高考数学复习专题不完全归纳法

1、高考数学（ 2022）复习专题- 不完全归纳法（一）学问归纳：由事物的部分特别事例猜想出事物的一般结论,这种方法人们称为 “ 不完全归纳法” ,用不完全归纳法得出的结论需要经过证明,因此全部过程可以小结为 下面程序： 运算命题取特别值时的结论； 对这些结果进行分析,探究数据的变化规律,并猜想命题的一般结论； 证明所猜想的结论 . （二）学习要点：在中学数学内,“ 归纳猜想证明”的推理方法一般只局限于数列的内容,而且与正整数 n 有关,其它内容中很少有要求,解决问题时要留意以下几点,运算特例时, 不仅仅是简洁的算数过程, 有时要通过运算过程发觉数据的变化规律；猜想必需精确,肯定不能猜错,否就将白

2、费无功；假如猜想出来的结论与正整数n 有关,一般用数学归纳法证明. N+）,【例 1】已知数列an满意关系式a1a a0,an12 an11a2 ,nan（）用 a 表法 a2,a3,a4；（）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示）,并证明你的结论 . 解析 （）a2a2a a,a3a2a22222a14a,a412 a33214an18 a7 a;n1a1a,1 2a a3 a4 a1a13 aa1（）（a 111a12 1a1a,13a20a1 a,a 1） 猜想an120 2 11 2下面用数学归纳法证明：01 当 n=1 时,a 1 a 20 a , 当 n=1 结论正确；1 2

3、 1 ak 12 假设当 n=k 时结论正确,即 a k1 22 k 1 a1 a,当 n=k+1 时 a k 11 2 aa kk 1 2 k 1 2 k1 aa 2 k 1 ak k= 2k a1 2k a , 当 n=k+1 时结论也正确；1 2 2 a a 1 2 1 a依据 1 与 2 命题对一切 nN* 都正确 . 评析 “ 归纳猜想证明” 是解决数列的某些问题的一种重要方法,对于一些变换技巧比较高的问题, 假如能通过这种方法解答胜利,就解答过程比较其它方法更简洁 . n 1【例 2】已知数列 a n 满意：a 1 ,1 a n 1 2 a n 3 2 , 运算 a2,a3,a4的

4、值,由此归纳出 an的公式,并证明你的结论 . 解析 很简洁算出 a2=5,a3=16,a4=44,但由此猜想出结论明显是特别困难的,下面作一些探究 . a2=2 a1+3 2 =2 1+3 2 ,a3=2（2 1+3 2 ） +3 2 1=2 2 1+2 3 21,a4=2（2 2 1+2 3 21）+3 22=2 3 1+3 3 22；猜想 an=2 n1+（n1） 3 2 n2=2 n2（3n1）；用数学归纳法证明：1 当 n=1 时, a1=21 =1,结论正确；2 假设 n=k 时, ak=2 k2（3k1）正确,当 n=k+1 时,ak12 ak32k12k13k1 32k1=2k

5、13 k22k1 13 k1 1 ,结论正确；n23n1 .由 1 、 2 知对 nN* 有an2评析 假如运算出来的数据很难猜出结论时,应考虑整理运算过程,探究数据的变化规律,看看能否猜想胜利 . 【例 3】已知等差数列 a n 中, a2=8,前 10 项的和 S10=185,（）求数列 a n 的通项公式 an；（）如从数列 a n 中依次取出第 2,4,8, , 2 n, 项,按原先的次序排成一个新数列,试求新数列的前 n 项和 A n；（）设 Bn=n（5+3 an）,试比较 A n 和 Bn 的大小,并说明理由 . 解析 （）设公差为 d,a 1 8 d d 3, a n 5 3

6、n 1 3 n ;2185 10 a 1 45 d a 1 5（）设新数列为 b n,b n a 2 n 3 2 n2A n=3 （2+22+23+ +2n）+2n=3 2n1+2n6；（）Bnn 9n11 9n211 n,A 13448,A 238222,A 331648 ,A 4=3 32+2=98 , A 5=3 64+4=196 , A 6=3 128+6=390 , A 7=3 256+8=776, 而 B1=20,B2=58,B3=114,B4=188,B5=280,B6=390,B7=518, 1、当 n=1,2,3,4,5 时, BnA n；当 n=6 时, B6=A 6；当

7、n7,且 nN* 时,猜想 A nBn,用数学归纳法证明：1 当 n=7 时, A 7=766518=B7,结论正确；2 假 设 当n=k （ k 7 ） 时 , A kBk , 即3 2k+1+2k 69k2+11k2k+13k2+3k+2,11 k1 n=k+1 时,A k1Bk132k22k1 69k1 2=6 2 k+29k227k24 =6 2 k+1（ 3k2+3k+2）+6 （ 3k 2+3k+2）9k227k24 =6 2 k+1（ 3k2+3k+2）+9k 29k12 9k 29k12=9k（k1） 129 7 （ 71） 120 A k+1Bk+1,即 n=k+1 时,结论

8、也正确；依据 1 、 2 知当 n7 且 nN* 时,有 A nBn. 评析 从上面例子可以看出,归纳猜想不仅仅是要有对数据的观看才能,仍需要有肯定的体会,否就很难作出上述精确的猜想 . 【例 4】已知数列 a n 满意：a 1 a 2 1 且 a n 2 a n 21 2, 问是否存在常数 p、a nq,使得对一切 nN* 都有 a n 2 pa n 1 qa n , 并说明理由 . 2 2a 2 2 a 3 2解析 a 3 ,3 a 4 11 , 设存在这样的常数 p、q,a 1 a 2a 3 pa 2 qa 1 p q 3 p 4 , 由 此 猜 想 , 对 n N* , 有a 4 pa

9、 3 qa 2 3 p q 11 q 1a n 2 4 a n 1 a n ,下面用数学归纳法证明这个结论：1 当 n=1 时,a 334a2a 1,结论正确；ak,当 n=k+1 时,4ak2a k1,2 假设当 n=k 时结论正确,即ak24 an1a k3a212ak24ak11ak24ak2ak2ak124a k2a21k22k2kaka ka ka1当 n=k+1 时结论正确,故当nN* 时,an24an1an成立 . 评析 例 4 是一类探究题型,由条件直接推出结论是特别困难的,通过归纳猜想证明的方法,难度不大 . 训练题一、挑选题1. 已知数列an的前 n 项和Snn2ann2,

10、而a 11,通过运算a2,a3,a4,猜想an（）fAn22Bn21 C2 n21D2211 nn2. 已知数列a n的通项公式ann112nN*） ,记n 1a11a2 1a 3 1an,通过运算f1 ,f2,f3,f4的值,由此猜想fn（）Bn42C2n1Dnn1A2n2n1 nn1 2n1 3数列an中,a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,通过运算 S1,S2,S3,猜想 Sn=（1）nCn nn1a nD11a3,然后猜A2n11B2 n11an 22n22n110 ,运算4已知 a1=1,an1an,且an22an1a2,想an（）a 1Cn3n

11、12Dn3nAn Bn2 5 设02,已知2cos,aan,就猜想an（2）2nB2cos2n1C2cos2n1D2sin2nAcos6从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶, 每步只能跨上 1 级或 2 级,走完这 n级台阶共有fn种走法,就下面的猜想正确选项（fn）fn1 n2 Afn fn1 fn2 n3 B2Cfn2fn1 1n2Dfnfn1 fn2n3 二、填空题：7已知数列 a n 中,a 1 ,1 且 4 a n 1 a n a n 1 2 a n 9 , 通过运算 a 2 , a 3 , a 4 , 然后猜想 a n8在数列 a n 中,a 1 ,1 a n 1 n 1 a n ,

12、通过运算 a 2 , a 3 , a 4 , 然后猜想 a n9设数列 a n 的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=2nan（nN+）,通过运算数列的前四项,猜想 a n10已知函数 f x 2 , 记数列 a n 的前 n 项和为 Sn,且 a 1 f 1 , 当 n 22 x时,S n 2 1 n 2 5 n 2 , 就通过运算 a 1 , a 2 , a 3 , 的值,猜想 a n 的通项公f a n 2式 a n三、解答题11是否存在常数 a,b,c,使等式12222 3nn1 2nn1 an2bnc对nN+都成立,并证12明你的结论 . 12已知数列 a n 的各项为正数,其前 n

13、项和为 Sn,又 a 与 S n 满意关系式：4 S 1 4 S 2 4 S nS n,试求 a n 的通项公式 . a 1 2 a 2 2 a n 213已知数列 a n 的各项为正数, Sn 为前 n 项和,且 S n 1 a n 1,归纳2 a n出 an的公式,并证明你的结论 . 14.已知数列 a n 是等差数列,a 1 ,1 a 3 2 , 设n 1P n a 1 a 3 a 9 a k k 3 , n N+）,Q n a 2 a 6 a 10 a m m 4 n 2 , n N+）,问 Pn 与 Qn 哪一个大？证明你的结论 . 15已知数列an：a0,1anp|an1|1 nN

14、* ,0p1 ,（）归纳出 an的公式,并证明你的结论；（）求证：1an0 .p答案与解析一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 二、76 n52n18n！92n112n10n+1 11令 n=1 得 a b c 24 ,令 n=2 得 4 a 2 b c 44 ,令 n=3 得 9 a 3 b c 70 ,解、得 a=3,b=11,c=10,记原式的左边为 Sn,用数学归纳法证明猜想 S n n n 1 3 n 211 n 10 （证明略）1212运算得 a 1 2 , a 2 ,4 a 3 6 , 推测 an 2 n,用数学归纳法证明 （证明略） . 13S 1 a 1 1 a 1 1 a 1 ;1 1 a 2 1 a 2 1 a 2 2 ;12 a 1 2 a 22 a 3 1 a 3 1 a 3 3 2, ,猜想 an n n 1 n N* ）.2 a 3用数学归纳法证明（略）. 0 1 n 1 n14an n