高考数学备考推理与证明复习教案

1、学习好资料 欢迎下载推理与证明【最新考纲透析】1合情推理与演绎推理（1）明白合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简洁的推理,明白合情推理在数学发觉中的作用；（2）明白演绎推理的重要性,把握演绎推理的基本模式,并能运用 它们进行一些简洁推理；（3）明白合情推理和演绎推理之间的联系和差异；2直接证明与间接证明（1）明白直接证明的两种基本方法分析法和综合法；明白分析 法和综合法的摸索过程、特点；（2）明白间接证明的一种基本方法反证法；明白反证法的摸索 过程、特点；3数学归纳法 明白数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简洁的数学命题；【核心要点突破】要点考向 1：合情推理 考情聚焦： 1合情推理

2、能够考查同学的观看、分析、比较、联想的 才能,在高考中越来越受到重视；学习好资料 欢迎下载2出现方式金榜经,属中档题；考向链接： 1归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,在进行归纳时,要先依据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论；2类比推理是由特别到特别的推理,是两类类似的对象之间的推理,其中一个对象具有某个性质, 就另一个对象也具有类似的性质；在进行类比时, 要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后类比推导类比对象的性质；例 1：（2022 福建高考文科 ）观看以下等式： cos2a=2 cos a -1; cos4a=8 cos a - 8cos a

3、+ 1; cos a - 1. cos6a=32 cos a - 48cos a + 18cos a - 1; cos8a=128 cos a - 256cos a + 160cos a - 32cos a + 1; 10 cos10a= m cosa- 12808 cos a+ 1120cos a + ncos a + p可以估计, m n + p = . 【命题立意】此题主要考查利用合情推理的方法对系数进行推测求解【思路点拨】依据归纳推理可得【 规 范 解 答 】 观 察 得 ： 式 子 中 所 有 项 的 系 数 和 为1 ,m12801120np11 , mnp162 ,又p 10 5

4、 50,m 25129n400,mnp962 【答案】 962学习好资料 欢迎下载要点考向 2：演绎推理考情聚焦： 1近几年高考,证明题逐步升温,而其证明主要是通过演绎推理来进行的；2主要以解答题的形式出现,属中、高档题；考向链接： 演绎推理是由一般到特别的推理,数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的, 只要采纳的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的, 其结论肯定是正确, 肯定要留意推理过程的正确性与完备性；例2： （2022 浙江高考理科14 ）设n2,nN,2x1n3x1na0a 1x22axnn,ax23将a k0kn 的最小值记为T n,就T 20, T 13 321, T 40

5、T 15 52,n1T,娴熟把握相3 35 3其中T =_ . 【命题立意】 此题考查合情推理与演绎推理的相关学问,关的推理规章是关键【思路点拨】观看T 的奇数项与偶数项的特点0, ,当n【规范解答】观看T 表达式的特点可以看出T 20,T 4为偶数时,T n0；T 311,T 511, ,3 23 35 25 3当n为奇数时,T n112nn 30学习好资料欢迎下载, 当 为偶数时【答案】T n13 1 , n 当 为奇数时2 n要点考向 3：直接证明与间接证明考情聚焦： 1直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式,考查了同学的规律思维才能,近几年高考对此部分的考查有所加强；2以解答题的形

6、式出现,属中档题目；例 3：（2022 北京高考文科 20）已 知 集 合 S n X X x 1 , x 2 , , x n , x i 1,0 , i ,1 ,2 , n n 2 对 于A a a 2 ,., a n ,B b b 2 ,b n , S n, 定 义 A 与 B 的 差 为A B | a 1 b 1 |,| a 2 b 2 |,| a n b n |;nd A , B a i b iA 与 B 之间的距离为 i 1（）当 n=5 时,设 A 0,1,0,0,1, B 1,1,1,0,0,求A B,d A B ；（）证明：A B C S n , 有 A B S n,且 d A

7、 C B C d A B ; 证明：A B C S n , d A B , d A C , d B C 三个数中至少有一个是偶数【命题立意】此题属于创新题,考查了同学运用新学问的才能；此题情形是全新的,对同学的“ 学习才能” 提出了较高要求；要求老师真正的重视同学的探究性学习, 更加留意同学“ 学习才能” 、“ 创新才能”的培育【思路点拨】（I）（）直接按定义证明即可；采纳反证法证明 “ 至少” 问题可【规范解答】（）学习好资料欢迎下载0（1,0,1,0,1）AB 0 1 ,1 1 , 0 1 , 00 , 1d A B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 03 设 A a a 2 , , a

8、 n , B b b 2 , , b n , C c c 2 , , c n S n由于 a b 1 0,1,所以 a 1 b 1 0,1 i 1,2, , 从而 A B a 1 b 1 , a 2 b 2 , a n b n S n由题意知 a b c i 0,1 i 1,2, , 当 ic 0 时,a i c i b i c i a i b i当 ic 1 时,a i c i b i c i 1 a i 1 b i a i b in所以d AC BCi1a ib id A B,cnS n证明：设Aa a2,an,Bb b 2,b n,Cc c 2,d A Bk d A Cl d B Ch,

9、 n 中 1 的个数为 l2 t记00,0,0S 由（）可知d A B , d AA BA d0,BA kd A Cd AA CA d0,CA ld B Cd BA CA h所以ba ii1,2, n 中 1 的个数为 k,c ia i i1,2,设t是使b ia ic ia i1成立的i的个数；就hlk由此可知,k l h 三个数不行能都是奇数,即d A B,d A C,d B C 三个数中至少有一个是偶数注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法,我们常用分析法查找解决问题的突破口,然后用综合法来写出证明过程,有时候

10、,分学习好资料 欢迎下载析法和综合法交替使用；要点考向 4：数学归纳法考情聚焦： 1新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势,望能引起足够的重视；2以解答题的形式出现,属中档题；例 4：等比数列 a 的前 n 项和为S , 已知对任意的 nN,点 , n S ,均在函数1, , b r 均为常数 的图像上 . ybxr b0且b（1）求 r 的值; （11）当 b=2 时,记 b n 2 l o g n n 1 N b 1 1b 2 1b n 1 n 1证明：对任意的n N,不等式 b 1 b 2 b n 成立【解析】由于对任意的 n N ,点 , n S n ,均在函数 y b xr b

11、 0 且b 1, , b r 均为常数的图像上 .所以得 S n b r ,当 n 1 时, a 1 S 1 b r ,当 nn n 1 n n 1 n 1n 2 时, a n S n S n 1 b r b r b b b 1 b ,又由于 a 为等n 1比数列 ,所以 r 1 ,公比为b, na b 1 bn 1 n 1 n 1（2）当 b=2 时,a n b 1 b 2 , b n 2log 2 a n 1 2log 2 2 1 2 nb n 1 2 n 1 b 1 1b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1就 b n 2 n ,所以 b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n .

12、下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 不 等 式b 1 1b 2 1b n 1 3 5 7 2 n 1n 1b 1 b 2 b n 2 4 6 2 n 成立. 3 3 2当 n 1 时,左边= 2 ,右边= 2 ,由于 2 ,所以不等式成立 . b 1 1b 2 1b k 1 3 5 7 2 k 1 k 1假设当n k 时不等式成立 ,即 b 1 b 2 b k 2 4 6 2 k成立.学习好资料nk欢迎下载,左边就当1时=b 11b 21b k1b k113 5 72k1 2k3. k11b 1b 2b kb k12 4 62 k2k2k12k32k324k2 1k4k11k114112k

13、24k141k所以当nk1时,不等式也成立 .由、可得不等式恒成立注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式,命题关键在于“ 先看项” ,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与 n 的取值是否有关,由 多少项,增加怎样的项；（2）在本例证明过程中,考虑“n=k 到 n=k+1 时等式的两边会增加n 取第一个值的命题形式” 时,需仔细对待,一般情形是把第一个值供稿通项,判定命题的真假, 在由 n=k 到 n=k+1 的递推过程中,必需用归纳假设,不用归纳假设 的证明就不是数学归纳法；（3）在用数学归纳法证明的第2 个步骤中,突出了两个凑字, 一“ 凑”假设,二“ 凑” 结

14、论,关键是明确 n=k+1 时证明的目标,充分考虑由n=k 到 n=k+1 时,命题形式之间的区分和联系；【高考真题探究】1（ 2022 山东高考文科 ）观看x22x ,x44x ,R 上的函数f x 满意cosxsinx ,由归纳推理可得：如定义在fx fx ,记g x 为f x 的导函数,就gx =（）C g x （ A ）f x Bf x Dg x 学习好资料欢迎下载【命题立意】此题考查归纳推理的有关学问, 考查了考生的观看问题,分析问题解决问题的才能 . 【思路点拨】观看所给的结论,通过归纳类比联想,得出结论 . 【规范解答】选 D通过观看所给的结论可知,如 f x 是偶函数,就导函数

15、 g x 是奇函数,应选 D2 （ 2022 陕 西 高 考 理 科 ） 观 察 下 列 等 式 ：1 32 33 , 21 32 33 36 , 21 32 33 34 310 , ,依据上述规律, 第五个等式为 _. 【命题立意】此题考查归纳推理,属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下：1 2 3,1 2 3 6,1 2 3 4 10,即左边底数的和等于右边的底数；故第3 3 3 3 3 3 2 2五个等式为：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21.3 3 3 3 3 3 2【答案】1 2 3

16、 4 5 6 21.3 （2022 北 京 高 考 理 科 20 ） 已 知 集 合S n X X x 1 , x 2 , , x n , x i 1,0 , i ,1 2 , , n n 2 对 于 A a a 2 ,., a n ,B b b 2 ,b n , S n, 定 义 A 与 B 的 差 为A B | a 1 b 1 | , | 2 b 2| , a n | b n | ; A 与 B 之 间 的 距 离 为nd A , B a i b ii 1；（）证明：A B C S n , 有 A B S n,且 d A C B C d A B ; （）证明：A B C学习好资料,d A

17、C,欢迎下载S n,d A Bd B C 三个数中至少有一个是偶数 设 P S ,P 中有 mm2个元素,记 P 中全部两元素间距离的 平均值为dP. mn证明：d（P）2m1. 【命题立意】此题属于创新题,考查了同学运用新学问的才能,考查 了反证法、不等式证明等学问此题情形是全新的,对同学的“ 学习 才能” 提出了较高要求要求老师真正的重视同学的探究性学习,更加留意同学“ 学习才能”、“ 创新才能” 的培育【思路点拨】（I）直接按定义证明即可； （）“ 至少” 问题可采纳反证法证明； 把A B Pd A B表示出来,再利用均值不等式证明nS n【规范解答】（I）设Aa a 2,.,a n,B

18、b b 2,.,b ,Cc c2,.,c由于ia,ib0,1,所以|a ib i|0,1,i1,2,.,n从而AB|a 1b 1|,|a 2b 2|,.,|anb n|S nn又d AC BCi1|aic i| |b ic i|b i | |a ib i|S n由题意知ia,ib,ic0,1 i1,2,.,n . 当ic0时,|a ci|b ici| |aib ; 当ic1时,|a ci|b ic i| | 1ai1nc c2,.,c n所以d AC BCi1|a ib i|d A BII 设Aa a2,.,an,Bb b 2,.,b ,CdA,Bk,d A C学习好资料h . 欢迎下载l ,

19、d B C记O0,0,.,0S ,由（ I）可知c id O CAld A Bd O BA k ,d A Cd B Cd BA CAha i| i1,2,., n 中 1 的所以|b iai| i1,2,., n 中 1 的个数为 k , |个数为l设t是使| b i a i | | c i a i | 1 成立的i的个数,就 h l k 2 t由此可知,k l h 三个数不行能都是奇数,即 d A B , d A C , d B C 三个数中至少有一个是偶数d P 12 d A B d A B （III ）C m A B P ,其中 A B P 表示P 中全部两个元素间距离的总和,设P 中全

20、部元素的第i个位置的数字中共有it 个 1,mt 个 0 n就A B Pd A Bi1t mti由于it mti2 mi1,2,.,n4所以A B Pd A Bnm24从而d P1A BPd A Bnm22mn12 C m4C2mm【方法技巧】（1）证明“ 至少有一个 ” 的时,一般采纳反证法；（2）证明不等式时要多观看形式,适当变形转化为基本不等式4（2022 江苏高考 23）已知 ABC 的三边长都是有理数；学习好资料 欢迎下载求证： cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n,cosnA 是有理数；【命题立意】此题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础学问,考查推理论证的才能与分析问题、

21、解决问题的才能；【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosA,由三边a b c 是有理数,求得结论；（2）可利用数学归纳法证明 . 【规范解答】方法一： （1）设三边长分别为a b c ,cosAb22 ca2,2bca b c 是有理数,b22 ca 是有理数,分母2bc为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,2 2 2b c a2 bc 必为有理数, cosA 是有理数；（2）当 n 1 时,明显 cosA 是有理数；2当 n 2 时,cos2 A 2cos A 1,由于 cosA 是有理数, cos2A也是有理数；假设当nk k2时,结论成立,即coskA、cos k1A 均是有理数；

22、当nk1时,cos k1AcoskAcosAsinkAsinA ,cosk1AcoskAcosA1coskAAcos kAA,2cosk1AcoskAcosA1cos k1A1cos k1A,22Acosk1A是有理解得：cos k1A2coskAcosAcos k1AcosA,coskA,cos k1A均是有理数,2coskAcos学习好资料 欢迎下载数,cos k1A是有理数；即当nk1时,结论成立；综上所述,对于任意正整数n,cosnA 是有理数；方法二：（1）由 AB 、BC、AC 为有理数及余弦定理知cosAAB22AC2BC2是有理数；12 cosA 也AB AC（2）用数学归纳法

23、证明cosnA 和sinAsinnA都是有理数；当n1时,由（ 1）知cosA是有理数,从而有sinAsinA是有理数；假设当 n k k 1 时,coskA和sin A sin kA都是有理数；当 n k 1 时,由cos k 1 A cos A cos kA sin A sin kA ,sin A sin k 1 A sin A sin A cos kA cos A sin kA sin A sin cos kA sin A sin kA cos A,及和归纳假设,知 cos k 1 A 和 sin A sin k 1 A 都是有理数；即当 n k 1 时,结论成立；综合、可知,对任意正整

24、数n,cosnA 是有理数；5（2022 江苏高考）设ab0,求证：3 a 2 b 3 a b 2 ab . 3 2【解析】本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法,考查代数式的变形才能；满分 10 分；3 3 2 2 2 2 2 2证明：3 a 2 b 3 a b 2 ab 3 a a b 2 b b a 3 a 2 b a b .由于ab0,所以a b0,3 a 2 b 0,2从而 3 a 2 b a b 0,2 2即33 a2b 3 a b22学习好资料欢迎下载ab . 6（2022 安徽高考）设数列a 满意a 10,an1ca31c cN*,其中 为实n数（）证明：a n 0,1 对任

25、意 n N 成立的充分必要条件是 c 0,1；（）设 0 c 13,证明：a n1 3 n 1, n N *; 0 c 1 a 1 2a 2 2a n 2n 1 2 , n N *（）设 3,证明：1 3 c【解析】（）必要性：a 1 0, a 2 1 c ,又a 2 0,1,0 剟 1 c 1,即 c 0,1 . 充分性：设 c 0,1,对任意 n N 用数学归纳法证明 a n 0,1 . 当 n 1 时,a 1 0 01, . 假 设 当 n k 时 ,ka 0 , 1 , 就 a k 1 ca k 1 c , c 1 c 1, 且 33a k 1 ca k 1 c 厖 1 c,0 a k

26、 1 0,1 . 由数学归纳法知,a n 0,1 对任意 n N 成立. 设 0 c 13,当 n 1 时,a 1 0,结论成立；当 n 时,a n ca n 1 1 c ,1 a n c 1 a n 1 c 1 a n 1 1 a n 1 a n 1 . 3 3 20 c 13,由（）知 a n 1 0,1,1 a n 1 a n 21 , 3 且1 a ,2 n 1 n 11 a n 剟 3 1 a n 1 3 1 a n 2 剟 3 1 a 1 3 ,n 1a n1 3 c , n N * . 0 c 1 a 1 20 2 2设 3 ,当 n 1 时,1 3 c ,结论成立；n 1当 n

27、 时,由 知 a n1 3 c 0,2 n 1 2 n 1 2 n 1 n 1a n 1 3 1 23 3 1 23 . 2 a 12 a 2a22 a 2学习好资料23 3 2欢迎下载1a2n13 nnnn121n 3 n112 3 c . 13 c【跟踪模拟训练】一、挑选题（每道题6 分,共 36 分）q 是p 的（）1已知p是q的充分不必要条件,就（） 充分不必要条件（） 充要条件 件（） 必要不充分条件（） 既不充分也不必要条2设 a、b、c 都是正数,就a1b1c1）ABCb ,c ,a 三个数（A、都大于 2 B、至少有一个大于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于2 3

28、在ABC中, A B C 所对的边分别为a b c ,且 cosacosbB ,就肯定是（）（）直角三角形 （）等边三角形（）（） 等腰三角形等腰直角三角形45.已知函数yfx 的定义域为 D,如对于任意的x 1,x2D x1x2,都有fx12x 2f x1学习好资料y欢迎下载fx2f x 为 D 上的凹函数 .由此可得2,就称以下函数中的凹函数为（）x2（）ylog 2x（B）yx（ C）y（D）yx35.给定正整数nn2按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数 1,2,3, , n,在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上 这两个数之和,得到上面一行的数（比下一行少一个数）,依次类推,最

29、终一行（第 n 行）只有一个数 .例如 n=6 时数表如下列图, 就当 n=2 007 时最终一行的数是（）A251 22 007 B2 007 22 006 C251 22 008 D2 007 22 005 6.如图,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点： 1,2,3,4,5,6 的横、纵坐标分别对应数列 ann N* 的前 12 项（即 横坐标为奇数项,纵坐标为偶数项） ,按如此规律下去 ,就 a2 009+a2 010+a2 011等于 A1 003 学习好资料欢迎下载B1 005 C1 006 D2 011 二、填空题（每道题 6 分,共 18 分）7对于等差数列 a n

30、 有如下命题： “如 a n 是等差数列,a 1 0,s、 是互不相等的正整数,就有（s 1）a t（t 1）a s 0” ；类比此命题,给出等 比 数 列 b n 相 应 的 一 个 正 确 命 题 是：“ _”8假如 A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2 的三个内角的正弦值,就 A1B1C1 是 三角形, A2B2C2 是三角形 .（用“锐角”、“钝角 ”或“直角” 填空）92022 汉沽模拟 在直角三角形ABC中,两直角边分别为 a、 ,设 h1 1 1为斜边上的高,就 h a b ,由此类比：三棱锥 S ABC的三个侧 2 2棱 SA、SB、SC 两两垂直, 且长分别

31、为a、 、c,设棱锥底面 ABC上的高为h,就 . 三、解答题（ 10、11题每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分）学习好资料 欢迎下载10.观看下表：1,2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15, 问：（1）此表第 n 行的最终一个数是多少？（2）此表第 n 行的各个数之和是多少？（3）2022 是第几行的第几个数 . （4）是否存在 nN* ,使得第 n 行起的连续10 行的全部数之和为227-213-120？如存在,求出 n 的值；如不存在,请说明理由 . 11已知数列 a n：a 1 1,a 2 2,3a r ,a n 3 a n 2（n是正整数）

32、,与数列 nb：b 1 1,b 2 0,b 3 1,b 4 0,b n 4 b （ n 是正整数）记 T n b a 1 b a 2 b a 3 b a （1）如 a 1 a 2 a 3 a 12 64,求r的值；（2）求证：当n是正整数时,T 12 n 4 n ；（3）已知 r 0,且存在正整数 m ,使得在 T 12 m 1,T 12 m 2,T 12 m 12 中有 4 项为 100求r的值,并指出哪 4 项为 10012 已 知数 列an,an10,a 1a 10,a n12a n11an2nN 记1a 111 1a 111 1a nS na1a2anT n 1a2a2求证：当nN时,

33、（）anan1；（）Snn2；学习好资料欢迎下载（）Tn3；参考答案一、挑选题1【解析】选 .反证法的原理： “原命题 ” 与“逆否命题 ”同真假,即：如pq 就 qp . 2【解析】选 D. absinAsinB3【解析】选 A.cosAcosB ,cosAcosB ,tanAtanB,又由于A B0,AB；4【解析】选 C.可以依据图像直观观看；对于（C）证明如下：欲证fx12x 22f x1fx2,即2证0 x 1x 222 x 12 x 222,即证2x 1x 222 x 12x ,即证x 1x 2,明显,这个不等式是成立的,且每一步可逆,故原不等式得证；5【解析】选 C.由题意知,

34、112=7 24,48=6 23,20=5 22,故 n行时,最终一行数为 n+1 2n-2,所以当 n=2 007 时,最终一行数为2 008 22 005=251 22 008. 学习好资料 欢迎下载二、填空题6【解析】选 B.观看点坐标的规律可知,偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n, 又 2 009=4 503-3,2 011=4 503-1, a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005, a2 009+a2 010+a2 011=1 005. 7【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比,等差数列中、类比到等比数列常常n是、（）

35、、,类比方法的关键在于善于发觉不同对象之间的“相似”,“相像”是类比的基础；bb ts st 11 bb 11 qq ts 11 st 11 1. 答案：如 b n 是等比数列,1b 1,s、 是互不相等的正整数,就有s 1b tt 1 1b s；8答案：锐角 钝角11119答案：h2a2b2c2三、解答题10【解析】（1）第 n+1 行的第 1 个数是 2n,第 n 行的最终一个数是 2n-1. 学习好资料 欢迎下载（2）2n-1+（2n-1+1）+2n-1+2+ +（2n-1）=3 22n-3-2n-2. （3）210=1 024,211=2 048,1 0242 0102 048,2 0

36、10在第 11 行,该行第 1 个数是 210=1 024,由 2 010-1024+1=987,知 2 010 是第 11行的第 987 个数. （4）设第 n 行的全部数之和为 和为 Sn. an,第 n 行起连续 10 行的全部数之就 an=322n-3-2n-2,an+1=3 22n-1-2n-1,an+2=322n+1-2n, , an+9=3 22n+15-2n+7, Sn=322n-3+22n-1+ +22n+15-2n-2+2n-1+ +2n+7 =22n+17-22n-3-2n+8+2n-2,n=5 时,S5=227-128-213+8=227-213-120. 存在 n=5 使得第 5 行起的连续 10