指数函数幂函数对数函数增长的比较-完整版PPT

1、新课导入 函数是描述客观世界变化的规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。例如：澳大利亚的兔子数“爆炸”.澳大利亚兔子 一大群喝水、嬉戏的兔子，多可爱啊，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学澳大利亚兔子数“爆炸” 家采用载液瘤病

2、毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气想一想：这种现象可以用哪个函数模型来描述呢？ 在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线； 在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型 实际问题实际分析，那么如何选择恰当的函数模型来刻画呢？ 可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的.前期后期3.6 指数函数、幂函数、 对数函数增长的比较 y=axy=ax+by=lnx教学目标知识与能力 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解

3、它们的增长差异性 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用过程与方法情感态度与价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用教学重难点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义重点难点怎样选择数学模型分析解决实际问题 例1 假设你有一笔

4、资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元. 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一 天多回报10元. 方案三: 第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？分析：先建立三种方案所对应的函数模型，方案： 通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.（1）涉及哪些数量关系？（2）如何用函数描述这些数量关系？ 探究1我们来计算三种方案所得回报的增长情况：x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.804567830404040

5、4040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2 214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4 从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：4080120160y1012xoy=40y= 10 x 我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多,从中体会“指数爆炸”的含义.下面再看累计的回报数： 结论：投资6天以下，应选择第一种投资方案；投资7天，应该选择方案一或方案二；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种

6、投资方案.天数回报/元方案一二三401 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1180 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 6600.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：其中哪个

7、模型能符合公司的要求？ 例2涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。40060080010001200200 1 2 3 45678xyo 对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。y=5y=0.25x列表计算确认上述判断：2.51.022.1851.042.544.954.445.044.4424.55模型奖金/万元利润10208008101000y0.25X 当x20时，y5所以该模型不符合要求. 可知道在区间（800，810）内有一点x0，满足 所以说当xx0时，y5,该模型也不符合要求.x

8、yo我们来看函数 的图象:问题:当 时,奖金是否不超过利润的25%呢?10 对数函数，指数函数和幂函数在(0,+)上都是增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体情况是怎么样的呢？ 在10，1000上总是小于0.综上所述:模型 确实符合公司要求.对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x0. 思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应 表, 这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x210.55686.0634.59

9、53.4822.63921.5161.149y=2x3.43.02.62.21.81.410.60.2x探究2xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考2：观察在同一坐标系中这三个函数图象，标出使不等式log2x2xx2 , log2xx20时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？ xyo1124y=2xy=x2由图像知2个交点思考4:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考1:对任意给定的a1和n0，在区间(0,+)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?思考2:一般地，指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn

10、(n0)在区间(0,+)上，其增长的快慢情况是如何变化的？探究3 一般幂、指、对函数模型（y=xn,y=ax ,y= logax ）的差异. 在区间(0,+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax 会小于xn ，但是由于ax 的增长快于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x x0时，就会有ax xn.思考3:对任意给定的a1和n0，在区间 (0,+)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?思考4:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？xyo1y=logaxy=xn 在区间(0,+)上，随着x的增大， logax增

11、长得越来越慢，图像就像是渐渐与x轴平行了一样，尽管在x的一定变化范围内， logax可能会大于xn ，但由于logax的增长慢于xn 的增长，因此总存在一个x0 ，当x x0时，就会有logax xn思考5:对于指数函数y=ax(a1)，对数函数 y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，总存在一个x0，使xx0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？logaxxn ax 指数函数y=ax (0a1)，对数函数y=logax(0a1)和幂函数y=xn(n x0时，就会有xnax logax.例3 某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系.模拟函数可以选用y=ax2+bx+c或y=abx+c.已知4月份该产品的产量为1.37万件，试选用一个适当的模拟函数. 解：分别求出模拟函数中的a,b,c。假如是模拟函数y=ax2+bx+c得到a=-0.05,b=0.35,c=0.7，所以此模拟函数为y=-0.05x2+0.35x+0.7，则四月份的产量是1.2万件.假如是模