两角差的余弦公式教案

1、3.1.1两角差的余弦公式教学设计巴中市巴州区第四中学卫金娟教学目标1、知识目标：通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用其解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础；2、能力目标：通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题、解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力；3、情感目标：使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情.学情分析：1、知识分析：必修4前两章刚学习了平面向量和三角函数的知识

2、学生对前两章知识尚记忆深刻，为第三章第一节“两角差的余弦公式”的学习做了充足的知识准备；但“两角差的余弦公式”中所涉及的用三角函数线推导公式部分比较难，学生独立探究有一定的困难，需要老师合理引导、并让学生小组讨论合作学习来完成.2、能力分析：从平时的课堂教学中，我已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力，但由于部分学生学习基础薄弱，课堂参与程度不高，所以我合理分组，让学习基础较好且课堂积极活跃的学生带动小组内其他学生一起完成新课学习；从学生的归纳总结和语言表达能力来看，学生具有了一定的归纳总结的能力，但对数学中逻辑严密的一般结论，还不能用严格的数学语言来表达.3、学习习惯与态度：所

3、带班级属于文科班，学习纪律性比较好，听课认真，动笔演算等能力比较好，但作为文科班女生胆子小，回答问题方面不是很活跃，需要合理分组合作学习.教学重难点：重点：通过探究得到两角差的余弦公式。难点：两次探究过程的组织和引导。教学准备：多媒体、圆规，三角板教学流程：教学过程一、设置悬念、引入课题（1分钟）问题：在初中时，我们知道cos45。=2,cos30o=,而22cosl5。=cos（45-30。），那么大家猜想一下，cos15等于多少呢是不是等于cos45cos30呢这就是我们今天要学习的内容：两角差的余弦公式.二、探究新知，共同学习根据刚才的设想，我们把问题一般化，首先来做一个猜想：（1分钟）

4、猜想：设a、P是任意角，则cos（a-B）=cosa-cosP恒成立吗反例验证.结论：cos（a一P）=cosa-cosP不恒成立探究途径：提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积与三角函数线作为研究途径。探究1:借助向量知识来推导cos（a-P）公式（5-6分钟）如右图，在单位圆中作出角a,P，它们的终边与单位圆分别交于A、B单位圆分别交于A、B两点，先假设a,ap，提出以下问题:问题1：图中哪个角可以表示a-P问题2：此时a-P的取值范围是多少问题：3：问题2：此时a-P的取值范围是多少问题：3：a-P可以看作是哪两个向量的夹角问题4：向量OA、OB的坐标分别是什么（3

5、-4分钟）OA=(cosa,sina)OB=(cos卩,sin卩)由向量数量积的概念，有OAOB-OA|OBcos0=cos0由向量数量积的坐标表示，有OAOB=cosacos0+sinasin0比较，可得一一一一cos(a-0)=cosacos0+sinasin0问题5：夹角0与a、0有什么关系？（2分钟）1)(2)由图(1)知，a=0+0+2k兀,由由图(2)知a=0-0+2k兀,所以，a-0=0+2k兀,kgZ所以，cos(a-0)=cos(0+2k兀)=cos(0)=cos0.结论：对任意角a、0有cos(a-0)=cosacos0+sinasin0探究2：借助三角函数线来推导cos(

6、a-p)公式(10-11分钟)首先，我们从最简单的情况进行讨论：设a、p都为锐角，且ap.作单位圆O，设角a的终边与单位圆O交于点P,即厶OP二a，作ZPOP=p,则厶OP二a-p作PM丄x轴，垂足为M.111问题1：那么cos(a-p)表示哪条线段长问题2：如何用线段分别表示sinP和cosp问题3：cosPcosa=OAcosa，它表示哪条线段长sinPsina=APsina，它表示哪条线段长问题4：利用OM=OB+BM=OB+CP，你能得到什么结论探究过程：作PM丄x轴,垂足为M，则OM二cos(a-P)。(即OM就是角a-p的余弦线，我们要设法用a、p的正弦、余弦线来表示OM)作PA丄

7、OP,垂足为A，则AP二sinp,OA二cosp;作AB丄x轴，垂足为B，则OB=OAcosa=cospcosa。作PC丄AB,垂足为c，则ZPAC=a，进而得CP二APsina=sinpsina。所以则有OM=OB+BM=OB+CP=cosacos卩十sinasinp.即：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp)FAOCfIwIB$FAOCfIwIB$costJcds/?irsinsinCOSCOSp结论归纳：两角差的余弦公式(公式及其特征分析，1-2分钟)对任意角a、p有cos(a-P)=cosacosP+sinasinP此公式称两角差的余弦公式，简记c(a-P)注意：(1)

8、公式中的a、p是“任意角”；(2)公式的结构特点：“同名积，符号反”；结构简记“CC+SS”(3)对于a、P，只要知道其正弦、余弦，就可以求出cos(a-P).三、小试身手、巩固新知(6-8分钟)例1.利用差角的余弦公式求cosl5。的值.(提示思路，学生独立完成，并由2名学生分别板演两种拆法，纠错讲评，3-4分钟)分析：15可以拆为两个特殊角之差，如15=45-30或者15=60-45.总结：一般的，对于非特殊角，我们将其拆分成两个特殊角之差，灵活运用公式求值即可，注意角拆分的多样性.变式训练1：(分析特征，师生共同完成，3-4分钟)(l)cos60cosl5+sin60sinl5(2)co

9、s70cos40+cos20cos50总结：求值化简时，要注意差角公式的逆用，通常观察三角式的结构特征利用诱导公式作适当变形，再灵活应用公式.四、当堂训练，共同提高(提示思路，学生独立完成，8分钟)cos(-40)cos20+sin(-40)sin202.cos75cosl5-sin75sinl95的值为(B)A.03.计算D.-l)cos、A.03.计算D.-l)cos、cos0+sin丿厂兀14、+0sin0(2)cos80sin55+cos10sin35丿五、课堂小结(1分钟)通过本节课的学习你有哪些收获1.先后用向量与三角函数线的相关知识，探索并证明了两角差的余弦公式cos（a-卩）=cosacos卩+sinasin卩所涉及的数学思想方法：化归与转化