电磁场数学方法-数学物理方程4课件

1、电磁场数学方法任课教师：陈其科联系方式：E_mail： 电 话：61830311总 学 时: 80课时教 材：梁昆淼，数学物理方程（第四版）成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60%第七章 柱函数 第二篇 数学物理方程7.1 贝塞尔函数(I,II,III)7.2 虚宗量贝塞尔函数(I,II,III)7.3 球贝塞尔函数(I,II,III) （一）问题的提出7.1 贝塞尔函数1、轴对称问题问题一：在圆柱内传播的电磁波问题。 设方向均匀的电磁波在底半径为1的圆柱域内传播，在侧面沿法向方向导数为零，从静止状态开始传播，初速为1-2 。求其传播规律（设对极角对称）。定解问题为：轴对称问题一维

2、波动方程7.1 贝塞尔函数(1)时空变量分离令：得：1个特征值0阶贝塞尔方程(2) 求固有值问题（一）问题的提出1、轴对称问题特征值和特征函数是什么？需要解决的问题（一）问题的提出7.1 贝塞尔函数二、非轴对称问题(1)时空变量分离令：得：对(2)，采用极坐标并考虑边界条件得：特征值亥姆霍兹方程常微分方程(易解)（一）问题的提出7.1 贝塞尔函数令：得：(3) 求特征(固有)值问题特征值为：(2) 空间变量分离2个特征值（周期性条件）特征函数为：1、二维传导问题（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数m阶贝塞尔方程：作代换贝塞尔方程变为：写成标准形式得：m阶贝塞尔方程的标准形式1、m阶贝塞

3、尔方程（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数由于x=0为贝塞尔方程的正则奇点，则其解具有如下形式： 将上式代入方程，通过整理系数，可得m阶贝塞尔方程的一个特解：m阶第一类贝塞尔函数2、贝塞尔方程的解（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数可以证明：m阶贝塞尔方程的另一个特解：由于两个线性无关的特解线性组合，得方程通解，故m阶贝塞尔方程的通解可表示为：后面将会证明：当m=n为整数时，有线性相关（当m不为整数时）需要构建一个当m为整数时仍然线性无关的特解。2、贝塞尔方程的解（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数定义1：m阶第一类贝塞尔函数其中：性质：3、贝塞尔函数的定义性质详见附录

4、13（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数定义2：-m阶第一类贝塞尔函数注：当m=n为整数时，有：3、贝塞尔函数的定义（二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数例 试证半奇阶Bessel函数 证明：由于：代入上式得:（重要） （二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数(续上例) 得证！ 注： （二）第一、二类贝塞尔函数7.1 贝塞尔函数例 求如下贝塞尔方程通解解：这是1/2阶贝塞尔方程（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数1、整数阶第一类贝塞尔函数 的震荡性及零点（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数1、整数阶第一类贝塞尔函数 的震荡性及零点a、n阶贝塞尔函数有无限多个正零点c、

5、相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现b、第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加d、（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）由贝塞尔函数的级数表示可推得：基本递推公式证明：得证！（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）由递推公式，有以下常用关系： 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶贝塞尔函数化为0阶与1阶贝塞尔函数，然后查表计算（附录六）。（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数2、第一类贝塞尔函数的递推公式（重要）例 利用递推公式求: 解: 由令n=1/2,得：令n=-1/2,得：（三）

6、贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数（重要）函数 为整数阶贝塞尔函数的母函数(生成函数)：（P47页，例5）证明：由级数展开（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数若令（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数平面波因子结论：平面波可以展开为柱面波的叠加。（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数3、第一类贝塞尔函数的母函数令 ，则上式为（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数4、第一类贝塞尔函数的积分表示由洛朗级数展开定理（3.5节）比较系数得：取c为沿正向绕z=0一周的单位圆围线 ，得（三）贝塞尔函数的性质7.1

7、 贝塞尔函数4、第一类贝塞尔函数的积分表示奇函数贝塞尔函数的积分表示（三）贝塞尔函数的性质7.1 贝塞尔函数5、第一类贝塞尔函数的加法公式（重要）利用母函数公式：比较两端系数，得：贝塞尔函数加法公式7.1 贝塞尔函数6、第二类贝塞尔函数(诺依曼函数 )当阶数m为整数n时，由罗必塔法则x=0为整数阶诺依曼函数奇点（三）贝塞尔函数的性质附录七(4)式若求解区域包含x=0点，则贝塞尔方程通解不含诺氏函数.7.1 贝塞尔函数7、贝塞尔函数的渐进公式（三）贝塞尔函数的性质 若求解区域包含x=0点，则贝塞尔方程通解不含负阶贝塞尔函数及诺依曼函数。m可为整数或非整数 若求解区域包含无穷远点，则贝塞尔方程通解

8、应同时包含贝塞尔函数及诺依曼函数。7.1 贝塞尔函数8、贝塞尔函数的正交性（重要）（三）贝塞尔函数的性质 m阶贝塞尔函数系 在0,l 上带权正交贝塞尔函数的正交性式中：权函数7.1 贝塞尔函数9、贝塞尔函数的归一性（三）贝塞尔函数的性质 m阶贝塞尔函数的模的平方为7.1 贝塞尔函数10、以贝塞尔函数为基函数的广义傅里叶级数展开（三）贝塞尔函数的性质 若函数 满足一定连续性条件，且有 ，则可将 展开为傅里叶级数： （四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数分离变量得：由周期性可知？拉普拉斯方程：根据齐次边界条件求解7.1 贝塞尔函数1、第一类边值问题其中， 为 的第i个零点。解为：

9、本征值本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数2、第二类边值问题其中， 为 的第i个零点。解为：本征函数本征值（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数3、第三类边值问题令其根为即：解为：本征值本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函数课堂练习：写出以下本征值问题的本征值及本征函数（四）柱坐标系下定解问题的的本征值问题7.1 贝塞尔函

10、数例：求薄圆盘的温度分布定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例分析：隐含条件：解：令 ，代入方程分离变量得0阶贝塞尔方程7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由前讨论可知，零解贝塞尔方程的通解为：由边界条件：解特征值问题：求T：7.1 贝塞尔函数（续上例）方程解为（五）贝塞尔函数的应用举例方程通解为由初始条件，有：由广义傅里叶级数展开公式：7.1 贝塞尔函数推导：（五）贝塞尔函数的应用举例7.1 贝塞尔函数（五）贝塞尔函数的应用举例7.1 贝塞尔函数（五）贝塞尔函数的应用举例7.1 贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令 ，代入方程分离变量得(轴对称问题)非齐次7

11、.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例而由于问题轴对称，因此必有求特征值：求特征值u：0阶贝塞尔方程7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求Z：故方程通解为：边界条件第一类边界条件模7.1 贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令 ，代入方程分离变量得(非轴对称问题)非齐次7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例特征值问题1(求特征值)：m阶贝塞尔方程特征值问题2(求特征值u)：7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求Z：故方程通解为：边界条件7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由上式可以解出系数。两

12、端同时乘以左边=7.1 贝塞尔函数例：求定解问题（五）贝塞尔函数的应用举例解：令 ，代入方程分离变量得0阶贝塞尔方程轴对称问题分析：隐含条件7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由前讨论可知，零阶贝塞尔方程的通解为：由边界条件：7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例求T得：方程通解为：由初始条件：7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例第二类齐次边界条件贝塞尔函数的模初始条件7.1 贝塞尔函数例：用均匀材料做尖劈形细杆，杆长为l，粗端自由。已知杆初始位移为f(x)，初速为0，求杆的纵振动。（五）贝塞尔函数的应用举例解：选取x,x+dx段，受A、C段

13、拉力的合力。胡克定律知合力为杨氏模量横截面积由牛顿运动定律7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例写出定解问题：7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由分离变量法，令 ，代入方程0阶贝塞尔方程解特征值问题：07.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由边界条件将特征值代入T满足的方程，可以求得通解为：7.1 贝塞尔函数（续上例）（五）贝塞尔函数的应用举例由初始条件7.1 贝塞尔函数自学： 例6（P274）（五）贝塞尔函数的应用举例7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）1、定义第一类汉克尔函数第二类汉克尔函数可以证明： 是m阶贝塞尔方程的

14、两个线性无关解，即m阶贝塞尔方程的通解也可以表示为：汉克尔函数常用于求解波的散射问题。7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）2、汉克尔函数的渐进表示沿+x方向行波 由索末菲积分公式出发，并采用最速下降法(鞍点法)，可推得当x很大时汉克尔函数的近似值，即渐进公式沿-x方向行波7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）3、汉克尔函数的奇异性 当m为整数(m=n)时， 即：整数阶汉克尔函数在x=0点处奇异。4、汉克尔函数的递推关系 与第一类贝塞尔函数的递推关系相同。 第一类贝塞尔函数 ，第二类贝塞尔函数 和第三类贝塞尔函数 统称为柱函数。7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞

15、尔函数（汉克尔函数）例：设平面波垂直入射到一无限长的金属圆柱面上，平面波的电场方向与柱轴平行，求被柱体散射的散射波。分析：散射场问题物理过程： 电磁波照射到金属导体上，在导体表面上产生感应电流。这些感应电流作为二次源将产生二次场 ，即为感应场。这种现象称为散射现象。解：入射场7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）设散射场散射场满足亥姆霍兹方程，即：导体表面总场为0(散射场方向与入射场相同)由分离变量法，设，则而 仍然满足m阶贝塞尔方程，故有7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）由前讨论可知: 表示沿+ 方向传播的行波； 表示沿 方向传播的行波

16、；而本题要求的散射波 应只存在 方向传播的行波，故7.1 贝塞尔函数（六）第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）(续上例）比较系数，得7.1 贝塞尔函数（七）半奇数阶贝塞尔函数（回顾）亥姆霍兹方程的在球坐标系下分离变量球函数方程做代换 ,方程整理得阶贝塞尔方程阶球贝塞尔方程7.1 贝塞尔函数（七）半奇数阶贝塞尔函数半奇数阶贝塞尔函数定义：由递推公式：7.2 虚宗量贝塞尔函数（一）回顾 拉普拉斯方程的在柱坐标系下分离变量常微分方程m阶贝塞尔方程欧拉方程虚宗量贝塞尔方程常微分方程已解决7.2 虚宗量贝塞尔函数（一）回顾 思考： 在何条件下0？在何条件下0？在何条件下=0？问题1：问题2：问题3：7.2 虚

17、宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义 虚宗量贝塞尔方程: 做代换 代入方程得：m阶贝塞尔方程 其通解为7.2 虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义 虚宗量贝塞尔函数定义:虚宗量贝塞尔函数7.2 虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义 虚宗量贝塞尔方程的通解: 对于整数阶虚宗量贝塞尔方程(m=n为整数): 证明： 对于整数阶虚宗量贝塞尔方程，解需要构建新的线性独立的解。7.2 虚宗量贝塞尔函数（二）虚宗量贝塞尔函数定义 虚宗量汉克尔函数定义: 虚宗量汉克尔函数和虚宗量贝塞尔函数线性独立，故虚宗量贝塞尔方程的通解为：7.2 虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的性质 1、虚宗量贝塞

18、尔函数的零点 除x=0点外均不为0.即：7.2 虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的性质 2、虚宗量贝塞尔函数渐进关系当 时，有： 当求解域包含圆柱轴( ）时，解不应含 当 时，有： 当求解域为圆柱外(包含无穷远点）时，解不应含 7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 例 介质圆柱，半径为 ，高为L，柱侧有均匀分布热流进入，强度为 。圆柱上下底保持为恒定温度 。求解柱内稳定温度分布。解：写出定解问题边界条件非齐次，首先齐次化边界条件。令7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 （续上例）由分离变量法，令 ，则轴对称第一类边界条件轴对称问题0阶虚宗量贝塞尔方程7.2

19、 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 （续上例）通解为7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 例 导体圆柱壳，半径为 ，高为L，侧面与上下底面用绝缘材料隔绝。已知侧面电势分布为 ，上底面电势为 ,下底面接地，求圆柱壳内的电势分布。 解：写出定解问题边界条件非齐次，不能直接利用分离变量法求解。利用叠加原理将问题分解为两个问题求解。轴对称问题7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 （续上例）将问题分解为：解问题(I),方程通解为令7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 （续上例）7.2 虚宗量贝塞尔函数（三）虚宗量贝塞尔函数的应用 （续上例）解问

20、题(II),方程通解为7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 例 导体圆柱壳，半径为 ，高为L，侧面与上下底面用绝缘材料隔绝。已知侧面电势分布为 ，上底面电势为 ,下底面接地，求圆柱壳内的电势分布。 解法二：写出定解问题令7.2 虚宗量贝塞尔函数（四）虚宗量贝塞尔函数的应用 例 导体圆柱壳，半径为 ，高为L，侧面与上下底面用绝缘材料隔绝。已知侧面电势分布为 ，上底面电势为 ,下底面接地，求圆柱壳内的电势分布。 解法三：写出定解问题令做代换 ,方程整理得7.3 球贝塞尔函数（一）回顾（回顾）亥姆霍兹方程的在球坐标系下分离变量球函数方程阶贝塞尔方程阶球贝塞尔方程?做代换 ,方程整理得

21、7.3 球贝塞尔函数（二）球贝塞尔方程的解阶贝塞尔方程其解有如下几种类型 球贝塞尔方程的解应为上述几个函数中任取两种的线性组合。7.3 球贝塞尔函数（二）球贝塞尔方程的解根据代换关系，得到几种球贝塞尔函数定义定义1：l 阶球贝塞尔函数定义2：l阶球诺依曼函数定义3：l 阶球汉克尔函数l 为整数7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质球贝塞尔函数（球柱函数）通式1、递推公式由柱函数递推公式：可推得球柱函数递推公式：7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质2、球贝塞尔函数的初等函数表示整数阶球贝塞尔函数可用初等函数表示。其他阶可用递推公式求得。 当求解域包含无穷远点时，解应用球汉克尔函数表

22、示 7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质3、球贝塞尔函数的渐近公式当 时，有： 当求解域包含球心( ）时，解不应含 当 时，有：表示幅度趋于0的行波7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质4、球贝塞尔函数的正交性、模及展开定理a、球贝塞尔函数的本征值问题： 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件先考虑第一类边界条件： 第i个零点。7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质4、球贝塞尔函数的正交性、模及展开定理a、球贝塞尔函数的本征值问题：类推，可知球贝塞尔函数本征值问题：本征值本征函数7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质4、球贝塞尔函数的正交性、模及展开定理b、球

23、贝塞尔函数的正交性、模及展开定理 球贝塞尔函数系 在0,r0区间具有带权正交性、归一性和完备性。正交性模：级数展开：与边界条件有关本征值7.3 球贝塞尔函数（三）球贝塞尔函数的性质5、平面波展开为球面波的叠加 前面已经推得，平面波可以展开为柱面波叠加，即平面波因子柱面波函数平面波因子 令 ，则平面波因子为(轴对称,m=0)平面波展开为球面波的叠加公式7.3 球贝塞尔函数（四）球贝塞尔函数的应用例：求定解问题解：令 ，代入方程整理得亥姆霍兹方程由边界条件可知：问题与 均无关，即：本征值7.3 球贝塞尔函数（四）球贝塞尔函数的应用(续上例)0阶球贝塞尔方程其解为：求解区域为球内区域，写出通解为：7.3 球贝塞尔函数（四）球贝塞尔函数的应用(续上例)通解为：课程内容三种方程四种求解方法二个特殊函数行波法分离变量法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝赛尔函数勒让德函数贝塞尔函数勒让德函数分离变量法总结（一）分离变量法基本思想基本思路： 首先求出具有变量分离形式且满足边界条