大学数学(高数微积分)11Fourier积分课件(课堂讲义)

1、ssss1.1Fourier积分本节内容一、Fourier级数二、Fourier积分定理三、小结一、 Fourier级数傅里叶(17681830)法国数学家对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.法国数学家FourierJBJFourier 1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和. 1822年， Fourier在研究热传导理论时发表了热的解析理论，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理.一、 Fourier级数一、Fourier级数 1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的定理，奠定了Fourier级数的理

2、论基础.狄利克雷（18051859）德国数学家P. G. L. Dirichlet 一个以T 为周期的函数fT(t),如果在 上满足Dirichlet条件, 即在区间 上满足:1. Fourier级数展开 1) 连续或只有有限个第一类间断点; 2) 只有有限个极值点. 则在区间 可以展开成Fourier级数. 在fT(t)的连续点处, 级数的三角形式如下:2.Fourier级数的三角形式即2.Fourier级数的三角形式1) 级数复指数表示形式:2.Fourier级数的三角形式1)级数复指数表示形式系数的确定1)级数复指数表示形式若令 (n=0,1,2, ),级数的复指数表示级数的复指数表示1

3、) 级数复指数表示形式1)级数复指数表示形式1)级数复指数表示形式即2)级数正弦和余弦表示形式级数正弦表示形式:级数余弦表示形式 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作周期为T的函数fT(t),使其在 之内等于f(t), 而在 之外按周期T延拓到整个数轴上,显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有二、Fourier积分定理1)Fourier积分公式1) Fourier积分公式1. Fourier积分公式1. Fourier积分公式1. Fourier积分公式1. Fo

4、urier积分公式1. Fourier积分公式Fourier积分公式1). Fourier积分公式若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有2. Fourier积分定理 一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.定理:Fourier积分公式的复数形式2. Fourier积分定理2. Fourier积分定理3. Fourier积分公式的三角形式Fourier积分公式的三角形式3. Fourier积分公式的三角形式 当 为奇函数时,利用三角函数的和差公式,有3. Fourier积分公式的三角形式 由于 为奇函数,则 和 分别是关于 的奇函数和偶函数,因此Fourier正弦积分公式当 为偶函数时,同理可得Fourier余弦积分公式4. Fourier正弦和余弦积分公式 特别地,如果 仅在 上有定义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶延拓的方法,得到 相应的Fourier正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开式.注意:例1解例1例1例1Dirichlet积分例1本节学习了接下来学习 本节从周期函数的Fourier级数展开出发,讨论了非周期函数的Fourier