刚体力学习题课

1、刚体力学习题课基本思路 两大类:1.刚体定轴转动的运动学问题刚体的运动 = 平动 + 转动 平动刚体 质点 质点力学问题转动刚体已知(t), 求, 用导数已知 或 , 求 (t) 用积分2.刚体定轴转动的动力学问题关键是分析受力(力矩), 两套方法:(1)方法一: 用转动定律解题平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程转动物体,用隔离体法, 分析力矩, 写出转动方程由角量和线量关系,将平动和转动联系起来方法二: 用运动定理或守恒定律解题刚体定轴转动的动能定理和功能原理(包括机械能守恒)刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒3.习题的基本类型刚体的纯转动问题刚体平动与转动的综合问题质点与刚体的碰撞问题(

2、2)习题1: 如图所示,一根质量m、长l 的均匀细棒AB可绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动,O轴离A端的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O轴转动。求:1)棒在水平位置时刚起动时的角加速度;2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度;3)棒转到竖直位置时,棒两端和中点的速度和加速度。C解:以棒为对象,受重力和轴的支持力,支持力不产生力矩。选顺时针方向为正。1)棒在水平位置时受到的合外力矩:(3)ABO.l/3棒对O轴的转动惯量：由转动定律得2)重力矩的元功: 棒从水平位置转到竖直位置(角速度为)过程中, 重力矩作功:由动能定理得竖直位置时,棒受重力矩为零,此时瞬时角加速度为零(4)CA

3、BO.l/33)方向向左方向向右方向向左(法向无切向)指向O点(法向无切向)指向O点(法向无切向)指向O点(5)CAB.C.BAOl/3hmgR球壳r圆盘 m1m21习题2:如图所示,不可伸长不打滑的细绳缠绕在球壳大圆、圆盘上,求:物体m由静止下落h时其速度大小。2T1T1T2T2解法1:利用转动定律 和牛顿定律, 有绳不打滑,则物体做匀加速直线运动,则联立方程,解得:(6)a再利用对球壳、圆盘、物体、地球系统仅保守内力(重力)做功,故机械能守恒(取m下落h处势能为零)：即两个T1的总功为零,两个T2的总功也为零。 解法2:绳不伸长、不打滑, 故可解得同样结果:(7)hmgR球壳r圆盘 m1m

4、212T1T1T2T2a势能零点df0rdr习题3: 圆盘(m, R)以0在桌面上转动,受摩擦力而静止求: 到圆盘静止所需时间。解:取宽为dr的细圆环圆盘摩擦力矩dm 摩擦力df 的力矩转动定律其质量为(8)另解: 用角动量定理习题4:如图所示,ABC为金属半圆环,小球与它之间无摩擦,且他们的质量都是m ,系统固定在地面上,且绕竖直轴转动。初始角速度为0 求:小球从A运动到B和C时,环的角速度、小球相对于圆环和地面的速度值。已知半圆环对AC轴的转动惯量J=mR2/2解: 设小球和金属半圆环为系统系统所受合外力矩为零,角动量守恒对A与B状态、A与C状态分别应用角动量守恒定律得ABCRO(9)小球

5、在B点处环的角速度：小球在C点处环的角速度：设小球在B、C处相对于环的速度分别为v1、v2小球在B、C处相对于地的速度分别为vB、vC小球、半圆环和地球组成系统, 小球和环之间的非保守内力做功是一对力的功, 为零；系统机械能守恒(取O点为势能零点)。则 vB2=v12+(BR)2 , vC2=v22(10)对A与B状态、A与C状态分别应用机械能守恒定律得ABCRO习题5：长为l、质量为m的均匀杆，在光滑桌面上由竖直位置自然倒下，当倾角为 时，如图所示。求：1)质心速度；2)杆的角速度。C.xyO解: 1)合外力竖直向下, 故质心运动向下t时刻质心坐标为设质心速度为vC ,杆绕质心角速度为方向竖

6、直向下2)取杆和地球为系统, 则机械能守恒, 选O点为势能零点(11)势能零点习题6:长为l ,质量m的竖直杆可绕水平轴O转动,质量为m0的小球垂直击中杆的中部,并且碰撞后自由下落,而杆在碰后的最大偏角为 求:1)小球击中杆前的速率v0; 2)使轴上的横向力为零时打击的位置。解:1)小球和杆为系统,碰撞过程角动量守恒碰撞后以杆和地球为系统, 机械能守恒(取杆在竖直位置质心处为势能零点)(12)hh=l(1-cos)/22)杆为系统,系统所受外力如图 设小球打击的位置为x(13)质心运动定理转动定律习题7: 两个圆盘 (参数m1, m2;R1, R2)以角速度10,20旋转，求: 它们以下面两种

7、方式衔接后各自的角速度。102020解：1) 两圆盘系统仅有摩擦内力矩，无外力矩作用，所以角动量守恒：2) 两圆盘旋转不同轴，无角动量守恒。接触处分别有切向摩擦力 f1, f2 (= f1)且10(14)+习题8: 水平圆盘(m1,R),以 0转动;玩具汽车(m2,质点)以匀速 v 相对于盘沿一条半径由中心向边缘行驶; 求: 玩具汽车行至圆盘边缘时, 圆盘转了多少圈?解: 圆盘转动惯量: J1=m1R2/2车在r 处转动惯量: J2=m2r2=m2(vt)2系统角动量守恒:(15)玩具汽车对地的速度v车地?r习题9: 质量为m、半径为R的转盘,可绕通过中心的竖直轴转动。质量为m0的人站在边缘上, 人和转盘原来都静止。当人沿转盘边缘匀速奔跑一周时,求:对地而言,人和转盘各转动了多少角度？解: 以m , m0为研究对象故系统角动量守恒。注意:应用角动量守恒时必须选择惯性系, 选择地面为参照系, 正方向如图。mxm0设转盘对地面固连的轴的角速度为盘地，人对地面固连的轴的角速度为人地(16)+因人和转盘原来都静止故某状态角动量为负号表示转盘转动方向于人相反,(17)mxm0+习题10: 水平圆盘(M, R)以角速度0绕垂直光滑轴在水平