(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测(包解析)

1、， 3， 9 ， 3， 9 一、选题1己知平面向量 b满足 a ，则 a 的最大值为（ ）A B 2 5C 52已知O为正三角形ABC内一点，且满足OA ，若 OAB的面积与 OAC 的面积之比为 3则（ ）1A23已知向量 B， b 3C4，若向量 c 满 ， （ ）A 7 B C 4已知非零向量 ， 夹为 45，且 ， ,则等于（ ）A 5若向量 a ， b 满|B 2a |= ， bC =（，） 2=5， a 与 的角为（ ）A90 B 45 6在中， ，若 ，则向量 BC 在 BA 上的投影是（ ）A75B77125C771257已知 b 是位向量， （ ）b 若量 c 足 ，| c

2、|的最大值为A B C 2 2 8在ABC中， | AC BC ， O 是ABC的内切圆，且与 BC 切于 D点，设 ， AC ， A （ ）B C2 1a b3 9如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形PP P P 1 4 6 7 的中心，PP x1 轴，若坐标轴上的点 M （异于点O）满足OM OP i j（其中 i j ，且 i、j ），则满足以上条件的点 的数为（ ）已知 ， 为位向量， a 已知 ， 为位向量， a A B C10中， 为BC边上一点，且 AD BC ，量 AB 与量 AD 共，若 10， ， GA GC ，ABCG（ ）A B 5C10211知 的角 A

3、， ， C 所的边分别为 ， ， ，量 , b ，n , )，若 /，则 （ ）A5B23C12知正项等比数列 n，若向量 2 ， log a a )A12 B8 2C D二、填题13知平面向量 ， b 的夹角为 a 的小值_.14共线向量 a ， b 满足 | b |，且 ( )，则 的夹角为_.15知圆 : x 2 2 ， A点为圆上第一象限内的一个动点，将 逆针旋转 90得OB ， 1,0，则 的取值范围16知O为内一点，且满足 OB OC ，延AO交于点 D .若，则_.BD b，且 3，则 _18知 ABC 中， AB ， ， BC ，若点 D 满 2，则 b AB t b AB t

4、 19图，在四边形 中， 60， AB ， BC ， AD ， M， 是线段BC上的动点，且 | 则 的值范围为20平面向量a， 为单位向量， ，空间向量满足 ，a ，b ，对任意的实数 三、解题t , ， c a 1 2的最小值是21平面直角坐标系 中已 ， (2,3) ， ( （）以线段 AB、为邻边的平行四边形两条对角线的长；（）存在 轴一点 满 BC AP ，求 BPC 22 （） ，实数 的值；（） m x y b x y R，且m ， 与 的角为 ，求 ， 的.23图，在ABC中， AB AC ， .（） 的；（）点 P 在 A 为心， 为半径的圆弧BC上运动，且 ，其中x . 求

5、 的大.24知单位向量e1，e2的夹角为60，向量a 1 ， 2 1，t R.（） / b ， 的值；（） 求向量 a ， b 的角.25知单位向量 ， ，夹为 2，求 值（） a / .（） b ， a 23，向量 ，量 b 1 1 2.26图，在直 eq oac(,角)ABC 中，点 D 为边 BC 的靠近点 B 的三等分点，点 E 为 AD 的点2 2 2 2 AB （） AB AC 表 和 EB ；（）向量 EB与 EC 夹的余弦值【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1解析：【分析】利用 a 得到 2cos ，令 ，则 t，利用平面向量的运算法则得到3a t，再利用基本不等式即可

6、求解.【详解】因为 a ，所以 a cos b ，则 b ，令 ，所以b t，则 a b 9 a a t 2 9 t22 9 2 ， a b2 eq oac(,S) eq oac(,S) 1 22 t2 ，所以3a t， 利用基本不等式知： a a 222，则 t t t ，当且仅当 2 2 时等号， 此时 t .则a b 的最大值为 .故选：【点睛】思路点睛：利用已知条件得到 b ，令 ，则 t，把问题化为了单一变量的函数问题，再利用平面向量的运算法则得到3a t，最后利用基本不等式即可解.2A解析：【分析】分别取、的中点 D 、 E，连接 、 ，平面向量的线性运算可得OD OE ，进而可得

7、 eq oac(,S)，即可得解【详解】分别取 、 BC 的中 D 、 ，接 、 AE ，图，所以 ABC 的中位线，因为 OC 所以 OD OE ，所以 、 E 、 O 三共线， eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) eq oac(,S) 所以 1 3 eq oac(,S)，所以OD 1 1 即 OD OE ，所 即 . 2 2 故选：【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归 思想，属于中档.3D解析：【分析】设出 c x, y )【详解】，根据向量的共线与垂直的坐标运算，列

8、出方程组，即可求.设 c x y )，向量 ， ，可得 2), a (3, ，由 / ，得 y 2) ， 3 x y 0，由c 3x ， y 联立方程组 ，解得 7 x , y ， ) 9 3.故选：【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的共线与垂直的坐标运算及应用，其中解答中 熟记向量的共线和垂直的坐标运算时解答的关键，着重考查推理与运算能.4A解析：【分析】根据数量积的运算， 【详解】 两边平方即可求. , a , ， 夹角为 2 a )22 2a a , | cos4 ,解得：| | 2，故选：c c 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质，数量积的定义，属于中档. 5C解析

9、：【详解】由题意可得 b ( 5,所cos b a 5 a 2,又为 ,所以 b , C. 6B解析：【解析】由正弦定理得，AC 5 cos sin B sin C sin 2C 5,由余弦定理得， C BC 2 2 11 BC ,则 2 BC cos，故选 7C解析：【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出 【详解】 |b |， ， 可 c c ，( x y ，（）+（12 的大值 12 2 故选 【点睛】j i jP j i jP 熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键 8B解析：【分析】由题得三角形是直角三角形，设AB AC ，设DB x

10、 , AD AE y, EC 求出 y ，再利用平面向量的线性运算求.【详解】因为 | AB |:| AC |:| |3: 4:5 ，所以是直角三角形，设AB AC 4, BC 如图，设 BF x, AD y, CF 由题得 x y y x z x ，所以AD BD AB 3 2 3 2 AB ( ) AB a 5 5 5 5.故选：【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 9D解析：【分析】分点 在 、 y 进行分类讨论，可得出点 个数.【详解】分以下两种情况讨论：P 、 P 关于坐标轴对称，由此可得出点 M 的 i若 在 x 轴上，则 、 i j N轴对称

11、，由图可知， 与 P1 8、 P 与 P 、 与 P 与 P 于 轴称， 2 3 i 2 i 2 个；此时，符合条件的点 有 4若 在 上，则 P 、 i j Nj 轴称，由图可知， 与 、 P 与 、 与 、 与 关 轴对称， 5 8 6 此时，符合条件的点 有 4个综上所述，满足题中条件的点 的数为.故选：【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等. 10解析：【解析】取 BC 的中点 E， 向量 共，所以 、 三共线，中 边上的中线与高线重合，则AB AC .因为 GA GB ，以 G 为的重心，则GA AC )3 2.所以CE CG 12 AB2,

12、 CG 本题选择 B 选项 11解析：【分析】由 n ，得.结余弦定理，可求角C.【详解】m a b ), c a )，且 n 整理得 .，又c222 cos C . , C .故选：【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础. 12解析： 2 2 2 2 2 2 【分析】本题先根据平行向量的坐标运算可得 a a ，再根据等比中项的知识，可计算出 ，在求和时根据对数的运算及等比中项的性质可得到正确选项【详解】解：由题意，向量 a ， b 2， a / b则 8 ，即 a ，根据等比中项的知识，可得 a ，a 5， 4， log a log a log ( ) ( ) ( a ) (

13、 a ) ( a a ) a log 9log 218故选： D 【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及数列与向量的综合问.考查了转化与化归思想， 平行向量的运算，对数的计算，逻辑思维能力和数学运算能属中档题二、填题13【分析】先利用平面向量的夹角为且解出然后求解的最值即可得到的最值 【详解】因为所以而当且仅当时等号成立所以故答案为：【点睛】本题考查平 面向量数量积的运用考查模长最值的求解难度一般解析： 6【分析】先利用平面向量 ， 的角为 a 值即可得到 a 的值【详解】 ，然后求解 a 的因为 a 所以 a ，而a b ，当且仅当 b 时等号成立，所以 故答案为： 6 . 1)( s

14、in 1) sin sin cos 1)( sin 1) sin sin cos 【点睛】本题考查平面向量数量积的运用，考查模长最值的求解，难度一. 14【解析】由垂直可=0 即又因为所以填（或）解析：【解析】由垂直可知a |2 ,a | 2,a 1 , b a 2,又为a , ,所 , .填（或 15【分析】由题意可设即有结合应用数量积的坐标公式即可求的取值范围； 【详解】由题意设则即有 而即 故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积 的坐标表示结合坐标的三角表示正弦函数的区间值域求数量积的范围；解析：【分析】由题意可设，0 2，即有 ，结合 1,0 应数量积的坐标公式即可求 【详解】的取值范

15、围；由题意，设，0 2，则 ，即有PA(cos ， ， sin( ) 1，而 ( , )4 4 2 ，即 ) ) ， 2)，故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，结合坐标的三角表示、正弦函数的区间值域求数量积 的范围；16【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详 解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要 考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：【分析】将已知条件转化为AO AB ，结合BD ，得到 AB AC 1 ，设 AO ，出关于 的方程组，由此求得.【详解】由于 OC ，以 OA ， 5所以

16、AO ， AB AC 9因为 BD ， AD .化简得AD AB ，设AO AD k AB AC 1 ， k 3所以 ，解得k 5.故答案为： a 2 a 2 【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学 思想方法，属于中档.17【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求解【详解】因为 又所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义运算法则性质向 量的夹角公式属于中档题解析：6【分析】根据向量的夹角公式及数量积的运算计算即可求. 【详解】因为cos c | a a ) 2 2 (2 ) 22 3 4 4cos332，又 ，所以 c 6，

17、故答案为：【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义，运算法则，性质，向量的夹角公式，属于中档. 18【分析】根据以为一组基底由得到再由求解【详解】因为又因为所以所以 故答案为：-12 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算还考 查了运算求解的能力属于中档题解析 【分析】根据 AC ，以 AB 为一组基底，由BC )AC 22 2 1 25 154 BC )AC 22 2 1 25 154 4 2 AB ，得到AB 152，再由 1 AB AD AC AB 【详解】求解.因为 BC AB ) 2 AB 又因为 ，AC ，BC 所以AB 152，所以DB AD ) AC AD ) 2

18、1 AB AC 3 2 AB AB 9 4 4 4.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量基本定理和向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于中档 题19【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系利用向量的坐标表示再求取 值范围【详解】如图建立平面直角坐标系当时取得最小值当时取得最大值所以 的取值范围为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解解析： 【分析】首先以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示 ，求取值范 围【详解】如图，建立平面直角坐标系， A DM ，DM ， x ，当 x 时取得最小值 ，当 x 时取得最大值 ， 所以 的取值范围为 4 4 故答案为：

19、【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标法解决数量积的范围问.20【分析】根据题意将其代入并且结合化简整理进而可求得最小值【详解】 解：由题得将条件代入可得上式当且仅当取等号故的最小值是故答案为：【点 睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题 解析：【分析】根据题意， a22 ，其代入 | c t a b ) | ，并且结合| c ， ，b ，简整理 | t t 3 (t 36 进而可求得最小值 4【详解】解： c t b ) t c t c t t b ， 由题得 ，| c ， ， b ， 将条件代入可得上式 t a b abt a t c t t b t t t t

20、 12 t 364 t t (t 4) 4 36 ，当且仅当t ，t 4取等号，故 c a b | 2的最小值是，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积及其运算性质以及二次式的最值问题，还考查了运算求解 的能力三、解题5211） ， 2 ；（） arccos 5【分析】 ， ， （）算 和 可得；（）求出 点标，再求 和 的角即得 【详解】（）题意 AB ， AC ， (2,6) 2 2 ，AB (4,4) 2；所以所求对角线长为 和 4 ；（）P (0, )，则由 AP得3 y 2 ，y ，即P (0, ，PB (2,6)， 2)， PB 5 PB PC 2 5所以 【点睛】关键点点

21、睛：根据向量加减法的几何意义，以线段 AB、为邻边的平行四边形的对角线长就是 AC 和差的模而求 BPC 可以算作是 PB , 的夹角，也可以两直 线的夹角公式求解221） 12；（） x ， 或x ，y .【分析】（）据向量直的坐标运算即可求解；（）模的向坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求. 【详解】（） ， b ， ， .，即 ，（） ， b ，m a y b 2 y,3 y y 又m 3， y y，又 m x y y 3 2，即x ， 由 ， 解得 或 x y ， ， 或 y .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查了垂直关系，夹角公式，模的运算，属于中档23） 32；（）【

22、分析】(I）立标系，求出向量坐标，代入数积公式计算；）用向量坐标运算，得到三角函数，根据角函数求出最大. 【详解】（）AB AB ) AB AB 2 2.（）立如图所示的平面直角坐标系，则 ， 3 ) . 2设 (cos，由 ，得 (cos (1,0) ( 3, ) . 2所以 ,sin 2所以 y 1sin 2 sin cos 2 3 3 3 1 ( sin cos 3 sin(2 ) ，因为2 7 ， 2 , 3 6 6.所以，当262，即3时， 的大值为 .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属 于中档题241）t ；（）3.【分析】（）据题意设 a kb ，有 ( e ) ( ) ，分析可得 ， 1 解可得 t 的值；（）据题意设向量 a ， b 的夹角为数量积的计算公式可得 a 、 | |以及 b，由cos b计算可得答案【详解】（）根据题，向量 a ， b 1 2 1则有 ( ) ( ) ， ，若 b，则设 a kb ， 则有 ，解可得t ；（）据题意设向量 a ， b 的角为 若