绝对收敛与条件收敛

1、机目上下返机目上下返结第十三正、负项相间的级数称为交错级数定或)n1u其中u )nnn定理1 (交错级数判别法eibniz判别法如果交错级数正、负项相间的级数称为交错级数定或)n1u其中u )nnn定理1 (交错级数判别法eibniz判别法如果交错级数满足条1), 2)1(n尼()limu1, rn的绝对值n和 则级数收|n机目上下返结L1(n lims2n s分u3 usun4n数列s2n是单调由条件1(n lims2n s分u3 usun4n数列s2n是单调由条件 u2 )2n23ns2n是有界的 2机目上下返结()limun 证2由条件(2):liuu2 limslim()limun 证

2、2由条件(2):liuu2 limslim级数收敛于和s, 1.余项rn ( 满足收敛的两个条件定理证毕机目上下返结例证明交错级数1111 n11 npnp23p收敛，并估1因u 例证明交错级数1111 n11 npnp23p收敛，并估1因u 需证u 递减趋解nnnp11 且n1pnnp审敛知级数收敛由且1n1p机目上下返结p 1得收敛级注n1 1n11 1 nnp 1得收敛级注n1 1n11 1 nn23n1(第五节ln和为ln绝对值级n1n1 n1)收敛发散2n1nn与nn 敛散性的关系？:问机目上下返结例判定下列级数的敛散性11111)(1)(1)n1 n1收n1n!n2311 1 1n

3、!2)例判定下列级数的敛散性11111)(1)(1)n1 n1收n1n!n2311 1 1n!2) 3! 2n3)(1)收问上述级数的绝对值级数 是否收?n1n1n1n发散;1n1收敛收敛n2n1n!任意项级数un, un 可正,可负定义若级数 收敛，则级un必定任意项级数un, un 可正,可负定义若级数 收敛，则级un必定收定理是注上述定理的逆定理是否成立否 1n例如交错级收敛1n发散机目上下返结任意项级正项级un即收| 设收敛证nn2 正u|)(nn2un即收| 设收敛证nn2 正u|)(nn2vn收敛且显然又 un收敛(机目上下返结比较判别则称un若|绝对收敛收敛定义若un收敛,则称u

4、n若|则称un若|绝对收敛收敛定义若un收敛,则称un若|发散条件收敛绝对收敛必收敛，但收敛不一定绝对 p；条件收敛1例如pnp 绝对收敛机目上下返结n!级数例条件收敛、绝对收敛还 sin1收敛u,解而2ninn!级数例条件收敛、绝对收敛还 sin1收敛u,解而2nin收敛n2in绝对收敛即n2机目上下返结(1)n 例证绝对收.en证（n2nlim n因nn(1)n 例证绝对收.en证（n2nlim n因nnnen 1 en n 因此 )故收敛)绝对收敛enen机目上下返结n例4判别级n1的敛散nu ，(1)n解nnnn1绝对收n例4判别级n1的敛散nu ，(1)n解nnnn1绝对收敛1n(n

5、 vnnnn1v发散而发散nn机目上下返结条件收敛nn需判定分递减、趋nn fu fnn1(条件收敛nn需判定分递减、趋nn fu fnn1(x10)x10 f(x)(x(xx(x当 10 x 单调减少，机目上下返结(n)故当n101 即 limn又lim nnnn n(n)故当n101 即 limn又lim nnnn nnnn1由莱尼布茨判收敛nn综合12n1条件收敛n机目上下返结注用判别法判断交错级是否收敛时nnun是否单调减少有以下三种注用判别法判断交错级是否收敛时nnun是否单调减少有以下三种?n ?(2差值：1 Nu(3由un f (f?再n机目上下返结 un收敛n1 un发散n1关

6、（一般地但特殊地， un收敛n1 un发散n1关（一般地但特殊地，n1定理设任意项级lim (nnnnunn1则级机目上下返结lim 证 n(n Nlim 于是unnlim 证 n(n Nlim 于是unn1lim 从而（用比值法根值法判u 发散说明nn1机目上下返结级数是绝收敛、条件收敛还是例nnn 解,nn1nn1n1 nlim 比级数是绝收敛、条件收敛还是例nnn 解,nn1nn1n1 nlim 比值法判又nnn lim(1 1nne发散nnn发散由定理3n机目上下返结1 .判断正项级数否？im unn是或不能肯 1 .判断正项级数否？im unn是或不能肯 比值可判 nimn 根机目上

7、下返结（比值（可判根值比较审敛法部分和极限比比值（可判根值比较审敛法部分和极限比值法、根失效机目上下返结2. 任意项级数审敛 收敛n(1) 利用部分和极限2. 任意项级数审敛 收敛n(1) 利用部分和极限发散在 发(2利用收敛的必要条件: lim n(3) 利用正项级数审n1判un收敛n1 交错级数(1)nun收敛判别法 u 发散判un发 n1n1比较审敛根值审敛例1. 判别级数的敛散性p解1n 例1. 判别级数的敛散性p解1n , 故原级数发1n故原级数发散 机目上下返结问级例2设级是否也收敛？说明理由提示: 对正项级数,由比较判别但对任意项级数却不一定收敛问级例2设级是否也收敛？说明理由提

8、示: 对正项级数,由比较判别但对任意项级数却不一定收敛 收敛1vn n例如n1limnlimnn , 级机目上下返结A例3 设a(A(B绝对收敛(C(D) 收敛或发散与a的取值有关分析绝对A例3 设a(A(B绝对收敛(C(D) 收敛或发散与a的取值有关分析绝对收由性质知发散，选而发发散例证明级机目上下返结n设为常数且 (1) ( n则级)B条件收敛D. 收敛性与A发散C正项级n(1)nn设为常数且 (1) ( n则级)B条件收敛D. 收敛性与A发散C正项级n(1)n( 2解)22n 由于而收敛2 2n1 n2n机目上下返结则级数设常数k 2nA发散BD. kC. 解k1n nn)则级数设常数k

9、 2nA发散BD. kC. 解k1n nn)绝对收条件收机目上下返结例设则级C(A(C例设则级C(A(C(B绝对收敛(D) 收敛性根据条件不能确定分析(B机目上下返结又于级数收故选所以原级数又于级数收故选所以原级数条件收机目上下返结证明：级例设级收敛提示: 先求部分Sn 证明：级例设级收敛提示: 先求部分Sn k1ak1 ak 2a2 a13a3 a2 4a4n1an1 an a1 ak n1an1knka3 5a5a4n机目上下返结为正项数列例设证明（1）级收敛（2）收敛 1 1 n （1）部分 S nSSS为正项数列例设证明（1）级收敛（2）收敛 1 1 n （1）部分 S nSSSk2k1nk又是单调递增数列 1 limnnxS1机目上下返结（2）是单调递增数列11=由比较审敛收收敛也收敛例8（1（2）是单调递增数列11=由比较审敛收收敛也收敛例8（1）若数（2）绝对收敛收敛机目上下返结0u 1u +u 1u2+ 1 2n2 判别级n2是否收敛?收敛,是绝对收敛还是条件收敛 12解判别级n2是否收敛?收敛,是绝对收敛还是条件收敛 12解 n inn 121osn2 (1)n sin1 (1)n sin212n2正12为交错级数机目上下返结(1)n2(1 n12 sin12根据比较判别法(1)n2(1 n12 sin12根据比较判别法的极限形式si