直线与平面垂直的性质-完整版PPT

1、6.2垂直关系的性质第1课时直线与平面垂直的性质问题引航1.线面垂直的性质定理的内容是什么？有什么作用？2.应用线面垂直性质定理时应注意什么？直线与平面垂直的性质定理文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线_图形语言符号语言 _平行ab1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线a和直线c，a，若ca，则c.()(2)在平面和平面中，a，b，且ab，则和互相平行.()(3)已知平面和直线a，b.若a，b，则a，b.()【解析】(1)正确.由a，ca，所以c.(2)正确.由线面垂直的性质知.(3)错误.a，b，则a，b或a，b .答案：(1)(2)(3)2.填一填(把正确的

2、答案写在横线上)(1)ABC所在的平面为，直线lAB，lAC，直线mBC，mAC，则直线l，m的位置关系是_.(2)平面平面，=l，n ，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_.(3)在圆柱上的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是_.【解析】(1)因为lAB，lAC，AB ，AC ，且ABAC=A，所以l，同理可证m，所以lm.答案：lm(2)由题意知n，m所以mn.答案：mn(3)由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行.答案：平行【要点探究】知识点 线面垂直的性质对线面垂直性质的四点说明(1)应用的问题情

3、境：直线与平面垂直的性质定理，考查的是在直线与平面垂直的条件下，可以得出哪些结论.(2)本质：线面垂直线线平行.(3)作用：证明线线平行；找(作)平行线.(4)对性质定理的证明.证明：如图所示，假设a与b不平行，设b与交于点O，b是经过点O与a平行的直线，因为ab，a，所以b，这样，经过同一点O的两条直线b、b都垂直于平面，这是不可能的.因此ab.【微思考】(1)直线与平面垂直的性质定理有几个条件？提示：两个条件，即这两条直线都与平面垂直.(2)如果三条直线都垂直于同一个平面，则这三条直线有什么位置关系？提示：根据直线与平面垂直的性质定理知，这三条直线平行.【即时练】已知三条直线a，b，c和平

4、面，下列命题中正确的是()A.a，b，则abB.ac，bc，则abC.a ，b，则abD.a，b，则ab【解析】选D.A中a与b的关系为相交、平行或异面，B中a与b可能平行也可能异面，C中a与b可能平行也可能异面.【题型示范】类型一 线面垂直的性质定理的应用【典例1】(1)已知PA垂直于ABCD所在平面，若PCBD，则ABCD一定是_.(2)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点.求证：平面BCE平面CDE.【解题探究】1.题(1)中由PA垂直于ABCD所在平面可以得到哪些垂直关系？PCBD的作用是什么？2.题(2)中，AB平面ACD，

5、DE平面ACD，可以得到哪些关系？怎样说明平面BCE平面CDE？【探究提示】1.由PA垂直于ABCD所在平面可得PA垂直于BD，PAAC，PAAB，PAAD，PABC，PACD.由PCBD，结合PABD可以得到BD平面PAC.2.由线面垂直的性质定理可得，ABDE，在平面BCE中，找一条直线垂直于平面CDE即可.【自主解答】(1)因为PA垂直于ABCD所在平面，BDABCD所在平面，所以PABD，又因为PCBD，PAPC=P.所以BD平面PAC，所以BDAC，所以ABCD一定是菱形.答案：菱形(2)取CE的中点G，连接FG，BG，AF.因为F为CD的中点，所以GFDE，且GF= DE.因为AB

6、平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE.则GFAB.又因为AB= DE，所以GF=AB.则四边形GFAB为平行四边形.所以AFBG.因为ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD.因为DE平面ACD，AF 平面ACD，所以DEAF.又因为CDDE=D，CD 平面CDE，DE 平面CDE，所以AF平面CDE.因为BGAF，所以BG平面CDE.因为BG 平面BCE，所以平面BCE平面CDE.【延伸探究】题(2)中，若G为CE的中点，AD=DE=2AB=2，其他条件不变，试求四边形ABGF的面积.【解题指南】先判断四边形ABGF的形状，然后求面积.【解析】由(2)知ABGF为平行四边形，又A

7、B平面ACD，AF平面ACD，所以ABAF，即平行四边形ABGF为矩形，由题意知AB=1，AF= ，所以四边形ABGF的面积为1 = .【方法技巧】1.线面垂直的性质定理和判定定理的应用线面垂直的性质定理结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化.2.证明线线平行的方法(1)在平面内证明线线平行的方法三角形、梯形中位线的性质.平行四边形对边平行的性质.平行线分线段成比例的性质.两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行).(2)空间中两直线平行的判定线线平行的定义：证共面且无

8、公共点.平行公理.线面平行的性质定理.面面平行的性质定理.线面垂直的性质定理.【变式训练】(2014江苏高考)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：(1)直线PA平面DEF.(2)平面BDE平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以PADE，又PA平面DEF，DE 平面DEF，所以PA平面DEF.(2)由(1)PADE，又PAAC，所以DEAC，又F是AB的中点，所以DE= PA=3，EF= BC=4，又DF=5，所以DE2+EF2=DF2，所以DEEF，EF，AC是平面ABC内两条相交直

9、线，所以DE平面ABC，又DE 平面BDE，故平面BDE平面ABC.【补偿训练】(2013西安高一检测)如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，AD1与A1D相交于O点，MN平面A1DC.求证：MNAD1.【证明】因为ADD1A1为正方形，所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1，所以CDAD1.因为A1DCD=D，所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC，所以MNAD1.类型二 线面垂直的性质的综合应用【典例2】(1)如图，边长为a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列说法，其中

10、正确的有_(填上所有正确说法的序号).动点A在平面ABC上的射影在线段AF上.恒有平面AGF平面BCED.异面直线AE与BD不可能互相垂直.(2)(2014南昌高一检测)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，PA=AB，点M在棱PD上，且PB平面AMC.试确定点M的位置.若点N是PB的中点，求证：MN平面PAC.【解题探究】1.题(1)中DE与平面AGF有怎样的关系.2.题(2)中，连接BD交AC于O，则平面PBD与平面MAC的交线是什么？PB与交线的关系是什么？中BD与平面PAC的关系是什么？MN与BD的关系是什么？【探究提示】1.DE平面AGF.2.平面PBD与平面MA

11、C的交线是MO，PBOM，中BD平面PAC，MNBD.【自主解答】(1)因为DEAG，DEGF，AGGF=G，所以DE平面AGF.又DE 平面BCED，所以平面AGF平面BCED，故正确.过A作AHAF，垂足为H，则AH 平面AGF，所以AHDE，又DEAF=G，所以AH平面ABC，故正确.易知BDEF，所以AEF是异面直线AE与BD所成的角或补角.设正ABC的边长为2a，AE=a，EF=a，而AF的长度的取值范围是(0， a)，当AF= a时，AE2+EF2=AF2，AEF=90，此时直线AE与BD互相垂直.故错误.答案：(2)如图，连接BD交AC于点O，连接OM，由PB平面AMC，PB 平

12、面PBD，平面PBD平面AMC=MO，所以PBOM.又因为O是BD的中点，所以M是PD的中点.由N是PB的中点，得MNBD，又因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC.因为PA平面ABCD，所以BDPA，又PAAC=A，所以BD平面PAC，所以MN平面PAC.【方法技巧】1.直线与平面垂直的性质(1)证明线线平行：若l，m，则lm.(2)证明线线垂直：若l，m ，则lm.(3)证明面面平行：若l，l，则.(4)证明线面垂直：若lm，l，则m.若l，则l.2.线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直，直线与平面垂直，直线与平面平行，直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是

13、从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的.(2)转化关系线线垂直 线面垂直 线线平行【变式训练】(2012北京高考)如图(1)，在RtABC中，C=90，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图(2).(1)求证：DE平面A1CB.(2)求证：A1FBE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.【解析】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEBC.又因为DE平面A1CB，BC 平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DEC

14、D.因为A1DCD=D，所以DE平面A1DC.而A1F 平面A1DC，所以DEA1F.又因为A1FCD，DECD=D，所以A1F平面BCDE，所以A1FBE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQBC.又因为DEBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1CDP.又因为DEDP=D，所以A1C平面DEQP.从而A1C平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ.【补偿训练】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外

15、的一点，四边形ABCD是DAB=60，且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD.(2)求证：ADPB.【证明】(1)连接PG，BD，由题知PAD为正三角形，G是AD的中点，则PGAD.又因为平面PAD平面ABCD，PG 平面PAD，所以PG平面ABCD.因为BG 平面ABCD，所以PGBG.又因为四边形ABCD是菱形，且DAB=60，所以ABD是正三角形.则BGAD.又因为ADPG=G，且AD 平面PAD，PG 平面PAD.所以BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD，PGAD.又因为BG，PG为平面PBG内两条相交

16、直线，所以AD平面PBG.因为PB 平面PBG，所以ADPB.【规范解答】垂直关系的综合应用【典例】(12分)(2014西安高二检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，ACB=90，AEPB于E，AFPC于F，若PA=AB=2，BPC=，则当AEF的面积为 时，求tan的值.【审题】抓信息，找思路【解题】明步骤，得高分【点题】警误区，促提升失分点1：解题时若忽视处AE的长度求解，则无法求出AE，则会导致无法继续求解而最多得4分.失分点2：解题时若忽视处AEF的面积的表达式不能探求出EF与 的关系而造成失分，考试时最多得8分.失分点3：不能正确求出AF的值，从而造成无法求解PC，最后在PBC中无法求出tan的值，考试中最多得10分.【悟题】提措施，导方向1.关注解题时的前提条件在解题时，容易忽视解题的前提条件，而不能正确地求出相关量，导致求不出或求错最终的结果.如本例中在利用垂直关系时，若忽略ACB=90则不能得出BC平面PAC，从而不能正确得到AF与EF的关系，不能表达出SAEF.2.注重运算能力的培养在解题时，要熟练掌握相关的运算能力，如勾股定理、等积法的应用.在直角三角形中应用三角函数求角、求边等.如本例中的正切值等于对边与邻边的比值.【类题试解】(201