高考数学江苏试题及解析

1、1.(2017年江苏)已知集合A=1,2,B=a,a2+3,若AAB=1,则实数a的值为.1.1【解析】由题意16B,显然a2+33,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意，故答案为1.2.(2017年江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位，则z的模是.【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i|1+2i|=x=.故答案为.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取60-3

2、00-18件，故答案为18.1000【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni：Ni=n：N.(2017年江苏)右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出y的值是.-2【解析】由题意得y=2+log2=-2.故答案为-2.(2017年江苏)若tan(%+)=贝收2门口二.【解析】tan%=tan(%-)+=)+tan,1-tan(%-)tan)=+1,1-)=.故答案为.(2017年江苏)如图，在圆柱OO内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱

3、OQ的体积为球。的体积为V2,则的值是.【解析】设球半径为r,则=兀3)=.故答案为.(2017年江苏)记函数f(x)=的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则x6D的概率是.【解析】由6+x-x2A0,即x2-x-6W0,得-2WxW3,根据几何概型的概率计算公式得x6D的概率是二.(2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是Fi,F2,则四边形FPF2Q的面积是.2【解析】右准线方程为x=)=,10),渐近线方程为y=,3)x,设P(,10),10),则Q(,10),-,10),Fi(-,0),F2(,0),贝US=

4、2X,10)=2.(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知Sa=,S6=,则a8=.解析设等比数列an的公比为q,则由S6W2s3,得qw1,则解得则a8=a1q7=x27=32.答案32(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.解析：由题意，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为X6+4x=48=240,当且仅当x=30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：3011.(2017年江苏)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,

5、其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.-1,【解析】因为f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，因为f(x)=3x2-2+ex+exA3x2-2+2A0,所以函数f(x)在R上单调递增，又f(a-1)+f(2a2)0,即f(2a2)wf(1-a),所以2a2wi-a,即2a2+a-1W0,解得-1Waw,故实数a的取值范围为-1,.(2017年江苏)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1,与的夹角为,且tan%=7,与的夹角为45.若=m+n(mn6R),则mn.12.3【解析】由tan%=7可得sin%二,10),

6、cosa=,10),根据向量的分解，易得，,nsin45-msin-=0,)即,2)n+,10)m=,2)n-,10)m=0,)即即得m=n=,所以m+n=3.(2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中，A(12,0),B(0,6),点P在圆Qx2+y2=50上，若w20,则点P的横坐标的取值范围是.【答案】5,1【解析】设P(x,y,)由w20易得2xy+5W0,由可得A：或B：由2xy+5W0得P点在圆左边弧上，结合限制条件一5WxW5,可得点P横坐标的取值范围为5,1.14.(2017江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，n刈=其中集合D=,则方程f(x)l

7、gx=0的解的个数是.解析：由于f(x)C0,1),因此只需考虑1Wx2且m,n互质，因此10=,则10n=m,此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx?Q,故lgx不可能与每个周期内xCD对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期内x?D部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D的部分，且x=1处(lgx)=1,则在x=1附近仅有一个交点，因此方程f(x)lgx=0的解的个数为8.答案：815.(2017年江苏)如图，在三B隹A-BCD,ABLADBdBD平面ABDL平面BCD点E,F(E与A,D不重合)分别在棱ADBD上，且EFl

8、AD求证：(1)EF/平面ABC(2)ADLAC【分析】(1)先由平面几何知识证明EF/AB再由线面平行判定定理得结论；(2)先由面面垂直性质定理得BCL平面ABD则BCAD再由ABAD及线面垂直判定定理得AD!平面ABC即可得ADLAC【证明】(1)在平面ABCJ,-.ABLADEF，AD，EF/AB又EF?平面ABCAB?平面ABC，EF/平面ABC(2)平面ABDL平面BCD平面ABD平面BCD=BDBC?平面BCDBCLBDBCL平面ABD.AD?平面ABD，BCLAD.又ABADBSAB=B,AB?平面ABCBC?平面ABCADL平面ABC又“0?平面ABC.ADLAC(2017年江

9、苏)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x0,%.(1)若a/b,求x的值；(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】(1)a=(cosx,sinx),b=(3,),a/b,一cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾，.cosxw0.于是tanx=,3).又xC0,兀,.x=.f(x)=a-b=(cosx,sinx)(3,)=3cosxsinx=2cos).,.x0,兀,/.x+6,),1cos)b0)的左、右焦点分别为E,F2,离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F

10、1作直线PE的垂线11,过点F2作直线PE的垂线J.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线|1,12的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.解：(1)设椭圆的半焦距为c因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以=，=8，解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是+=1.(2)由(1)知，F1(-1，0)，F2(1，0).设P(x。，y。)，因为P为第一象限的点，故x0,y。)。.当x0=1时，12与l1相交于F1,与题设不符.当x?l时，直线PH的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1PF,l2PR,所以直线11的斜率为-,直线12的斜率为-,从而直线li的方程：y=-(x+1),直线

11、12的方程：y=-(x-1).由，解得x=-x%y=,所以Q(-X0,).因为点Q在椭圆上，由对称性，得=y0,即xo2-y02=1或xo2+yo2=1.又P在椭圆E上，故+=1.由+=1,)解得xo=,7),yo=,7)；+=1,)无解.因此点P的坐标为(，7),7).18.(2017年江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H的高均为32cmi容器I的底面对角线AC的长为10cmi容器II的两底面对角线EGEG的长分别为14cm和62cmi分别在容器I和容器H中注入水，水深均为12cmi现有一根玻璃棒l,其长度为40cm(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在

12、容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没入水中部分的长度；(2)将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没入水中部分的长度.18.解：(1)由正棱柱的定义，CCL平面ABCD所以平面AACC平面ABCDCC,AC.记玻璃棒的另一端落在CC上点M处.因为AC=10AM=40所以MC=2)=30,从而sin/MAC=记AM水面的交点为R,过Pi作PiQACQ为垂足，则RQL平面ABCD故RQ=12,从而AP=16.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)(2)如图，QO是正棱台的两底面中

13、心.由正棱台的定义，OOL平面EFGH所以平面EEGG1平面EFGHOO,EG同理，平面EEGG平面EiFiGH,OO,EiG.记玻璃棒的另一端落在GG上点N处.过G作GK1EiG,K为垂足，则GK=OO32.因为EG=14EiG=62,所以KG=24,从而GG=40.设/EG%,/ENG=，贝Usin%=sin(+/KGG)=cos/KGG.因为%兀，所以cos%=-.在ENG4由正弦定理可得=,解得sinB=.因为0cBk)总成立，则称数列an是“p(k)数列”.(1)证明：等差数列an是“p(3)数列”；(2)若数列an既是“p(2)数列”，又是“p(3)数列”，证明：an是等差数列.1

14、9.解：(1)因为an是等差数列，设其公差为d,则an=a+(n-1)d,从而，当n4时，an-k+an+k=a+(n-k-1)d+a+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6a,因此等差数列an是“p(3)数列”.(2)数列an既是“p(2)数列”，又是“p(3)数列”，因此，当n3时,an-2+an-i+an+i+a+2=4an,当n4时，an-3+an-2+an-l+an+l+an+2+an+3=6an.由知,an-3+an-2=4an-(an+an+1),)an+2+an+3=4an+1-(an-

15、1+3),(4)将代入，得an-i+an+i=2an,其中nA4,所以日,a4,a5,是等差数列，设其公差为d.在中，取n=4,贝Ua2+a3+as+a6=4d,所以a2=as-d，,在中，取n=3,贝Uai+a2+a4+as=4a3,所以a二a3-2d,所以数列an是等差数列.20.(2017年江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,b6R)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a;(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.20.

16、解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f(x)=3x2+2ax+b=3(x+)2+b-.当x=-时，f(x)有极小值b-.因为f(x)的极值点是f(x)的零点.所以f(-)=-+-+1=0,又a0,故b=+.因为f(x)有极值，故f(x)=0有实根，从而b-=(27-a3)3.当a=3时，f(x)0(x?-1),故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时,f(x)=0有两个相异的实根xi=,3),x2=,3).列表如下：x(-0,xi)xi(xi,x2)x2(x2,+OO)(x)+0一0+f(x)极大值极小值f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是xi,X2.从而a3.因此

17、b=+,定义域为(3,+0).由(1)知，)=,9)+).设g(t)=+,贝Ug(t)=-=.当t6(,2),+s)时，g(t)0,从而g(t)在(,2),+s)上单调递增.因为a3,所以a3,故g(a)g(3)=,即).因止匕b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是xi,X2,且xi+x2=-a,xi2+x22=.从而f(xi)+f(x2)=xi3+axi2+bxi+1+x23+ax22+bx2+1二(3xi2+2axi+b)+(3x22+2ax2+b)+a(xi2+x22)+b(xi+x2)+2=-+2=0.记f(x),f(x)所有极值之和为h(a),因为f(x)的极值为b-=-a2

18、+,所以h(a)=-a2+,a3.因为h(a尸-a-h(6),故a6.因此a的取值范围为(3,6.21.(2017年江苏)A.选修4-1:几何证明选讲如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C,AFPCP为垂足.求证：(1)/PACWCABAC=APAB解：(1)因为PC切半圆O于点C,所以/PCAWCBA因为AB为半圆O的直径，所以/ACB=90.因为AnPG所以/APC=90,所以/APCWCBA.（2）由（1）知，APSAACIB故二，即AC=APABB.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=0110,B=1002.(1)求AB；(2)若曲线G:+=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一

19、曲线解：（1）因为A=0110,B=1002,所以AB=01101002=0120.(2)设Q(x0,y0)为曲线。上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则0120 xy=xy,即所以.)因为点Q(X。，y。)在曲线C上，所以+=1,从而+=1,即x2+y2=8.因此曲线C在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线G:x2+y2=8.C.选修4-4:坐标系与参数方程(2017年江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参考方程为)(t为参数)，曲2数),设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.【解析】直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上，设P(2s

20、2,2s),所以点P到直线l的距离d=s+8,)=)2+4,).当S=时,dmin=,5).G,求G的方程.C的参数方程为s)( s为参所以当点P的坐标为(4,4)G,求G的方程.C的参数方程为s)( s为参D.选修4-5:不等式选讲已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16.求证：ac+bdw8.【证明】由柯西不等式得(ac+bd)2w(a2+b2)(c2+dj.因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2&64,所以ac+bd8.22.(2017年江苏)如图，在平行六面体ABCD-A1CD中，AAL平面ABCD且ABAD=2,AA=,/BAD=120.(1)求异面直线AB与AC所成角的余弦值；(2)求二面角B-AQ-A的正弦值.解：在平面ABCD,过点A作AUAD交BC于点E.因为AA平面ABCD所以AAAEAA，AD如图，以,为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AD=2,AA=,/BAD=120.则A