常微分方程初值问题的数值解法

1、常微分方程初值问题的数值解法第1页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。（1）第2页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三对于问题(1),要求它的数值解第3页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三-(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的

2、关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过第4页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。第5页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三1 欧拉方法 /* Eulers Method */ 欧拉公式：x0 x1向前差商近似导数记为亦称为欧拉折线法 /* Eulers polygonal arc method*/ 第6页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三定义在假设 yi = y(xi)，即第 i 步

3、计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度。 欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有 1 阶精度。Ri 的主项/* leading term */第7页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三例1.解:由前进Euler公式第8页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三得依此类推,有 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3

4、582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848第9页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三 欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */向后差商近似导数x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111-=+=+niyxfhyyiiii第10页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit

5、*/ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。 Hey! Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method ? Seems that we can make a good use of it 第11页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三 梯形公式 /* trapezoid formula */ 显、隐式两种算法的平均注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度

6、，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。第12页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三方 法显式欧拉隐式欧拉梯形公式简单精度低稳定性最好精度低, 计算量大精度提高计算量大 Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages? Do you think it possible? Well, call me greedy OK, lets make it possible.第13页，共14页，2022年，5月20日，5点20分，星期三 改进欧拉法 /* modified Eulers method */Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector met