项公式，化简求得 ，进而得到a 20 是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的

11、能力 8C1 1 解析：【分析】由S a 结合a , 2 n 即可求出 和 a n n ，通过构造法即可求出通项公. 【详解】当 n 时，a 2a 1 1，解得a 1；当 n 2 时a a a n nn a n n a ， a n 1 nn，故选C【点睛】本题考查了数列通项公式的求解，考查了a , Sn 的递推关系求通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了构造法求数列的通项公式，属于中档.9B解析：【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算 ，代入，计算式子，即可【详解】a , 4 是关于 x 的方程 x 的实，所以 4 a 4 2 10 2，由a a 0, 得 a ，以 4 4

12、 6 a a .故 B2 6 2 ， ，所以【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等 10解析：【分析】根据列且 6 ，变形为 , , 6 6 5 6 5 5 6 7 5【详解】判断即.数列列 6 ， , , 6 6 5 6 5 5 6 7 5，a a a 7 6 ，所以 ， S 11111 2a 6，S 12121 122126 72，a ，故选：【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前 n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力， 属于中档题11解析：【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求.【详解】因为4 , ,2 1 3 2成等差数列，所以

13、2 a a a 3 1 ，即 a q 1 1 1，化简得q2 0，解得q .故选 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运.12解析：【分析】设等差数列公差为 d ,可 20 再利用基本不等式求最从求出答. 【详解】设等差数列公差为 d,则 ，b ,从 a ,此时d ,故 , b a b a所以 ( ) 25 , b a b a 即 16 16 ,且仅当 4 ,即 b a 时“又a , 19 ,解d ,所以19 ,所以n ,故选B.【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运需要学生对所学知识融会贯灵运用. 二、填题. 0 4 1 653 1 n . 0 4 1 653 1 n 3 13分析】先

14、利用导数求得曲线在点处的切线方程由此求得与的递 推关系式进而证得数列是等比数列由此判断出四个结论中正确的结论编号【详 解】 曲线在点处的切线方程为则 则是首项为 1 公比为的等比数列从而 解析：【分析】先利用导数求得曲线y 在点 n n处的切线方程，由此求得a与 的递推关系 n 式，进而证得数列 【详解】n是等比数列，由此判断出四个结论中正确的结论编.y 2， 曲 x在点 3 为 ny a n 则 a 2 a ， a nn n，则n是首项为 1，公比为的等比数列，从而 ， 3 4， ii .2 273故所有正确结论的编号是.故答案为：【点睛】本小题主要考查曲线的切线方程的求法，考查根据递推关系

15、式证明等比数列，考查等比数 列通项公式和前 项公式，属于基础.14【分析】由题意利用等比数列的性质求得的值再利用对数的运算性质求得 结果【详解】解：等比数列an的各项均为正数且 则故答案为：【点睛】本 题考查等比中项的性质考查运算求解能力求解时注意对数运算法则的运用 解析 【分析】由题意利用等比数列的性质求得 的值，再利用对数的运算性质，求得结.【详解】解：等比数a 的项均为正数，且 2 4 231 ， ，2则log a log a log a 2 1 2 2 2 4 2 a5 ，故答案为： . a a ， ， 【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运. 1

16、532【析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前 6 项和【详 解】 数列中 解得 数列的前 6 项和为：故答案为：32 【点睛】本题主要考 查数列的前 6 项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解 解析：【分析】利用数列的递推公式推导出a 1，由此能求出数列n的前 6 项和.【详解】 数 a 中 n 2，a ， a n n n 8， a ， 2 3 1 3 1 ，a ， a a 10 a 5 3 1 6 5 1，a a ， a a 34 7 6 5 8 6 1解得 1 数 a 的 项为：n， 1 1 1 1 ，故答案为：【点睛】本题主要考查数列的前 6 项的求法，考查递推公

17、式、递推思想等基础知识，考查运算求 解能力，属于中档题16【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求 得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由 得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析： 【分析】根据递推关系式可证得数列 为比数列，根据等比数列通公式求得 n，代入不等式，结合 n 可求得结果【详解】a 2 a ，n n a ，n 数 a 是以 a 为项， 为公比的等比数列，n n a 由a 得： ，即2n 20212 2 ，2 ， 1024 且 N 满题意的最小正整数 n .故答案为： .【点睛】本题考查根据数列

18、递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造 的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求 17【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为 3 的等比数列 结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数 列是以为首项公比为 3 等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了解析 ( n )【分析】两边取对数，化简整理得log log a ，得到数列log a n是以 为项，公比为 的比数列，结合等比数列的通项公式，即可求. 【详解】由 ( ) ，边取对数，可得 a a，即log log ，又由a ，则 log a

19、，所以数列log a 3 是以 log 为首项，公比为 等比数列，则 log a ，所 ( n .故答案为： ( n N)【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用 对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能. 18【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以 为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为 所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题 解析：【分析】参数 进行分类讨论，由已知求数列的前几项，从中发现是以 5 为期的，再根a2015 a 求 的可得

20、答案.【详解】由题意a 4a，当a 时， ， a ， a ， a ，此 6 7 列，周期为，所以 a 4 5，不合题意，当 时，a 8a，a a ， ， ，理 ，期为 ，所以 6 n 4 5，a ， ， S 2 4 5403 7254.故答案为： 7254 【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由 , a 2依次求出 , a , a , a 5 ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数 进分类讨论解决新定义问题考查 的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义“识、运算”等我们 已学

21、过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题19【分析】根据写出相减以后可得可以判断出数列是等差数列然后判断出首 项和公差即可得【详解】两式相减得故是首项为公差为的等差数列的第项故故 答案为：【点睛】要注意等差数列的概念中的从第项起与同一个常数的重要解析：.【分析】根据a n 写 a n n n n，相减以后可得a n ，可以判断出数列 n列然后判断出首项公差，即可得 a .2020【详解】a nn n an n n.两式相减，得a n .a a 1 2 2.故 是项为 4 2020，公差为 5 的差数列的第项，故a .故答案为： 5049 .【点睛】要注意等差数列的概念中“从 项起”与同个常

22、数”的重要性，巧妙运用等差数列的性质，可化繁为简；如果a n 是常数，则n列如果 n 是常数，则数列中的奇数项或者偶数项为等差数列，所以需要注意等差数列定义的推广应 2012【分析】先取倒数得成等差数列再根据等差数列求和公式列式求得结果 【详解】所以为以为首项为公差的等差数列故答案为： 【点睛】本题考查等 差数列定义以及求和公式考查基本分析求解能力属基础题解析：【分析】1 先取倒数得 差数列，再根据等差数列求和公式列式求得结. 【详解】 a a n n n n n 1 n n 1 a a n n n n n 1 n n 1 n 1 1 1 1n 2, n * + 2 a 2n n n 1 所以

23、 11为首项， 为差的等差数列， 2 a1 m m ( 2 m 故答案为：【点睛】本题考查等差数列定义以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础. 三、解题211）明见解析；2 ；3）明见解析.【分析】（）用已知件通分计算或者直接整理，证明 a n n n，即证结论； （）用1）得数列 项公式，即求得 通项公式； （）合2）结果，利用错位相减法求得 ，计算整理 得结论【详解】S n ，根据 即 n 解：（）法1 ：n a n n a 3a n n n nn 3n 3n a .又a 11 ，故数列 为项，以1 为差的等差数. 3 3解法 ：由an n*，得 n 3n n，即 a n 3n.又 1

24、1 ，数列 为项，以1 为差的等差数. 3（）（）得 n n 3n 1， n N *，即 n 2 ，故 ；（）（）可知 n n 故 n n n 故 n n n n 2 S 2 3 2 S 1 3 n 由得 7 S n n 3 2 7 S ，从而 7 12 7 7 3n 7 3 4 4 4 2 4.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（）式法：用等差数列和等比数列前 项和公式进行计算即可；（）序相加：如果一个数列 n的前 项首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项即可以用倒序相加法；（）位相减：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的，那

25、么这个数列的前 n 和即可以用错位相减法来求；（）项相消：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从 而求得其和；（）组转化：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（）项求和：一个数列的前 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，如a 类型，可采用两项合并求.221）a 22n ；（）明见解.【分析】（） n 时，可求 ，当 时，可得a a 1 2 n n n 与已知条件两式相减可得a 检验 满 1 ，即可得 n的通项公式；（）（）知a 22n ，所以a 2 2 n (2 n (2 n ( n 【详解】，

26、计算其前 项即可证明.（） n 时， 1当 时，a a n a 1 2n n 2nn2 n 2 n a a n 1 2n n 得.a 2 .当 n 时， 1，上式也成立.a 22n （）（）知a n2 .当 n 时，a n，当 时，a 2 2 1 n n n n ( n n 1 1 3 1 n 【点睛】方法点睛：数列求和的方法 （）序相加：如果一个数列 n的前 项中首末两端等距离的两的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项即可以用倒序相加法（）位相减：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构 成的，那么这个数列的前 n 和即可以用错位相减法来求；（）项相消：把数列

27、的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从 而求得其和；（）组转化：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（）项求和：一个数列的前 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，如a 类型，可采用两项合并求.231） ；2 n n.【分析】（）用公式 a 【详解】S , S n ，求通项公式；2由（）利用错位相减法求和解：（）n 时， 1 ，n 2 3 n 3 n 2 3 n 3 当 时，a n nn 2 ，当 n 时，也符合上式，所以对任意正整数 n ， .（）（）得b n2 ，所以 n 3 5 n n 31 3

28、3 3 ，1 1 5 2 S 3 3 3 34 3 ， ，2 1 1 3 3 3 2 3n ，1 2 1 1 ) 3 1 3n n 3n 3 ，所以 nn 【点睛】方法点睛：本题考查已知数列 S 与 a 的系式，求通项公式，和错位相减法求和，一般 n数列求和包含 公法利用等差和等比数列的前 项和公式求解错位相减法求和， 适用于等差数列乘以等比数列的数列求和项相消法求和，适用于能变形为 ， 分转化法求和，适用于c n n；倒相加法和.241） ；（）择： ；选择： 3 .【分析】（）数列 a 与 S 的关系转化条件为 an n，结合等比数列的性质即可得解；（）数列 ，若选择，等差数列的通项公式列方程可得 合错位相减法即可得解；b ，进而可得 T ，再结若选择，等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前 n 项和式可得 再结合错位相减法即可得.【详解】 ，（）n 时，a 2a 1 1，可得 1；当n 2时， a ，以 a 2 a a n n n n n ，即 an n，因为a 1，所以数列是以 2 为项2 为公比的等比数列，所以 nn n；1 2 两 式相减，得 1 2 两 式相减，得 ，（）数列 若选择，题意 b 1，解得b ；所以 T nn 2 ，由（），a nn，所以 2 n n n n 2n ，所以 n 1 21 n， 1 1 n 2 3 2 ，两式相减得 1 2 2 1