车辆仿真技术：第3章 数值积分算法

1、第3章 连续时间系统数值积分算法数值积分算法的类型数值积分算法系统状态方程的一般形式：显式算法：计算 xn+1 时，没有用到 tn 时刻以后的状态或输入。隐式算法：计算xn+1 时，用到 tn 时刻以后的状态或输入。单步法：计算 xn+1 时只与 tn 时刻的状态或输入有关。多步法：计算 xn+1 时要用到 tn 时刻以前的状态或输入。章节概览3.1 欧拉法和改进的欧拉法3.2 龙格库塔法3.3 数值积分算法的选用3.1 欧拉法和改进的欧拉法一、前向欧拉(Euler)算法计算公式：截断误差：一阶、单步、显式二、后向欧拉算法计算公式：截断误差：3.1 欧拉法和改进的欧拉法一阶、单步、隐式例1 设

2、系统方程为)，试用Euler法求其数值解（取仿真步距，解：原方程为前向欧拉法的递推公式为: 3.1 欧拉法和改进的欧拉法后向欧拉法的递推公式为解此方程可得3.1 欧拉法和改进的欧拉法(例1 续) 三、梯形公式（改进的欧拉公式）截断误差： 梯形法的几何意义3.1 欧拉法和改进的欧拉法二阶、单步、隐式例2 设系统方程为)，试用梯形法求其数值解（取仿真步距解：原方程为梯形法的递推公式为 解此代数方程可得：3.1 欧拉法和改进的欧拉法一、龙格-库塔（Runge-Kutta）积分算法思路 间接利用泰勒展开式。用在若干个点上函数值 f(t,y) 的线性组合来代替高阶导数项，既可以避免计算高阶导数，又可以提

3、高数值计算精度。3.2 龙格-库塔法二、经典显式四阶Runge-Kutta法(RK4) 3.2 龙格-库塔法四阶、单步、显式例3 设一阶系统方程为试用四阶RungeKutta法求其数值解 （取仿真步距解：原方程为 递推公式可写为 3.2 龙格-库塔法3.2 龙格-库塔法3.2 龙格-库塔法对于线性定常系统:3.2 龙格-库塔法RK4解状态方程：对于一般系统:例4 已知二阶系统方程为取积分步长，试用四阶龙格库塔法计算时的值。解：原系统的状态方程为3.2 龙格-库塔法或对应于系数矩阵为 计算所有变量的第一个RK系数向量2. 计算所有变量的第二个RK系数向量3.2 龙格-库塔法3. 计算所有变量的第

4、三个RK系数向量4. 计算所有变量的第四个RK系数向量5. 计算第一步的近似值。3.2 龙格-库塔法数值积分算法选用原则：精度要求计算速度数值解的稳定性3.3 数值积分算法的选用减小舍入误差：增加数字的表示精度。3.3 数值积分算法的选用一、积分误差减小截断误差：选取高阶数的积分算法；减小时间步长。累积误差（又称全局误差） 合理步长步长舍入误差累积误差局部截断误差误差O，例5： 前向欧拉公式要使上述差分方程稳定，必须使下式成立即为了使计算稳定，要求：积分步长必须小于系统时间常数的2倍。 前向欧拉法稳定区域二、数值解法稳定性如果累积误差不随计算时间的增加而无限增大，则积分算法是数值稳定的，反之则

5、是数值不稳定的。（2） 后向欧拉公式要使上述差分方程稳定，必须使下式成立只要原系统稳定，此不等式必然成立。对于本题后向欧拉法是恒稳定的。 3.3 数值积分算法的选用例6：如下一阶系统:其解析解为：Euler递推公式为：3.3 数值积分算法的选用时间常数是0.1 当时，递推结果显然是发散的；时，数值解等幅振荡； 当时，递推结果是收敛的。 当上述的临界步长,是系统时间常数的2倍。 3.3 数值积分算法的选用3.3 数值积分算法的选用3.3 数值积分算法的选用数值稳定性的主要影响因素：计算步长 h；仿真对象的动态特性（主要表现在时间常数上）。二、数值解法稳定性3.3 数值积分算法的选用1）在仿真过程

6、中可以动态调整步长的积分算法称为变步长积分算法。2）变步长积分算法原理：当状态变化缓慢时，加大步长以减少计算时间；当状态变化很快时，减小步长以提高积分精度。3.3 数值积分算法的选用三、积分步长的确定2. 变步长积分算法3）变步长积分算法不适合于实时仿真。3.1.4 数值积分算法的选用三、积分步长的确定定步长算法：ode5：Dormand-Prince法ode4：RK4，四阶龙格-库塔法ode3：Bogacki-Shampine法ode2：改进欧拉法ode1：前向欧拉法3. Simulink提供的积分算法变步长算法：ode45：基于RK(4,5)法，显式单步法，求解连续模型的缺省算法；ode2

7、3：基于RK(2,3)法，显式单步法，比ode45更适合仿真误差要求不严格的或微刚体的系统；ode113：变阶多步法，比ode45更适合仿真对误差要求很严格的模型；ode15s：变阶多步法，适合仿真刚体模型；ode23s：单步法，比ode15s更适合仿真对误差要求不严格的或ode15s无法仿真的刚性系统；ode23t：梯形法，适合仿真中等刚度的模型；ode23tb：适合仿真对误差要求不严格的系统.3.3数值积分算法的选用三、积分步长的确定四、刚性系统:一个系统的刚度可以通过系统的最长时间常数与最短时间常数之比来反映。当此比率超过三个数量级时，该系统称为刚性系统，否则称非刚性系统。3.3 数值积分算法的选用 例7：选择合适的的积分算法仿真, 已知u(t)=tode15s：变阶多步法，适合仿真刚性系统模型；ode23s：单步法，仿真刚性系统。作业3.1设一微分方程为 ，h=0.2s，仿真时间t=2s。试：1）分别用前向和后向欧拉法求其数值解，并画出曲线。 2）用Simulin