高考预测文科数列知识点归纳总结全

1、数列学问点 一考纲要求 数列 数列的概念 内容 4 要求层次 A B C数列的概念和表示法 等差数列, 等差数列的概念 等比数列的概念 等比数列 等差数列的通项公式与前 n 项和公式 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 二学问点 一数列的该概念和表示法, （ 1）数列定义 ：按确定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作 an ,在数列第一 个位置的项叫第 1 项（或首项） ,在其次个位置的叫第 2 项, ,序号为 n的项叫第 n 项（也叫通项） 记作 an ； 数列的一般形式： a1 , a2 , a3 , , an , ,简记作 an ； （ 2）通项公式的定义 ：假

2、如数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个 数列的通项公式 说明： an 表示数列, an 表示数列中的第 n 项, an = f n 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不愿定唯独； 不是每个数列都有通项公式；例如, 1, , , , （ 3）数列的函数特点与图象表示 ： 序号： 1 2 3 4 5 6项 ： 4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射；从函数观点 看,数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 f n 当自变量 n 从 1 开头依次取值 时对应的一系列函数

3、值 f 1, f 2, f 3, , f n , 通常用 an 来代替 f n ,其图象是一群孤 立的点 （ 4）数列分类： 按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列； 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列,递减数列） ,常数列和摇摆数列 （ 5） 递推公式定义 ：假如已知数列 an 的第 1 项（或前几项） ,且任一项 an 与它的前一项 an 1 （或前几项）间 的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 1. 等差数列的定义 ： an an 1d（d 为常数）（ n 2 ）； 第 1 页,共 11 页2 等差数列通项公式： an a

4、1 n 1d dn a1 d n * N , 首项 : a1 ,公差 :d ,末项 : an 推广： an am n m d 从而 dan am m； n3等差中项 （ 1）假如 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即： A 1ab或 2 A ab2（ 2）等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an 1 n 2 2an an an 24 等差数列的前 n 项和公式： S n na1 2 an na 1 n n 1 d 2 d2 n 2 a 1 1 d n 2 An 2（其中 A, B 是常数,所以当 d 0 时, Sn是关于 n 的二次式且常数项

5、Bn 0） 乘以中间项） 特别地,当项数为奇数 2n 为 1时, an 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项 S2n 1 2 n 1 a1 2a2n 12 n 1 an 1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 5 等差数列的判定方法 （ 1） 定义法：如 an an 1d或 an 1an d 常数 n N an 是等差数列 2 （ 2） 2an 1an an 等差中项：数列 an 2an an-1 an 1 n 2 是等差数列 （ 3） 数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）； （ 4） Bn , （其中 A,B 是常数列 an 是等差数列 Sn 2 An

6、 数）； 6 等差数列的证明方法 定义法：如 an an 1d 或 an 1an d 常数 nNan 是等差数列 7. 等差数列的性质： （ 1）当公差 d 0 时,等差数列的通项公 an d ；前 n 和 S 式 na nn 1d d n 22 2（ 2）如公差 d 0 ,就为递增等差数列,如公差 （ 3）当 m n p q 时, 就有 am an a p a1 n 1d dn a1 d 是关于 n 的一次函 数,且斜率为公差 da n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2d 0 ,就为递减等差数列,如公差 d 0 ,就为常数列； aq ,特别地,当 m n 2 p 时,就有 am a

7、n 2ap . （ 4）如 an , bn 为等差数列,就 an b, 1an 2bn 都为等差数列 5 如 an 是等差数列,就 Sn , S2 n Sn , S3n S2n , 也成等差数列 （ 6）数列 an 为等差数列 ,每隔 kk N项取出一项 am , am ,am 2k , am 3k , 仍为等差数 列 （ 7）设数列 an 是等差数列, d 为公差, S 奇 是奇数项的 S 是偶数项项的和, Sn 是前 n 项的和 1. 当项数为偶数 2n 时, 和, 偶S a1 a3 a5 a2 n 1 n a1 a2n 1 nan 奇 2S a2 a4 a6 a2 n n a2 a2 n

8、 nan 1偶 2S S nan 1 nan n an 1 an =nd 偶 奇第 2 页,共 11 页Snan an n1nmn奇nan 1an 1S偶 2,当项数为奇数 2n 1 时,S2n 1 SS 偶 就 2 n 1 an+1 S 奇 n 1an+1 S（其中 奇 San+1 Snan+1 奇 nS an+1 S偶偶是项数为 2n+1 的等差数列的中间项） m+n 项和 Sm 偶 （ 8）等差数列 an 的前 n 项和 Sm n ,前 m 项和 Sn m ,就前 9 求 Sn 的最值 n法一：因等差数列前 n 项和是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要 留意数列的特别

9、性 N ； *法二：（ 1）“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是全部非负项之和 即当 a1 0, d 0,由 an 100可得 Sn 达到 最大值 时的 n 值 an （ 2） “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是全部非正项之和； 即 当 a1 0, d 0,由 an 100可得 Sn 达到 最小值 时的 n 值 an 或求 an 中正负分界项 法三： 直接利用二次函数的对称性： 由于等差数列前 n 项和的图像是过原点的二次函故 n 取离二次函数对 称 轴最近的整数时, Sn 取最大值（或最小值） ；如 Sp 数, = Sq 就其对称轴为 npq2（三）等比数列 a n

10、1. 等比数列的定义 ： an 1q q 0n2, 且 n N*, q 称为 公比 2. 通项公式： an n 1 a1q a1 qnn A B a1 q0, A B 0, q首项： a1 ；公比： qq推广： a nam qn m , 从而得 n m an 或 q nmanam am 3. 等比中项 （ 1）假如 a, A,b 成等比数列,那么 A叫做 a 与 b 的等差中留意： 同号的 两个数 才有 等比中项,并且它们的等比中项 项即： 2（ 2）数列 an 是等比数列 an an 1 an 14. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式： 1 当 q 1 时, Sn na1 2 A ab 或

11、 A ab 有两个 （两个等比中项互为相反数） 第 3 页,共 11 页2 当 q 1 时, Sn n a1 1 q a1 anq 1q1q5. 等比数列的判定方法 （ 1）用定义：对任意的 n,都有 an 1 qa 或 an 1an qq 为常数, a n0 a 为等比数列 等比数列 （ 2） 等比中项： 2 an an 1 an 1 （ an 1an 10） an 为等比数列 （ 3） 通项公式： an n A B A B 0 an 为等比数列 （ 4） 前 n 项和公式： S nn A A B 或S nA BnA A, B, A, B 为常数 a 为 6. 等比数列的证明方法 依据定义：

12、如 an qq0n2,且 n N * 或 a n1qa n a 为等比数列 an 17. 等比数列的性质 1 当 q 1 时 0 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q等比数列通项公式 a nn1 a q a1 qn A Bn A B q前 n 项和 Sn a1 1 qna1 n a1q a1 a1 q1 q nn A A B n A B A,系数和常数项是互为相反数 1q1q 1 q的类指数函数,底数为公比 qnm,特别的 ,当 m=1 时,便得到等比数列的通项公 2 对任何 m,n N*,在等比数列 a 中,有 a na mq式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性；

13、23 如 m+n=s+t m, n, s, t N * ,就 a n a m a s a .特别的 ,当 n+m=2k 时,得 a a m a k 注： a1 an a2 an 1 a3an 24 列 an , bn 为等比数列 ,就数列 k , k an , an k , k an bn an k 为非零常数 均为等比数 an bn列. 5 数列 an 为等比数列 ,每隔 kk * N 项取出一项 am , am k , am 2k , am 3k ,仍为等比数列 6 假如 an 是各项均为正数的 等比数列 ,就数列 log an 是等差数列 7 如 an 为等比数列 ,就数列 Sn , S

14、2n Sn , S3n S2 n , 2,成等比数列 a3 n 成等比数列 8 如 an 为等比数列 ,就数列 a1 a2 an , an 1an a2 n , a2n 1 a2n 2 第 4 页,共 11 页9 当 q 1 时, 当 0q 1 时, a a1 1 0,就 an 为递减数列, 0,就 an 为递增数列 a 0,就 a 为递增数列 a1 1 0,就 an 为递减数列 n当 q=1 时 ,该数列为常数列（此时数列也为等差数列） ; 当 q0,a0 时, s1 最小：当 d0,a0 时, 最小（ an 0 当 d0,a0 时, s1 最大；当 d0 时, sn 最大 an 0, an

15、 1 0 在等差数列 an 中： 1a5=6,a7=16, 就 a1= , 公差 d= 2a3=20,a10=-1, 就 a15= 摸索：等差数列可以运用于哪些方面 重要性 数列是高中数学的重要内容之一,而等差数列作为一类重要的特别数列,一方面它的定义,通项, 求和, 性质及运算是历年高考的热点, 另一方面同学学习等差数列是探究特别数列的开头, 可以为 今后学习数列供应帮忙,更为等比数列供应了学习对比的依据； 等差数列的概念 等差数列的通 项公式 等差数列前 n 项的和的 求和公式 一,基本概念 1,数列：依据确定次序排列着的一列数 数列的项,数列的项数 表示数列的第 n 项与序号 n 之间的

16、关系的公 式 通项公式：不是全部的数列都有通项公式 符号把握器：如（ 1）n,（ 1）n+1 递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式 第 7 页,共 11 页有穷数列：项数有限的数列 无穷数列：项数无限的数数列分类 列 递增数列：从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数递减数列：从第 列 常数列：各项相等的数列 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列 摇摆数列：从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 二,等差数列：从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个常数称为等差数列的公差 an an 1 d, n 2 且 Z ,或 an

17、 1 an d, n 1 且 n Z n an a1 n 1 d am n m d kn ban a1 an am1,如等差数列 an 的首项是 a1 ,公差是 d ,就有 dn 1 n m n an a1 1d等差中项：三个数 a,G,b 组成的等差数列,就 G为 a与 b 的等差中 2G=a b称 项 2an ap aq 性质： 如 an 是等差数列,就 2n mn p q pq a m a n a p a q如 an 是等差数列,就 am, am k ,am 2 k, am 3 k,L构成公差公差 kd 的等差数列 如 an , bn 是等差数列 ,就 an+ , an + bn 是等差

18、数列 n a1 an nn 1 22,等差数列的前 n 项和的公式： Sn na1 d pn qn 2 2等差数列的前 n 项和的性质： SS 奇 nd nS 奇Sn1an 如项数为 2n n*,就 S2 n n an an 1, San（ 1） 奇San 1偶如项数为 2n 1 n *,就 S2 n 12n 1 an,Snan S1 an, S偶奇奇偶S 偶nSm, S2 m Sm ,S3m S2 m成等差数（ 2） Sn 是等差数列 n列 an 如等差数列 an , bn 的前 n 项和为 Sn ,Tn ,就 bn S2n 1 T2n 1 （ 3）等差数列的求和最值问题： （二次函数的配方

19、法；通项公式求临界项法） 如 a1 0,就 Sn 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 中意 ak 10d0ak 0第 8 页,共 11 页如 a10 ,就 Sn 有最小值,当 0 n=k 时取到的最大值 k 中意 ak 100d ak 三,等比数列：从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个常数称为等比数列的公比 1,通项公式及其性质 an n1 a1q n m amq ab 如等比数列 an 的首项是 a1 ,公比是 q ,就 qn1an n m , q an a1 am a,G,b 成等比数列,就称 G为 a 与 b 的等比2 G 中项 2n p q an 2ap a

20、q ap aq 性质：如 an 是等比数列,就 mnpqam an am,am k,am 2 k,am 3k ,L成公比 q 的等比数列 2,前 n 项和及其性质 Sn na1 q 1, q 1 a1 q1 q na1 n Aq A, q1 a1 1 qna1 an q a1 n a1q 性质 1q1q1q1qSn mSn n q Sm Sn , S2n Sn , S3 n S2n 成等比数列 如项数为 2n,就 Sq 偶 Sm, S2 m Sm ,S3m SS2m成等比数;（检验 a1 是否中意 an Sn Sn 1） 奇列 四, 1 an 与 Sn 的关系： an S1 Sn 1n1n2S

21、n 12 3 Lnn n 1 22 2 1 222 3Ln2nn 1n 2 61 3 2 3 3 3 Ln3 2 n n 2 1 4五,一些方法 1 ,等差数列,等比数列的最大项,最小项；前 2 ,求通向公式的常见方法 n 项和的最大值,最小值 （ 1）观看法；待定系数法（已知是等差数列或等比数列） ； （ 2） an an 1 f n, 累加消元 ; an f n, 累乘消元； an 1（ 3） an an 1 , 倒数构造等差 : 1 1k ；an k an an 1第 9 页,共 11 页（ 4） an an an 1an an 1, 两边同除构造等差 : 111 ； y ） an an

22、 1kan 1b, 化为 an x kan 1x 构造等比 an qan 1pn r（, 构造等比数列： anxn y q an 1x n 1an qan 1pn,化为 an qan 11 ,分 q是否等 1 争辩； pnppn 1 p3 ,求前 n 项和的常见方法 公式法,倒序相加,错位相减,列项相消,分组求和 数列学问点巩固练习 一,选择题 1, 一个三角形的三个内角 A,B,C 成等差数列,那tan A C的值是（ ） ） ） 么 A 3B 3C 3D不确定 32, 等差数列 an 的公差为 2,如 a1 , a3 , a4 成等比数列,就 a 2 等于 A 4B 6C8D10 3, 等

23、比数列 an的前 3 项的和等于首项的 3 倍,就该等比数列的公比（ A 2 B 1 C 2 或 1 D2 或 1 4, 等差数列 an 中,已知前 15 项的和 S15 90 ,就 a8 等于（ ） A 45 2B12 C 45 4D6 5,等比数列 an 中 , an 0 ,a 5a6=9, 就 log 3 a1 log3 a2 log 3 a3 log 3 a10 D. 2 log 3 5 6, 等比数列 a n 的前 n 项和为 Sn , 如 S4=1, S8 =4,就 a13+a14+a15+a16=（ A 7 B16 C 27 D64 7,数列 an 的通项公式 an n1n 1 ,就该数列的前（ ）项之和等于 9A 98 B 99 C96 D97 a18 8,在等比数列 a n 中 ,a5a7=6,a2+a10=5, 就 a10 等于 A. 2或 3B. 2C. 3D. 2 或 3 3 232329,等差数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,如 Sn Tn 2n ,就 anbn =（ ） 3n 1第 10 页,共 11 页A 2 3 an B 2n