改进的初值和背景值优化的MGM(1,m)模型及应用

1、改进的初值和背景值优化的MGM(1, m)模型及应用摘 要:针对传统的)模型存在模拟精度和预测精度不高的问题，文章给出了改进的初值和背景 值优化的MGM(1，m)模型。在模型初值的选取上，选取使得模拟值的平均相对误差达到最小的向量X。)作为 初值;在模型背景值的构造上，提出结合辛普森3/8公式的动态序列模型来求解背景值的方法。最后以两组指 数型数据序列为例建立了传统MGM(1，2)模型及改进后的模型，并进行数据模拟和预测。结果表明，改进后的 MGM(1，m)模型的模拟精度和预测精度均有显著地提高，从而验证了模型的有效性和可行性。关键词：MGM(1,m)模型；辛普森3/8公式；动态序列模型0引言

2、自邓聚龙教授1982年创立灰色系统理论以来，灰色 系统理论得到了国内外学术界的广泛认可。经过30多年 的发展，灰色系统理论已经被广泛应用于诸多领域。灰色 预测模型是灰色系统理论的重要内容之一，它是灰色系统 理论体系的一个重要组成部分1，MGM(1,m)模型是灰色预 测模型中重要的预测模型之一。文献2表明采用MGM (1,m)模型预测多个相互制约、相互作用的变量时,MGM(1, m)模型的预测精度高于对每个变量分别使用GM(1,1)模型 进行建模的精度。文献3将MGM(1,m)模型应用于深基坑 围护结构变形中的预测,相比于传统的GM(1,1)模型,MGM (1,m)模型具有更高的准确性。文献4将

3、MGM(1,m)模型应 用于沉降预测分析中取得了较好的实验结果。文献5采 用MGM(1,m)模型预测我国的三次产业产值，取得了较好 的预测结果。MGM(1,m)模型自提出以来,模型的改进问 题和优化问题取得了一系列的研究成果。文献6从单变 量模型背景值的优化方法出发，利用非齐次指数函数逼近 的思想，得到了背景值的优化公式。文献7针对非等间距 的原始数据序列，提出非等间距MGM(1,m)模型。文献8 提出结合插值和数值分析的牛顿一柯特斯积分公式的方 法来优化背景值。文献9提出基于二次插值公式的背景 值构造方法，虽然这种方法没有出现Rung e现象,但难以 保证模型的预测精度。文献10基于向量连分

4、式理论提出 采用有理插值和梯形公式以及外推法来构造模型的背景 值。文献11指出选取X(1)(1)作为GM(1,1)模型的初值容易 产生一些误差，降低了模型的预测精度。文献12依据新信 息优先原理,提出将每个序列的一阶累加生成序列的第n 个分量组成的向量X作为模型的初值。本文首先阐述了传统的MGM(1,m)模型的基本原理， 然后提出了改进的初值和背景值优化的MGM(1,m)模型。 为了实现模型优化标准和检验标准的统一，提高模型的模 拟精度和预测精度，本文选取使得模拟值的平均相对误差 达到最小的向量X%)作为模型的初值。结合传统的 MGM(1, m)模型背景值的误差分析，本文根据一阶累加生成 序列

5、具有非齐次指数向量的形式,构建了动态序列模型，并 结合辛普森3/8公式得到了 MGM(1,m)模型背景值的计算公 式。最后，以两组指数型数据序列为例建立了传统MGM(1, 2)模型及改进后的模型，并进行数据模拟和预测。结果表 明,相比于传统的MGM(1,m)模型，本文提出的改进的初值和 背景值优化的MGM(1,m)模型的模拟精度和预测精度均有 显著地提高,该模型具有很好的理论价值和应用前景。1传统的MGM(1,m)模型的基本原理设x o)=Xi(0), x也,x;(0y为非负原始数据序列向 量，其中 X。)=*%)，亡(2),xj0)(n)TJ = 1,2，. . ., m。 对序列Xi(0)

6、, X*xmo)分别进行一阶累加，得到一阶累加生成序列为 X(1) =X1(1),X* ,XmY，其中，X(1)=x(1), (1)(1) T(1)/.、 (0)/xj (匕)， , x j () , xj (i) / ,xj，匕， ,m ; l ，匕，k = 1.n。Z。)=zj)(2), f)(3),z*) , j 为 X(1)的紧邻均 值生成序列,其中：zj(k) = 0.5(xj*k- 1) + xj(k) , j= 1,2,m; k=2,3 , ，n。( 1)定义1 :设xj0)(k)和z*k)如上所述,称：xj0)(k)=芬+ b,(j = 1,2,，m; k = 2,3,，n)

7、l = 1为灰色微分方程组，也称为MGM(1,m)模型 MGM(1,m)模型的一阶白化微分方程组为： 哗=AX % + B 其中：0i -%m,X(1)(t)=x(1)(t)x(21)(t),B =b1 b2、”1 -以mm0 x(1)(t) 0 bm ,A求解白化微分方程组，得到MGM ( 1,m)模型的时间响 应式向量为：X (1)(t) = eA(t - 1)(X (1)(1) + A-1B) - A-1B(1)(1)(1)(1) T其中，X (t) =X (1), x2 (1),，xm (1) O定理 113:设 X0)=xj0)(k1), xj%),xj0)(kn) (j = 1,2

8、,., m)为第j个变量的原始数据序列，X = xj)(k1), jkj, , x*k“) (j = 1,2,-, m)为 X0)的一 阶累加生成序列，=zf(2),z?)(3), z*n) (j = 1,2, . . m)为X的紧邻均值生成序列，则MGM(1,m) 模型的灰色微分方程组xj0)(k) =ajlz(1(k) + bj,(j =l = 1，n)的最小二乘估计参数列为： b) )T = (PTP)TpTQj,(j=l, 2,.,m)从而a 11&21八、4 m1a 12从而a 11&21八、4 m1a 124 224 m2& 1m云：4 mm1b 2bm ,(a 两 2,-,a ,

9、“)= (ptpxptz：) 2)z：) 3)1z：) 2)z：) 3)110e(0)(0)(0) Tj =xj(匕), x j(),人 j(n),(j =，匕，,m)O参数矩阵A和参数向量B的辨识值为：A = 0 j)m x m，B = (b1, b2, , bm)T定理 213：设 P、Qj (j = 1,2,., m)如定理 1 所示， a =(标标,&= (PTPYPTQj,(j = 1,2,，m)，可以得到：(1)MGM(1,m)模型的一阶白化微分方程组匕( =AX%) + B的时间响应函数为：它小 r (1)，八 /A(1)，八仰A(tT)/WT DX (t) =x (t),x,

10、($),x (t) = e (X (1) + A B)I2m-AT-BMGM(1,m)模型的灰色微分方程组xj0)(k) 二 咋尸i = 1(k) + bj的时间响应式向量为：必1)(k) =X(1)(k),x%k), ,xm)(k)T = eA(k-1)(X(1)(1)+) - A 七还原式为：X0)(k) = XD(k)-X)(k- 1) (k = 2,3n)(6)2改进的初值和背景值优化的MGM(1,m)模型(6)在传统的MGM(1,m)模型的建模过程中，MGM(1,m)模 型的模拟精度和预测精度主要由参数矩阵A、参数向量 B以及初值所决定,并且参数矩阵A和参数向量B依赖 于m个原始序列

11、和相应的背景值z?(k)。模型初值和背 景值的合理构造对模型精度的提高起到了至关重要的作 用。因此，为了提高MGM(1，m)模型的模拟精度和预测精 度，本文提出了改进的初值和背景值优化的MGM(1，m)模 型。2.1 改进的)模型初值的优化传统的MGM(1，m)模型是选取每个序列的第一个分 量组成的向量X。)(1)作为模型的初值来求解白化方程= AX%) + B的通解。由于传统的MGM(1，m)模型 是以X。)(1)作为模型的初值,没有充分利用新信息，不符 合灰色系统理论中的新信息优先原理12。并且XD(1)没 有经过累加生成变换弱化随机性，所以导致模型的模拟和 预测精度均不高。在实际应用的模

12、型检验时，常采用平均 相对误差检验模型的模拟精度和预测精度，并以此来评价 模型的优劣。但是在MGM(1，m)模型的优化过程中，传统 MGM(1，m)模型中初值的选取并不是以平均相对误差最小 为目标，这导致了模型优化与模型检验的脱节，使得模型 的拟合效果不理想。因此，本文选取使得模拟值的平均相 对误差达到最小的向量X%)作为MGM(1,m)模型的初 值，实现模型优化标准和检验标准的统一,进而提高模型 的模拟精度和预测精度。本文以两组指数序列x(0)(k) = e同和x；0)(k) = 成为 例，进行模拟分析。取时间序列号为k=1,2,3,4,5,两变量 的原始数据序列如表1所示。表1两组原始数据

13、序列值序号2345序列X)1.491822.225543.320124.953037.38906序列X)1.822123.320126.0496511.0231820.08554选取一阶累加生成序列的各个向量(，)(/)(/ = 1,2, ，5)分别作为MGM(1,m)模型的初值对两组原始数据序 列进行模拟，得到了模拟值的平均相对误差，如表2所示。表2不同初值对原始数据序列的平均相对误差原始序列初值X(1)X(2)X(3)X( (4)X( (5)X()1.886621.475501.062180.646730.42915x)5.019463.705242.368051.538971.39641

14、从表2中可以看出，选取一阶累加生成序列的第5个 分量组成的向量X。)(5)作为MGM(1，2)模型的初值时，模 拟值的平均相对误差最小，分别为0.42915%和 1.39641%。因此，本文选取X(1)(5)作为改进MGM(1，2)模 型的初值。T设f, g, q如定理1所述，弓=(标翊,. . 标外)= (PtP)-PtQj，(j = 1,2,., m)，选取使得模拟值和实际值 的平均相对误差达到最小的向量X)作为MGM(1，m)模 型的初值，可以得到：MGM(1,m)模型的一阶白化微分方程组政出/ = AX(，)(t) + B的时间响应函数为：X (1)(t)=严(乂 %) + ATB)

15、- ATB(8)(1)(1)(1)(1) T其中，X (I) = X (i),工2 (。，Xm(i)。MGM(1,m)模型的灰色微分方程组xf(k)=a搭)(k) + bj的时间响应式向量为：l =X)(k)=eAk-，)(x(%)+ AB) - Af(3)还原式向量为：X)(k) = XD(k)-裂传-1)，k=2,3,., n2.2 改进的模型背景值的优化(10)由MGM(1,m)模型的时间响应式向量(式(6)和还原 式向量(式(7)可知，m个原始数据序列和相应的背景值 影响着参数矩阵A和参数向量B的值。因而，在不改变 模型和建模样本数据的前提下，尽可能地降低模型背景值 z(，)(k)的计

16、算误差是提高MGM(1,m)模型模拟精度和预测 精度的一个有效方法。(10)2.2.1传统MGM(1，m)模型背景值的误差分析MGM(1,m)模型的一阶白化微分方程组为：二 anx(1) + 以口 x? + -(1)+ a1mxm + b1dt建二 a 21 x(1) + a 22 x? + -(1)+ a2mxm + b2dt(1) dXm :(1)(1)= am1x1 + am2x2 + amm x(m1) + b mm mdtm在区间k- 1, k上对m个白化微分方程两边同时积 分得：d () j(1)(1)(1)k-dFd = Jk- aj1 X1 + aj2X2 + + ajmXm

17、+ bjdt，(j = TOC o 1-5 h z 1,2,., m)(11)化简得到：* 传)a- 1 x(1) dt + bj，(j = 1,2,m; k = 2,3,n)i = 1-(12)由上述分析可知，实际的背景值应该等于匚产？ (t)dt，而在传统的MGM(1，m)模型中，第j个变量的传统背 景值计算公式是用zj)(k) = 0.5(xj)(k- 1) + x*k)近似代替 实际值产泌。如图1所示，在传统的MGM(1，m)模 型中，第j个变量的传统背景值是用梯形面积所表示的，而 背景值的实际几何意义是曲线x*t)在区间k- 1, k上与 k坐标轴t轴所围成的曲边梯形的面积匕一产;)

18、*。利用传 统方法计算的背景值大于实际的背景值，图1中阴影部分 为传统方法中背景值计算的误差来源。图1第j个变量的传统背景值误差来源2.2.2改进的MGM(1，m)模型背景值的优化原理定义2:把积分区间a, b剖分为n等分，叫=a + kh， h = 1(b-a)，k = 0,1，,n，求积公式为:n(x)dx = (b - a)玉 C?f(Xk)+ R, f (13)k = 0其中，Ckn)=己 J：lk (x)dx，k=0,1，n，公式(13) 称为n阶牛顿一柯特斯积分公式，C；n), k = 0, 1,., n称为 柯特斯系数。n=3时，公式(14)称为辛普森3/8公式。j：f (x)d

19、x 若(.f(X。)+ 3f (X1) + 3f (电 + f (X3)(14)在传统的MGM(1，m)模型中，第j个变量的传统背景 值计算公式是利用梯形公式zj)(k) = 0.5(x*k_ 1) + j (k) 近似代替实际值1 xj)(t)dt。梯形公式正是代数精度为1 时的牛顿一柯特斯积分公式，但由于其代数精度较低，导 致利用传统方法计算的背景值大于实际的背景值。为了 能够有效地降低背景值zj)(k)的计算误差,可通过提高牛 顿一柯特斯积分公式的代数精度来实现。辛普森3/8公式 是n=3时的牛顿一柯特斯积分公式，其代数精度为3,所以 利用辛普森3/8公式求解定积分的精度高于利用梯形公

20、式(代数精度为1)求解定积分的精度。相比于传统MGM (1，m )模型背景值的计算方法，高次插值虽然能够提高模 型的模拟精度和预测精度，但是模型的模拟和预测结果会 因振荡一Runge现象的发生而失真，从而不宜采用代数精 度过高的牛顿一柯特斯积分公式计算背景值。经过综合考虑，本文选取辛普森3/8公式来求解背景值zj,(k)。结 合辛普森3/8公式可以得到改进的MGM(1，m)模型背景值 zjk)的计算公式为：z”,(k) = = 1- 1) + 3x”,(k - 2) + 3x”,(k -3)+xJ1)(k)j, k=2,3,., n(15)在背景值zj)(k)的求解过程中，xr,(k -1)和

21、x/) (k-1)的数值是未知的。本文基于灰色系统理论以及一 阶累加生成序列具有非齐次指数的规律，提出构建动态序 列模型来求解xj(i)(k - 3)和x?)(k-3)的数值，从而得到优 化后的MGM(1，m)模型背景值z*k)。对于原始序列0) =1)xj )xj (k) _ pjQ-e )e_ 气一(k-1pg-由式(18)得：a. Inxj0)(k)-Inxj0)(k- 1)，(j = 1,2, , m) 结合式(17)和式(19)可得：x(k)e-xj0)(k)xj0)(k)/xj0)(k - 1)1 -ki(0) 、/ (0) 1 e1 - x (k - 1)/x (k)-ejj由初

22、始条件可知：xjD(1) xj0)(1)；) + Yj，(j = 1,2, , m)，(1 -i)Yj = xj -pje成序列为 X(1) =%(1),X* ,X：1)T。由 MGM(1，m)模型的 一阶累加生成时间序列的时间响应式(式(6)可以看出， 它是非齐次指数向量的形式，故可设xjr)(t)=龈+ * (j = 1,2,m)，其中aj，匡，*为待定常数，且满足:图2改进的初值和背景值优化的MGM(1, m)模型流程图型的有效性和可行性，本文选取指数序列x(0)(k) = e04k和贮(k) = e国的前5个数据建立传统的MGM(1，2)模型和改进的初值和背景值优化的MGM(1，m)模

23、型，分别进行模拟和预测。本文改进的MGM(1,m)模型是选取一阶累加生成序列- i - 1)- i - 1)(16)(17)(18)(19)(20)(21)序号kK(k)传统的MGM(1，2)模型优化的MGM(1，2)模型x(k)相对误差()x(k)相对误差()11.491821.491820.00001.491820.0000022.225542.190201.587932.225550.0004533.320123.250282.103543.320120.0000044.953034.823472.615774.953020.0002057.389067.158093.125847.38

24、9040.00027平均相对误差1.886620.00018序号kx2 (k)传统的MGM(1，2)模型优化的MGM(1，2)模型x *(k)相对误差()x %)相对误差()11.822121.822120.00001.822120.0000023.320123.193373.817633.320190.0021136.049655.718475.474376.049710.00099411.0231810.240267.1024911.023150.00027520.0855418.337578.7026320.085250.00144平均相对误差5.019420.00096表4两种模型对原

25、始数据序列X1的模拟值和误差x(j)(k) =) + Yj，j = 1,2,，m，k = 1,2,，n 由于：(0)小小 (1) n x ( ) x if x () p ep e-a. a .(k i)-Pj(1- e *的第5个分量组成的向量X(1)(5)作为初值。两种模型对两 组原始数据序列的模拟值和误差如表3和表4所示。表3两种模型对原始数据序列X1的模拟值和误差根据上述分析可知，实际应用中，可以利用原始数据 序列即可得到动态序列模型x*t) = &芒-)+ Yj。然后利 用动态序列模型x*t) = &,广 +Y,来求解xj1)(k-1)和xj1)(k-1)的数值，最后得到改进的初值和背

26、景值优化的 MGM(1，m)模型的背景值z?(k)。据此，本文给出改进的初值和背景值优化的MGM(1， m)模型流程图，见图2。3实例为了验证改进的初值和背景值优化的MGM(1，m)模由表3和表4可见,改进的初值和背景值优化的MGM (1，2)模型对原始数据序列X(0)进行模拟的平均相对误差 为0.00018%；对原始数据序列X20)进行模拟的平均相对 误差为0.00096%。传统的MGM(1，2)模型对原始数据序 列X：0)进行模拟的平均相对误差为1.88662%；对原始数 据序列X20)进行模拟的平均相对误差为5.01942%。通过 对比可以发现，改进的初值和背景值优化的MGM(1,2)模 型的模拟精度远远高于传统的MGM(1，2)模型。为了更好地比较本文提出的改进的初值和背景值优 化的MGM(1，m)模型和传统的MGM(1，m)模型的预测精 度，下面分别采用两种模型对两组原始数据序列进行两期 (k=6,7)预测，预测结果见下页表5和表6所示。表5两种模型对原始数据序列xJ0）的预测值和误差序号k原始值传统的MGM（1，2）模型优化的MGM（1，2）模型预测值相对误差（）预测值相对误差（）611.0231810.622723.6328911.023170.00009716.4446515.764294.1372716.444690.00024平均相对误差3.8850