专题 多面体的外接球问题

1、专题多面体的外接球问题一、考点分析：有关多面体外接球问题，是立体几何中的一个重点，也是近几年高考考题的一个热点，研究多面体外接球的 知识，既要运用多面体的知识又要运用球的相关知识；特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系, 而多面体外接球半径的求法在解题中会起着至关重要的作用。二、教学目标1、了解多面体与其外接球的关系2、掌握几种常见的多面体的外接球的计算方法。三、教学重点、难点不同类型的多面体与其外接球半径的求法四、教学过程（一）球的性质性质1：用一个平面去截球，截面是圆面； 用一个平面去截球面，截线是圆。 大圆-截面过球心，半径等于球半径； 小圆-截面不过球心性质2:球心和截面圆心

2、的连线垂直于截面.性质3:球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r下面的关系:r R2 - d2（二）球体的体积与表面积：41、V = -n R32、S = 4冗 R2球 3球面（三）球与多面体的接、切1外接球球心到各顶点的距离相等（R ） 2.内切球球心到各面的距离相等（r ）五、经典模型：（一）汉堡模型（直棱柱和圆柱外接球问题）A1BC1例1、已知正四棱柱的各个顶点都在同一个球面上，且高为4,体积为16其外接球的表面积是A1BC1例2：直三棱柱ABC-ABC的各个顶点都在同一个球面上，若AB=AC=AA =2,111 1ZBAC=120。，则此球的表面积等于（）（二）对棱相等模型题型：

3、三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等（AB=CD,AD=BC,AC=BD ），求外接球问题第一步：画出一个长方体（补形），标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c.AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z,列出方程,a 2 + b 2 = x 277x2 + y2 + z 2lx2 + y2 + z2 b2 + c2 = y2 n 12R J2 = a2 + b2 + c2 =R = A2V 8a 2 + c 2 = z 2例3：三棱锥A-BCD中，AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）C（三）墙角模型（

4、三条两两垂直的棱）BC（三）墙角模型（三条两两垂直的棱）B解题方法：找三条两两垂直的线段，直接利长方体对角线公式即可：/ a 2 + b 2 + c 2（2R J2 = a 2 + b 2 + c 2 n R = 一2例题4： （1）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为X3 ，其外接球的表面积是（）（2）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1正方形，则该几何体外接球的体积（四）垂面模型题型一、侧棱垂直于底面的棱锥（PA丄平面ABC）步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，以A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必过球心0第二步：O为AA

5、BC的外心，所以OO丄平面ABC,计算出小圆O的半径OD二r1 1 11（r利用正弦定理计算可得）第三步：利用勾股定理即可：R2 = r2 + OO 21则该三棱锥的外接球体积等于（）例5：三棱锥S-ABC中，侧棱SA丄平面ABC,底面ABC是边长为x/3的正三角形，SA=2吕则该三棱锥的外接球体积等于（）题型二：三棱锥P - ABC的三条侧棱相等，且各个顶点都球面上第一步：确定球心0的位置，取AABC的外心0，则P,0,0三点共线;1 1第二步：先计算出小圆0的半径，AO二r,再算出棱锥的高PO ;1 1 1第三步：勾股定理：OA2 = OA2 + OO2 n R2 =（h-R）2 + r2

6、,解出R 1 1方法二2R =空（a为棱长，0为侧棱与底面所成角）sin 0例6：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为的正三角形，侧棱长为2,则该三棱锥的外接球 体积等于（）（五）折叠模型题型:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起或菱形折叠 第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上， 找出ABCD和AABD的外心H和H1 2第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0，连接0E,0C; TOC o 1-5 h z 12第三步：解A0EH，算出0H，在RTAOCH中，勾股定理即可：OH 2+CH 2=R211 1 11D例7：棱形ABCD的边长为2，且Z

7、BAD = 60。，将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A BD丄平面BCD,则三棱锥A-BCD的外接球的半径为（）D变式：“平面ABD丄平面BCD”改为“平面ABD与平面BCD所成角为120。”则三棱锥 A-BCD的外接球的半径为（）六、课堂小结1、汉堡型（直棱柱或圆柱）如何找外接球的半径呢？（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点； （2）再构造直角三角形，勾股定理求解2、三组对棱分别型的三棱锥如何找外接球的半径呢？ 方法：直接补成长方体，求其体对角线；3、三条棱两两垂直的三棱锥如何找外接球的半径呢？方法：直接补成长方体，求其体对角线；4、墙面型（侧棱垂直

8、于底面的棱锥）如何找外接球的半径呢？第一步：找底面多边形外接圆的圆心O,计算出小圆O的半径OD二r（r利用正弦定理计算可得）;1 1 1第二步：过O作OO丄底面，O为球心且O0=丄h（h为椎体的高）1 1 1 2第三步：利用勾股定理即可：5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？（1）找底面多边形外接圆的圆心0（顶点在底面的投影），计算出小圆O的半径OD = r（r利用1 1 1 正弦定理计算可得）;（2）在高线上取一点作为球心0 （3）利用勾股定理求出半径即可6、折叠问题（对称性）（1）找两底面多边形外接圆的圆心O、O，计算出小圆的半径r（r利用正弦定理计算可得）;12PBC（2）在过小圆圆心0,0作两面的垂线，两高线交点为球心O；PBC12（ 3）利用勾股定理求出半径即可