导数在实际生活中的应用 省赛获奖-完整版获奖课件

1、 第3章 导数及其应用3.4 导数在实际生活中的应用新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)知识建构：例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解

2、：设箱底边长为xcm，则箱高 cm， 得箱子容积令 ，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16000解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2Rh+2R2由V=R2h，得 ，则令解得， ，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值物理方面的应用：例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为，外电阻为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少?rR解：电功率PI2R，其中IE/(R+r)为电流强度，则PE/(Rr)2R= E2

3、R/(Rr) 2由P0，解得：R=r列表分析，当R=r时，P取得极大值，且是最大值,最大值为PE2/(4r)答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是E2/(4r)例4 强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）.APBx3-x解:如图,设点p在线段AB上,且P距光源A为x,则P距 光源B为3-x(0 x3).P点受A光源的照度为解得x=2,故当0 x2时，因此，x=2时，I取得极小值，且是最小值。答：在连结两光源的线段AB上，距光源A

4、为2处的照度 最小.（其中，k为比例常数）练习1 如图：质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀速圆周运动，角速度为2rad/s,设A（10，0）为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.PyXAMoN角的弧度数为_2t分析：求M点位移的变化率。练习2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为： ，求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入经济学中的应用：答：产量为84时，利润L最大。令 ，即 ，求得唯一的极值点利润练习3 生产某塑

5、料管的利润函数为： P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n)的单位为元。 （1）求边际利润函数P(n); （2）求使P(n)=0的n值； （3）解释(2)中的n值的实际意义。解：（1）（2）由得：（负舍去）（3）当n=450时，每增加1根所增加的利润为0元。例5 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x); R(x)- C(x)称为利润函数，记为P(x).（1）设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，生产多少单位产品时，边际成本C(x) 最低?（2）设C(x)=50 x+10000，产品的单价p =100-0.01x，怎样定价可使利润最大？例6 某产品制造过程中，次品数y依赖于日产量x，其函数关系为y=3x/(100-x) (x96)；又该产品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就损失a/3元为获取该产品的最大利润，日产量应为多少？解：设利润为P（x）,则P（x）=y(-a/3)+a(x-y)即：由：得：或（舍去）列表分析得：当日产量为80时，能获得该产品的最大利润。实际应用问题审 题（设）分析、联想、抽象、转化构建数学模型数学化（列）寻找解题思路（解）解答数学问题还原（