小学数学教学论第八章-图形与几何的教学

1、第八章 图形与几何的教学第一节 “图形与几何”教学的意义、内容和要求 一、“图形与几何”教学的意义（一）有助于更好地认识人类的生存空间对于学生来说，图形直观以及图形分析是他们理解奇妙的自然世界和社会现象、解决学习和生活中各种问题的绝妙工具。随着现代技术的发展，如计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是运用到人类生活和社会发展的各个角落。 1（二）有助于发展学生的空间观念发展学生的空间观念是全日制义务教育数学课程标准中的一个重要目标，也是“图形与几何”教学的核心目标之一。 在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的过程

2、中，学生的空间观念将得到发展。 2（三）有助于培养良好的思维习惯3二、“图形与几何”的教学内容和编排（一）图形与几何历史简介几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测量的需要；4古 埃 及 地 理 位 置 埃及是古代文明的发祥地之一。 “埃及是尼罗河赐予的礼物” ，尼罗河由南向北纵贯埃及，在红海、利比亚沙漠和撒哈拉沙漠之间滋润出一条狭长的绿洲，在这里产生了古埃及文明。5几何这个词最早来自于希腊语“”，由“”（土地）和“ ”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。英语geometry几何 geo代表的是土地， metrein指的是測量。 6中文中的“几何

3、”一词，最早是在明代利玛窦、徐光启合译几何原本时，由徐光启所创。 7利瑪竇利瑪竇 (Matteo Ricci; 1552 1610)意大利傳教士1606 年與徐光啟合作翻譯幾何原本前 6 卷。8徐光啟徐光启（1562 ? 1633）嘉靖 41 年 ? 崇祯 6 年字子先，号玄扈，上海徐家汇人。1606 年与利玛窦合作翻译几何原本前 6 卷。首先引进几何一词。9在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这些图形的性质。在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋地基（图8-），并在出土的陶器碎片上发现了大量的几何图形（图8-）。 1

4、011古代埃及的数学吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978）1213（2）中国数学的起源与早期发展汉像砖伏羲女娲执规矩图14女娲伏羲执规矩图黄帝时代隶首作数15中国考古文物上的几何图案16测量几何量必须有一个单位，即“量具”。最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最方便的量具莫过于人体的某一部分。 我国古代常用“步”作为长度单位 。在西方，也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足（foot），码（yard）则来源于腰围（gyrgand）之长等。 17几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使得数学理论的应用成为可能。18第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面图形，感受平移、旋转、对称现象，

5、学习描述物体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，建立初步的空间观念。第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确定物体位置的方法，发展空间观念。（二）小学“图形与几何”教学内容19事实上，小学“图形与几何”的教学内容经历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观念的培养的变化过程。 20（三）“图形与几何”的教学内容的编排特点“图形与几何”的教学内容不是严格按照知识的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线，根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的逻辑关系来构建内容体系。采用“问题情境建立模型解释、应用于拓展、反思”的基本模式

6、展现内容，而不是“公理定义定理性质例题习题”的结构形式。 21 1.“图形的认识”教学内容的编排特点“图形的认识”的编排顺序是：感知立体图形辨认平面图形角和直角长方形、正方形的认识锐角和钝角认识线段、射线和直线角相交和平行一认识平行四边形和梯形三角形长方体和正方体圆圆柱和圆锥。 22一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、正方体、圆柱体、球体）的教学内容；二至四年级编排了认识二维平面图形（角、线段、直线、射线、长方形、正方形、三角形、四边形）的教学内容；而五、六年级的教学内容既包括长方体、正方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质也包括二维平面图形圆的认识。 23教学内容的呈现大都采用直观几何、

7、实验几何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活和日常经验，使学生获得对简单的几何体和平面图形的直观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系。 24（2）中国数学的起源与早期发展如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的五个面的面积，教学时教师要注意引导学生从不同的地点去观察同一个物体,并描述它的位置，使学生在思考中体验到位置关系的相对性，深刻理解物体之间的位置关系，培养空间观念。后者是由一般到特殊，是一种类比、限定的过程，是为了发现一般性问题的解法。在新知识教学中渗透类比思想“图形的运动”教学内容编排的特点“图形的运动”教学内容编排的特点（1）图

8、形的识别与理解能力化“难”为“易”，即指导学生尽可能想办法使其要解决的具体问题变得简单一些。二、“图形与几何”的教学内容和编排有的学生认为原始图与平移后图形之间的距离即为平移距离，还有的学生将原始点数定为“1”，导致少数一格而出错。字子先，号玄扈，上海徐家汇人。geo代表的是土地，创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜想，为“图形与几何”知识的形成奠定感性基础。解决旋转问题过程中出现的问题其基本特征是连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分。解决图形识别问题的方法但需要注意，直观具体的日常语言描述几何概念具有两

9、面性。由于几何图形千变万化、错综复杂，要准确地数出复杂图形中所包含的某一类几何图形的个数并不简单。首先引进几何一词。与线性的文字表征相比，几何图形往往带有更多的相关或背景因素。中国考古文物上的几何图案 2.“测量”教学内容编排的特点 “测量”的教学内容不是单纯的图形面积和体积的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技能。 25 3.“图形的运动”教学内容编排的特点 “图形的运动”教学内容突出了与生活的联系，强调活动经验的积累。 4.“图形与位置”教学内容编排的特点 “图形与位置”教学内容的编排采用了辨认方向确定

10、位置描述路线的顺序。26 三、“图形与几何”的教学要求（一）关注“图形与几何”知识的形成过程一般地说，在“图形与几何”教学过程中，教师针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展的过程。 271.创设问题情景，展现知识的发现过程创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜想，为“图形与几何”知识的形成奠定感性基础。以“角”这一概念的教学为例，首先设置摸纸片

11、的活动，“布袋里有五个硬纸片（图8-），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？”通过摸纸片，让学生初步感受角的形状特征。 28角（视频）292.增加实验操作，再现结论的探究过程如一年级小学生在直观认识正方形时，通过自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方形“四边相等”这一特征。又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一个平角，证明了三角形的内角和是180。 303.精心设计问题，揭示解决问题的思维过程数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，通过问题的解决来启迪和发展学生的思维，在完成“图形与几何”知识学习的同时，培养学生的思维能力。 三角形的面积计算 （视频）31（

12、二）“图形与几何”的实际背景1.生活实际背景“图形与几何”教学应该从学生的生活经验和己有的知识出发，充分利用现实生活中的实际背景去理解知识； 对称 （李彬课件）322.生产实践背景结合生产实践和生活实际去教学，探索知识发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用所学的知识，培养他们的创新能力。 如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的五个面的面积， 333.几何发展史背景例如：教学“圆的认识”时介绍一下圆周率的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算过程 。34（三）重视直观感性材料的作用1.实物直观2.模型直观3.图像直观 35四、小学生几何思维的发展 在20世纪5

13、0年代末，范希尔夫妇（Pierre van Hiele & Dina van Hiele）在格式塔心理学和皮亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平的理论。从整体上把几何思维分为五个层次，即视角辨认层次、分析层次或描述层次、非形式的演绎层次、形式演绎层次以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。3637为了更准确地反映小学生几何思维的发展，应在范希尔夫妇所说的五个水平上再增加一个新的水平水平0(前认知)。 38介绍小学生几何思维水平的发展阶段。1.水平0：前认知 学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征的某些部分，不能认识到其中的组成部分。 39 2.水平1：视

14、觉对小学生而言，他们能按照外观识别图形，在心理上把这些图形表示为直观图形，例如学生可能会因为“三角形像三明治，长方形像门”区分三角形和长方形。然而，学生不关心图形的几何性质和本质特征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认为两种图形是“相等”的。 403.水平2：分析学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形之间的关系。例如，无论三角形在形状上有多大的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质，准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对

15、应边越长的性质。 414.水平3：非形式化演绎学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，进一步探索图形的内在属性和其包含关系，因而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与定义对这些类别进行非形式化的论证。 42第二节 图形与几何概念与技能教学一、图形的认识 （一）空间观念的理解1. 空间观念的基本成分 全日制义务教育数学课程标准对空间观念培养作了如下描述：“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等”。 43在学生数学学习中，空间观念主要包含如下基本成分。

16、（1）图形的识别与理解能力（2）图形的分解与组合能力（3）图形的建构与探索能力 （4）对图形的运动与变换的欣赏 （5）利用几何直观解决问题能力 44密铺的例子45 2. 小学生空间观念发展的心理特点 （1）直观性小学生的认知水平基本上处于“具体运算阶段”，认识几何图形主要通过动手操作（做一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动），尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重于对象的直观性较强的属性特征，对那些不太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的理解比较困难。 46（2）描述性小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概念，对于精确的、严格的几何概念，往往很难理解。但需要注意，直观具体的日常语言描述几何概念具

17、有两面性。 47一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于学生逐步建立空间观念，如对“三角形”的描述，会更多地借用日常经验中的“三角”，或对“正方形”描述为“方块”，并会用这种描述来作为图形的识别图式。另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语“角是尖的”这一概念的干扰，对于平角和周角的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶点说”角”，影响了“从一点引出两条射线所组成的图形”这一角的概念的形成。 48（3）渐进性小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。首先，小学生对几何概念

18、的理解不是一步到位的，而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思维水平发展的阶段性相关。其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几何对象的性质特征，但是对于不同对象的性质特征关系的理解往往比较困难。再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二维空间发展到三维空间是相当困难的。 49（4）标准性虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展，混淆了几何图形的本质特征和非本质特征。因此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经验，促进学生对图形本质特征的认识。 503.小学生空间观念的培养首先

19、，学生经验是发展空间观念的基础。 教学“长方体和正方体的认识” 切土豆其次，空间观念在发展的过程中逐步形成。 再次，空间观念的形成需要自主探索与合作交流的氛围。 51（二）一般几何图形的认识1.影响小学生认识几何图形的因素（1）原有经验（2）图形的综合性与线性的文字表征相比，几何图形往往带有更多的相关或背景因素。在概念的形成过程中，一个常见的障碍是“把不重要但却是一般的特征看作为概念的重要特征”。由此导致的错误包括：角必须有一条水平的射线；直角是指向右边的； 52（3）视觉信息的表征小学生最初是以视觉辨认几何图形，而不是用形体特征去分析，因此视觉信息的表征是影响小学生形体概念发展的一个重要因素

20、。研究表明，大多数学生表达视觉信息都有一段困难时期，尤其当任务是由二维工具（如纸和笔）表达三维情景（如由小的砖块搭成的大楼）或反过来，这种维度上的差异会导致视觉上的“失真”，并引起直觉上的误解，如把正方体的上、下、左、右四个面看成是平行四边形。532.一般几何图形认识的教学策略（1）借助直观，逐步抽象，解释几何图形的基本特征（2）运用变式，多方理解，强化几何图形的基本特征（3）重视几何图形分类的价值54（三）特殊几何图形认识1.角的认识（1）角的形成与发展数学中角的概念可以分成以下三个方面来说明：角是一双定出两个方向间的差量之射线；角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面区域；角是一射线绕其端

21、点旋转一个程度的量 。55小学阶段，角的认识内容包括：初步认识角，了解直角、锐角、钝角、平角和周角，以及了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。 56（2）认识角的教学策略设计层次性活动，建立角的表象找角活动。摸角活动。发明角活动。临摹角活动。57提供多样化的角，加深对角的理解理解角的概念要与角的大小、度量、画法、分类紧密结合起来582.平行的认识（1）平行的概念欧几里得：平行线是同一平面内的直线向两个方向无限延长，不论哪个方向都不会相交。永不相交。等距离。在同一平面内，同时垂直于第三条直线的两条直线，此两条直线会互相平行。59（2）平行概念教学的策略借助学生的生活经验，促进平行意义的

22、理解增强变式图形练习，强化平行概念的掌握纵横交错，组建知识体60 （五）识图和作图技能教学 1识图技能小学生识图技能可以分为相互关联的3个二级子项：图形形状、位置关系和度量关系。对图形形状的识别直线型（三角形、四边形及多边形等）；曲线型（圆及扇形等）。对图形位置关系的识别直线型（平行、相交、垂直等）。对图形度量的识别长度、角度、面积、大小关系的辨认等。612. 作图技能运算、作图、推理是三种基本的数学活动，因此“能算、会作图和会推理”是三种基本的数学技能。 62 二、测量（一）长度测量我国小学“图形与几何”中关于长度测量的教学内容，包括对毫米、厘米、分米、米、千米的认识，以及简单计算，量线段的

23、长度和画线段(限整厘米)。 63（二）面积测量在小学阶段，我们主要讨论平面图形的面积。有关面积的概念，在数学教材中一般采用如下几种描述方式：平面上一个封闭图形所包围部分的大小；物体的表面或围成的平面图形的大小；度量平面或曲面上一块区域的大小。64数学家给出的面积概念是：所谓平面多边形的“面积”，是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应：两个全等的多边形有相同的面积，不论它们在空间所占的位置如何；两多边形(没有任何公共内点)之和的面积，等于这两个多边形的面积之和；约定边长等于单位长度的正方形作为面积的单位。65（三）体积测量体积是对“物体”大小的量度，凭直觉就能理解。在数学教材中写道：“物体

24、所占空间的大小，叫做物体的体积”，这并不是严格的定义，只是一种解释，对学生理解“体积”其实没有多少帮助。因为什么是“空间”，比体积更难懂，有可能会越说越糊涂。实际上，我们要做是告诉学生，物体运动后体积不变，不重叠的两物体之并的体积是原来两物体的体积之和，A包含B则A的体积比B大等等体积的特征。这是度量物体体积的基本依据。66三、图形的运动目前世界各国几何课程的一个普遍现象是：特别重视变换和对称思想，许多国家从小学一年级开始涉及各种图形变换。 67（一）“图形的运动”相关概念1平移在平面中，将一个图形沿某一方向移动一定的距离得到另一个图形，这样的图形变换称作平移。其基本特征是不改变图形的形状和大

25、小；由平移得到的图形上的所有点与原图上的所有的点不仅是一一对应的关系，而且对应点的连线方向相同、长度也相等，即平移前后图形对应点之间的连线相互平行且相等。因此，确定平移变换需要两个因素：一是方向，二是距离。682旋转 在平面内，将一个图形绕一点沿某个方向转动一个角度，得到另一个图形，这样的图形变换称作旋转。其基本特征是不改变图形的形状和大小；图形旋转前后对应点到旋转中心的距离都相等，各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度。因此，确定旋转变换需要的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角。693对称（1）对称的概念小学数学对对称变换的讨论，仅限于平面图形关于一条直线的轴对称。所谓轴对称，是指

26、如果连接新图形和原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分。这样的图形变换也称作反射变换。其基本特征是连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分。对称图形被对称轴分成的两部分的所有点具有一一对应关系，因此，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。70（2）对称的价值对称不仅是数学的研究对象，更是数学研究的工具。对称可以导致美。对称图形是美的，对称观念是美的，对称理论更是美的。对称是哲学上的一种关系。71（二）“图形的运动”教学策略1.“图形的运动”教学要分层实施“图形的运动”课程目标分为三个层次：感知变换认识变换画出或补全图形。 2.从变换的角度欣赏图形、设计图形3.重视从变换角度

27、认识图形72四、图形与位置“图形与位置”这一部分内容，是新增加的内容，主要是让学生在辨认方向的基础上，能够根据方向和距离确定物体的位置、描述路线图以及用数对表示位置。小学数学教材中数对定位法和方位角定位法两种确定位置的方法，实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，为学生进一步学习做了铺垫。 73数学课除了需要用数学语言描述位置外，最主要的是要思考背后的道理，即为什么用数对就能刻画平面上点的位置。实际上是涉及到对维数的认识。教师可以设计一些活动，使学生体会到，如果在一条直线上确定位置，只要1个数就可以了，如在一排中确定位置，只需要知道从哪个开始数即可；在平面上确定位置需要2个数，即

28、数对，如在教室中确定座位位置，需要知道哪一排、哪一列这两个数；而在三维空间确定位置时，则需要3个数，如电影院分上下两层，则需要用哪层、哪排、哪列三个数确定座位位置。74第三节 图形与几何解决问题教学一、图形的认识（一）解决图形识别问题的教学小学阶段，主要涉及点、直线、射线、线段、角、相交直线、垂直直线、平行线、三角形、四边形、多边形、扇形、圆和长方体、正方体、圆柱、圆锥等基本图形。图形识别教学从某种意义上讲，就是使学生认识这些基本图形的性质，引导学生运用基本图形的方法去分析问题和解决问题，培养学生的数学思维能力。751.解决图形识别问题的方法（1）直观法。从学生熟悉的实际例子引入，引导学生探索

29、它们的共同特征，然后抽象出图形的本质属性。（2）演示法。提供鲜明的感性材料，利用几何图形的直观教具进行演示，让学生仔细观察，使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的表象；另一方面，表象常常是概括了许多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。76（3）利用变式。为了使学生全面正确地认识某一图形，可以给学生提供各种直观材料或事例，不断变换非本质属性，而本质属性保持不变。例如，教学两条直线互相垂直，可以变换如下不同方位的形式：77（4）反例强化。为了巩固深化所学的知识，帮助学生概括出图形的本质特征，可适当利用反例，引导学生进行辨析，以达到强化正确知识的目的。（5）转化。转化图形，例如，三角形、平行四边

30、形、长方形、梯形三个图形，无论是把平行四边形通过割补转化成长方形，还是把两个重合的三角形拼成一个平行四边形，无不是在“转化图形” 7879（6）归纳总结。学完一部分图形知识后，为了使这部分知识系统化、条理化，就应引导学生进行归纳总结。归纳总结的形式可以采取多种方式，如条目式、网络式、集合图等。80（二）解决图形计数问题的教学图形计数就是数图形，主要包括数线段、数角、数三角形、数长方形、数正方形、数简单的立体图形等。由于几何图形千变万化、错综复杂，要准确地数出复杂图形中所包含的某一类几何图形的个数并不简单。既便如此，并非无章可循，需要我们根据图形的特点，按照一定顺序进行仔细观察，有条理、有次序地

31、分析，并通过观察与思考，探寻出图形的排列规律，找出合理可行的数图形的方法。81（三）解决内角和问题的教学三角形内角和是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础。为了使学生能够真正理解、灵活运用，可以采用以下几种方法解决问题：度量法。拼合法。折叠法。图解法。分割法。82二、测量（一）解决长度测量问题1.等效替代法2.平移法3.累积法83（二）解决角度测量问题角的度量问题首先，学生看不到量角器上的角，这与学生对角的概念的理解比较浅有关；其次，即使看到了量角器上的角，也不知道怎样才能使量角器上的角与所测量的角重合；再次，在针对在不同位置摆放的角进行度量的过程中，个别学生往往在判断何时该认读内圈刻度数

32、，何时该认读外圈刻度数时出现错误。84（三）解决面积计算问题图形面积计算是小学数学教学的重要内容之一，灵活巧妙地运用面积计算公式解决实际面积计算问题，是提高数学实践能力的重要体现。在解决不规则图形面积问题时，学生往往会感到困惑，甚至于无从下手。在小学阶段，解决面积计算问题主要采用的是割补法。 8586（四）解决体积测量问题“图形与几何”教学中增加了探索不规则物体体积的测量方法，小学阶段测量不规则物体体积的方法主要有几下两种。1.量液体求体积。2.称重量求体积。87三、图形的运动（一）小学生在解决图形变换问题过程中出现的主要问题1.解决对称问题过程中出现的问题对“两个图形成轴对称”与“轴对称图形

33、”两概念理解不透。 88对于轴对称概念的理解处于表面化，对成轴对称的两个图形的必备条件理解不彻底，认为只要两个图形的大小、形状完全一样就是轴对称，忽视了两个图形的位置关系。例如出现“形状一样的两个图形成轴对称”“能够完全重合的两个图形成轴对称”的错误。89对称轴的理解存在问题，忽视了对称轴是“直线”。例如出现“角的对称轴是角平分线”、“圆的对称轴是直径”的错误。在方格纸上画出一个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形，对初学者而言是一个比较困难的问题。有时学生不能准确把握轴对称图形方向相反，忽视了各对应点到对称轴的距离相等的特点。902.解决平移问题过程中出现的问题有的学生认为原始图与平移后图形

34、之间的距离即为平移距离，还有的学生将原始点数定为“1”，导致少数一格而出错。 3.解决旋转问题过程中出现的问题确定旋转变换需要三个要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，三者缺一不可。在解决旋转问题时，学生容易忽视其中某一因素，而出现问题。91（二）图形的运动解决问题教学策略1.感悟图形变换的数学意义“图形的运动”教学属于经验几何的范畴，通常以学生生活经验为素材进行教学，但在实际操作中，应当注意数学知识和生活经验之间的区别与联系，使学生意识到数学并不等同于生活，有其自身的特点和要求。教师要凸显“数学化”过程，让学生通过观察、比较、分类、归纳、概括等数学活动，将感性材料逐步进行实质性抽象概括，建构对

35、图形变换的本质属性的理解。922.精选、简化学习材料，凸显变换的本质在让学生观察生活中的对称、平移、旋转现象时，要注意引导他们对观察对象加以适当的简化、抽象，忽略一些无关紧要的细节，着重从图形变换的角度去观察、思考。 933. 加强图形变换的应用“图形的运动”是应用性很强的内容，而且各种变换之间容易混淆，需要经过一定数量的基本训练才能搞清它们的联系和区别，掌握各种变换的特性，运用各种变换解决实际问题。94四、图形与位置解决问题教学图形与位置内容可以概括为相对位置、方向与路线图两部分，位置与方向既有区别，又有联系。无论是上下、前后、左右，还是东、南、西、北，都既可以用来描述物体的相对位置，又可以

36、用来说明方向。 95（一）解决位置关系相对性问题教学时教师要注意引导学生从不同的地点去观察同一个物体,并描述它的位置，使学生在思考中体验到位置关系的相对性，深刻理解物体之间的位置关系，培养空间观念。96（二）解决确定位置的问题小学阶段，确定位置的方法多样化，教师要帮助学生了解，各种方法的特点以及使用范围。1.行列定位法，即把平面分成若干行、若干列，然后利用行数和列数表示平面上点的位置。2.区域定位法，是生活中确定位置常用的方法，它需要根据区域标号才能确定物体的位置。3.方位角定位法，即运用方位角确定物体的位置。97984.数对定位法。顾名思义，用一对有序数对来确定物体的位置。例如，根据座位表确

37、定学生的位置 99（三）解决读方格图的问题 方格图是学生在经过了对列和行的认识后，抽象出的简单明了的图，很多地图也采用了这样的方式，将方格附在位置上，就可以轻松地用数对表示位置。 100第四节 图形与几何思想方法教学一、图形与几何中蕴含的类比思想类比是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面(属性、结构、内容、地位、关系、特征、形式等)的相同或相类似之处，推出他们在其他方面也可能相同或相类似的一种推理方法。 101（一）图形与几何教学中渗透类比方法波利亚指出“在求解(求证)一个问题时，如果能成功地发现一个比较简单的类比题，那么这个类比问题可以引导我们到达原问题的解答。” 小学“图形与几何”中

38、涉及的类比方法主要有：特殊形体与一般形体的类比、高维与低维的类比、有限类比、方法类比等。1021.特殊形体与一般形体的类比，包括两个类比过程，即一般化和特殊化过程。前者是由特殊到一般，是一个抽象、概括的过程，是一种类比、推广的过程，是一种发散的思维过程。如通过认识三角形、四边形类比到认识多边形。后者是由一般到特殊，是一种类比、限定的过程，是为了发现一般性问题的解法。 1032.低维与高维类比，是一种纵向类比，分为升维类比和降维类比，后者可以通过展开、平移、旋转以降维。此种类比方法常用于数学同一分支内，在几何学中主要涉及空间问题与平面问题的类比，如直线与平面的类比、三角形与圆锥体的类比、圆与球的

39、类比、长方形与长方体的类比、长度单位与面积单位的类比、面积单位与体积单位的类比等。1043.有限类比。即研究一个有关“无限”的问题时，先考察并解决一个与它类似的有限的问题，然后将解决后者时所用的方法或所得到的结果，试用于解决原来的有关“无限”的问题。简言之，通过无限与有限的类比解决有关无限的问题。如圆的面积公式推导。 1054.方法类比。即通过对已解问题处理方法的研究去类比所求问题的解法。不仅在“数量关系”和“性质”方面可类比，而且在逻辑方法上也是可以进行类比的。如正方体有12条棱，计算方法是：正方体由6个正方形封闭拼成，每个正方形4条边，共24条边，每两边重叠成一棱，于是46212（条）。那么足球上短缝数量的计算方法可以类比正方体棱数的计算方法。即先