化归思想在三角函数解题中的应用浅析

1、 化归思想在三角函数解题中的应用浅析 王辰飞Summary：三角函数是中学数学教学中的重点和难点，其涉及的内容较为广泛，并且类型题普遍较为复杂，用传统的方法进行计算，其步骤复杂，并且容易产生计算错误，不利于三角函数的解题。因此，要对传统的解题方法进行优化，通过渗透化归思想，将原本复杂的内容简单化，从而提升三角函数解题的效率和准确性，对提升中学数学学习水平具有重要的意义。本文首先分析了化归思想的基本内涵，随后阐述了在中学阶段三角函数的学习难点，最后提出了几点三角函数中应用化归思想的策略，为中学生提升三角函数解题水平起到了借鉴和参考作用。Key：化归思想；三角函数；解题一、 引言应用化归思想不仅能

2、够有效的提升学生的数学解题水平，还能够锻炼学生的思维方式，让学生能够从多个角度对一个问题进行分析，并让学生的思维方式更加流畅，不仅能够对数学的学习起到推动作用，还能够有效的促进学生综合素质的全面发展，达到培养学生数学核心素养的目的。二、 化归思想的基本内涵化归思想是唯物辩证主义的一种重要的思考方式，其内容即化整为零，将原本复杂的问题利用简单的方式进行处理。从本质上而言，化归思想也就是通过利用一些已经掌握的，并且相对较为简单和具体的知识，将原本复杂的问题简单化、将抽象的问题具体化、将未知的问题已知化、将特殊的问题一般化、将非典型的问题典型化的思维方式。通过这种方式，可以在知识结构没有发生较大改变

3、的前提下，解决过往所无法解决的问题。在生活中运用化归思想，可以解决生活和工作中所出现的难题，将难以解决的问题分割成为若干个小的问题，从而通过逐个解决小的问题，最终解决整体的问题。在中学数学领域内，待定系数法、整体代入法等，都是化归思想的直接体现。三、 三角函数的学习难点三角函数是中学数学学习的重点和难点，其复杂性较高，并且所涉及的内容较多，在学习过程中容易产生较多的问题。三角函数的学习难点主要体现在以下几个方面：首先，是学习观念不正确的问题。相对于初中的三角函数问题，高中的三角函数问题难度倍增，学习起来具有较大的困难。而许多高一新生没有对三角函数的困难性和重要性有明确的认知，还认为三角函数比较

4、简单，只需要将公式代入到其中就可以解决问题。导致许多高一新生在学习的过程中，没有全身心的投入，上课不专注等问题比较明显。而在基础知识学习完后，高一新生往往刚体会到三角函数的困难，此时再进行学习就已经显得有些晚了，存在大量的知识漏洞，导致三角函数的学习产生较大的问题。其次，是综合能力不足的问题。三角函数所涉及的内容和公式众多，需要将多个单元的内容有机结合，并非仅仅学好三角函数知识就能够解决三角函数问题，对于数学综合能力的要求较高。而由于数学本身具有高度的抽象性和理论性，学习起来具有较高的难度，因此，大多数学生都很难良好的掌握每个部分的知识，也就导致了大多数学生存在综合能力不足的问题。再次，是学习

5、方法不科学的问题。在课堂教学中，教师往往只讲解知识点，而不进行学习方法的传授。学生的学习方法大多是结合自身的学习经验得来的，这种具有经验性质的方法不具备科学性，许多学生使用了错误的学习方法而不自知，也就会出现学习效率低下的问题。除此之外，许多学生过于依赖教师的讲解，在课后没有将知识进行自主训练，也就导致了知识学得快，忘得也快，不利于数学学习水平的提升。接下来，是解题方法不恰当的问题。三角函数本身具有较高的复杂性，针对一个问题，通常会有多种不同的解法，其中，有的解法简单，并且不容易出错，而有的解法较为复杂，并且容易产生计算错误。在解题的过程中，如果没有使用正确的解题方法，很容易出现解法较为复杂，

6、并且产生计算错误的问题。最后，是知识性的错误。三角函数所涉及的定理、公式、符号等数量众多，学生需要花费一定的时间记忆，并通过大量的练习灵活的运用这些知识。而如果记忆不够深刻，或所做的练习不够多，就会产生一些知识性的错误，如定理记不起来、公式记错、符号记混等，这种问题会对三角函数的解题产生极大的影响，这也就需要学生发挥出自身的能力进行针对性的训练，从而寻求最合理的解决方法。四、 化归思想在三角函数解题中的应用（一） 一般问题特殊化数学题目花样众多，绝大多数问题都无法直接用公式或定理推导出来。这也就需要对这些问题进行处理，将一些普遍的问题转化成为所学过的特殊问题，从而解决熟悉程度较低的问题。例如，

7、在解三角函数时，可以通过不断的推导，将三角函数转化为二次函数，要想得出三角函数的最值，只需要得出二次函数的最值即可。除此之外，比较难的y=acosx+bsinx可以化归为更便于计算的y=a2+b2sin（x+y）。【例1】已知有xR，求f（x）=6cosx-8sinx的值域。解答思路如下：可以用上述的例子對本题目进行计算，其步骤为：f（x）=6cosx-8sinx=62+（-8）2sin（x+y）=10sin（x+y）因此，函数f（x）=6cosx-8sinx的值域为-10，10。【例2】假设有一三角函数f（x），求f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最值。解题思路如下：这种题用

8、三角函数的方式进行解决会有较高的难度，而如果将其转化为二次函数的形式，就成为了学生所熟悉的题型。因此，解答步骤为：f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3=2cos2x-1+1-cos2x+2cosx+3经过推导后可得出结论：f（x）=（cosx+1）2+2因此，f（x）=cos2x+sin2x+2cosx+3的最大值为6，最小值为2。【例3】假设有一三角函数tanx=2，求2sinx+3cosxsinx-cosx。endprint解题思路如下：此分式的解决难度较大，利用传统的方法很难解答。而如果利用三角函数公式：tanx=sinxcosx进行解答，可以将分式转变成为齐次分式，也就是代

9、入公式tanx=sinxcosx后，将整个分式的分子和分母同时除以cosx，从而得出最终的结论。（二） 三角问题立体化三角函数具有较高的学习难度，在应用的过程中，也容易受到各种主观或客观因素的影响，存在一定的难度。而如果使用化归的解题思想，可以通过构建几何图形的方式，来使得抽象的问题直观化，从而解决问题。【例4】假设有三个锐角，分别为x，y，z。并且这三个锐角满足条件cos2x+cos2y+cos2z=-1，求证tanxtanytanz22。解题思路如下：在面对公式cos2x+cos2y+cos2z=-1时，很容易会联想到另一个公式cos2x+cos2y+cos2z=1，而这个公式同时又是长方

10、体的关系式。因此，可以将原问题转换成为长方体，通过对长方体进行求解，从而得到题干中的内容。解题步骤如下：首先，设三条边a=cosx，b=cosy，c=cosz，则可以得知tanxtanytanz=b2+c2aa2+c2bb2+a2c，这也就可以使三角不等式转化为代数不等式，其解答的难度大大降低。如果a，b，c都大于零，则可以转为求证：b2+c2aa2+c2bb2+a2c22之后可以转化为b2+c2aa2+c2bb2+a2c2bca2acb2abc，最终也就可以得到tanxtanytanz=22，因此，原问题中的tanxtanytanz22成立。利用化归思想将三角函数问题转变为几何问题，不仅可以

11、转变为立体几何问题，还可以转变成为解析几何问题。【例5】假设有cos4xcos2y+sin4xsin2y=1，则求证cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。解题思路如下：通过对两个公式进行分析，可以得知这个公式与椭圆方程有一定的相似性。而由于缺乏必要的数值参照的情况下，难以构建椭圆进行立体几何的解答，因此，可以通过解析几何的方式进行解答。通过分析题意可知，有两点P和Q，分别为（cos2x，sin2x）和（cos2y，sin2y），这两点都在椭圆x2cos2y+y2sin2y=1，其中，点Q有一条切线，这条切线的方程为x+y=1。根据上述内容所示，很容易能够证明出点P仍然在这条切线上，而

12、由于对于一个椭圆而言，一条切线只具有一个切点，因此，可以得知点P和点Q在同一个点上，也就能够反向推导得出结论：cos4ycos2x+sin4ysin2x=1。（三） 三角问题代数化【例6】求证：cos4atan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。解题思路如下：根据所学的数学知识可知，4a的角度数比2a高一倍，将其代入公式中，假设：tan2a=t，根据公式，可以得到结果：cos4a=1-t21+t2，sin4a=2t1+t2，2tan2atan2a-1=-t。将上述得到的内容代入到公式中来，也就可以将原本的三角函数问题彻底转化为代数问题，其解题难度就会极大的下降。解题步骤如下：设：ta

13、n2a=t，根据万能公式，可得cos4atan2a-sin4a=1-t21+t2t-2t1+t2。将所得的结果进行代数运算，也就可以得出最终的结论：cos4atan2a-sin4a=2tan2atan2a-1。（四） 多变量问题少变量化三角函数的问题普遍较为复杂，其主要内容是三角函数问题，所涉及的变量较多，并且公式也比较多。因此，需要将多变量的问题利用化归思想转变为变量少的问题，可以利用三角函数的各种正弦、余弦等定理，将多余的部分消去，只留下有用的核心部分，从而有效的降低解题的难度，优化解题步骤。【例7】在一个三角形ABC中，证明：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0

14、。解题思路如下：首先要对原题进行分析，根据题意可以得知，这个问题本质上是在探讨三角形的边和角的问题。由于题目本身就带有余弦定理的部分公式，因此，利用化归思想，消除掉多余的部分，利用余弦定理公式可以进行证明。其解题步骤如下：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=-2bccosAtanA+2accosBtanB对上述等式进行推导，可以得出结论：（a2-b2-c2）tanA+（a2-b2+c2）tanB=0。（五） 数形结合思想数与形是一件事物的两个方面属性，也是数学中最基本的研究对象。在一定条件的限制下，数与形之间是可以进行相互转化的。在高中阶段，已经对数与形有了较为透彻的研

15、究，通过将二者相互融合，取长补短，发挥出各自的优势，优化数学解题路径，这也就体现出了数学中数形结合的基本理念。五、 结语数学是一门具有较高的难度和抽象性的学科，其知识体系较为复杂，并且一个问题往往涉及多方面的知识，是学生学习的重点和难点。在数学中，许多难题都无法通过常规的计算方法解决，这也就为化归思想提供了广泛的应用范围。三角函数的学习主要有以下几方面的难点，首先，许多学生的学习观念不正确，对于三角函数的重視程度不足。其次，三角函数所涉及的内容和公式众多，学生普遍存在着综合能力不足的问题。再次，许多学生的学习方法不对，学习效率较低。接下来，许多学生的解题方法过于复杂，容易出现错误。最后，部分学生对于三角函数相关的基础知识掌握不扎实，容易出现错误的问题。而利用化归思想，可以有效的解决上述出现的集中问题，具有重要的意义。Reference：1苏芳，覃学文.在“数学分析”中渗透数学思想的教学意义化归与转化思想J.梧州学院学报，2012，22（02）：101-104.2马艳，马贵.化归思