线性代数学习指导第四章线性空间

1、百度文库百度文库-让每个人平等地提升自我 解（1）因为由基a,a,a,a到基卩，卩，卩，卩的过渡矩阵为C210、0110000310、052丿所以(a,a,a,a)=(卩,卩,卩,卩)C123一一/120、021000012-141-1000、021八-1200002-10、0-53丿-110、030000003001-7丿-13、0、01000a=,a=,a=,a=102030410丿0丿3丿、-7丿11(2)a=a+a+a-2a=(a,a,a,a)1=（卩,卩,卩,卩）C-1112341234112341、-2丿、-2丿=（卩1，卩2,卩3,卩4）0、112、-7丿向量a=a+a+a-2a

2、在基卩,卩，卩，卩下的坐标为123412340、112-7丿4.证明f(x)=1+x+x2,f(x)=1+x+2x2,f(x)=1+2x+3x2是线性空间Px的一组基,1233并求f(x)=6+9x+14x2在这组基下的坐标.证明设tf(x)+1f(x)+1f(x)=0,112233贝t(1+x+x2)+1(1+x+2x2)+1(1+2x+3x2)=012-t+t+t=0123即Qt+1+2t=0(*)123t+2t+3t=0v123因为系数行列式=-1丰0所以方程组(*)只有零解.故f(x),f(x),f(x)线性无关，构成线性空间Px的一组基.1233ry1y2Iy、3设f(x)=yfx)

3、+y2ry1y2Iy、3y+y+y=6TOC o 1-5 h z123则有sy+y+2y=9123y+2y+3y=14v123所以f(x)在基/(x),f(x),f(x)下的坐标为(1,2,3).12301是正交阵01是正交阵.石a5.当a、b、c为何值时，矩阵A=0011+a2=12b011+a2=12b0；=+ac=0丄。丄017-丄0丄近abc丄2丄2丄迈abc解要使矩阵A为正交阵，应有AAT=Er1r10r10b)逅a0逅br100、+a22p+acr1003001a0c=0103010=010bc0010001b0b2+c2丿001丿k丿k丿7+ack逅丿6.设a是n维非零列向量,E

4、为n阶单位阵，证明:A=E-(2/ata)aat为正交矩阵.证明因为a是n维非零列向量，所以aat是非零实数.又At又At=Etaat=A,ata所以At所以AtA=AA=rE-丄aatIataY2Eaat八ata丿44a(ata)at=E-aaT+(ata)aaTaTaQtaJ2故A为正交矩阵.7.设A=E2aat,其中a=(a,a,a)T,若aTa=1.证明A为正交阵.n=E-2aat=A，所以A为对称阵.证明因为At=(E-2aa=E-2aat=A，所以A为对称阵.又AtA=(E2aat)(E2aat)=E24aat+4a(ata)at=E所以A为正交阵.8.设A,B均为n阶正交矩阵，且|A|=-|B|,证明|A+B|=0.证明因为A,B均为n阶正交矩阵，所以|A|=|At|丰0且|at|a+b|=|e+Atb=|btb+atb=|bt+a