排序不等式-完整版获奖课件

1、课题:排序不等式数学选修4-5不等式选讲第三讲柯西不等式与排序不等式问题提出1.一般形式的柯西不等式是什么？ 当且仅当bi=0(i=1,2,，n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,n )时,等号成立.定理:一般n维形式的柯西不等式: 设a1,a2,a3,an；b1,b2,b3,bn是实数,则问题提出2.一般形式的三角不等式是什么？3.许多经典不等式都有其几何背景,从某些几何不等关系入手,往往能提出或发现重要的不等式定理,这是一种数学实验,其中排序不等式就是在这种实验中产生出来的.排序不等式AOaB探究一：排序不等式的几何背景思考1：如图,设AOBa,自点O沿OA边依次取n个点A1,

2、A2,An,沿OB边也依次取n个点B1,B2,Bn,选取点Ai和Bj得AiOBj,则这些三角形中哪个的面积最大？哪个的面积最小？B1AnOBn面积最大，A1OB1面积最小.B2BjBnA1A2AiAnAiA2A1AnB1B2BnABOaBj思考2：设OAiai,OBibi(i1,2,n),则A1OB1,A2OB2,AnOBn的面积之和S1等于什么？A1OBn,A2OBn1, AnOB1的面积之和S2等于什么？ 探究一：排序不等式的几何背景S1 (a1b1a2b2a3b3anbn)sina S2 (a1bna2bn1a3bn2 anb1)sina思考3：若将OA边上各点分别对应OB边上不同的点得

3、n个三角形: A1OBj1 ,A2OBj2 , ,AnOBjn,则这些三角形的面积之和S怎样描述？求S的最值可归结为一个什么问题？ S= (a1c1a2c2a3c3ancn)sina，其中c1，c2，c3，cn是数组b1，b2，b3，bn的任意一个排列. 求a1c1a2c2a3c3ancn的最值. 探究一：排序不等式的几何背景思考4：设a1a2a3an，b1b2 b3bn. 把a1b1a2b2a3b3anbn称为数组(a1,a2,a3,an)和(b1,b2,b3,bn)的顺序和, 把a1bna2bn-1a3bn-2anb1称为数组(a1,a2,a3,an)和(b1,b2,b3,bn)的反序和,

4、 则顺序和、反序和的数学意义是什么？将两组数按相同顺序相乘所得积的和. 将两组数按相反顺序相乘所得积的和. 思考5：设a1a2a3an,b1b2 b3bn，数组c1，c2，c3，cn是数组b1，b2，b3，,bn的任意一个排列, 把a1c1a2c2a3c3ancn 称为数组(a1,a2,a3,an)和(b1,b2,b3,bn)的乱序和，则乱序和的数学意义是什么？将两组数按任意顺序相乘所得积的和.探究一：排序不等式的几何背景探究二：排序不等式思考1：数组(1，2，3)和(2，4，6)的顺序和,反序和分别为多少？所有的乱序和是哪些数？ 顺序和为28，反序和为20，所有乱序和为28，26，22，20

5、.思考2：对某两个确定的数组，凭直觉猜测,其顺序和，反序和，乱序和三者的大小关系如何？反序和乱序和顺序和思考3：设a1a2an, b1b2 bn; c1,c2,c3,cn是b1,b2,b3,bn的任意一个排列,如何证明a1c1a2c2akckancn(乱序和)a1b1a2b2a3b3anbn(顺序和)？采用“调整法”与“比差法”探究二：排序不等式思考4：同样可证a1bna2bn1a3bn2anb1S，即反序和乱序和.那么顺序和与反序和相等的条件是什么？a1a2an或b1b2bn探究二：排序不等式思考5：综上分析可得排序不等式原理，具体内容如何表述？定理:排序不等式，又称排序原理 设a1a2an

6、, b1b2bn 为两组实数,c1,c2,c3,cn是b1,b2,b3,bn的任一排列,则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn, 即反序和乱序和顺序和. 当且仅当a1a2an或b1b2bn时,反序和等于顺序和.迁移应用例1 有10个人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i1,2,10)个人的水桶需要ti分钟,假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时, 应如何安排10人的顺序,才能使他们等候的总时间最少?最少总时间为多少？应按水桶的大小由小到大依次接水，才能使他们等候的总时间最少，最少总时间为10t19t22t9t10.例2 设a1，a2,，an是互不相等的正整数，求证： 迁移应用课堂小结1.排序不等式表明, 反序和乱序和顺序和,如果一个代数式由具有明确大小顺序,且数目相同的两列数的对应项乘积之和构成,则可以考虑用排序不等式进行放缩.2.排序不等式形式优美,原理简单,但应用时具有一定的技巧性,合理构造