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1、第四章 常微分方程4.1 微分方程的基本概念一、引例解解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需N二、微分方程的基本概念定义：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例微分方程的阶:高阶导数的阶数称为微分方程的阶.微分方程中出现的未知函数的最常微分方程：未知函数是一元函数; 一阶常微分方程一般n阶常微分方程的形式：若能从方程中解出则：偏微分方程：未知函数是二元或二元以上函数.线性与非线性微分方程.如果微分方程 的左端为未知函数 y 及它的各阶导数的一次有理整式，则称该 微分方程为n阶线性n阶线性微分方程的一般形式为：微分方程.不是线性的微分方程称为非线性的微分方程.线性微分方程非线性微分方

2、程N三、微分方程的解及积分曲线微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程的解:(1)通解: n阶微分方程的解中含有n个相互独立的任意常数的解.n阶微分方程的通解含有n个独立的任意常数，其中为相互独立的任意常数，若上式表示为则称为微分方程的显式解，否则称为隐式解或通积分.它的一般形式为:(2)特解: 确定了通解中任意常数的解. 微分方程的解的曲线称为积分曲线.含有任意常数的通解的曲线称为积分曲线族.(不含任意常数的解).初始条件: 用来确定任意常数的条件.注：n阶方程应有n个初始条件.eg1解所求特解为N4.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式：若方程可解出 y, 即则称其

3、为一阶微分方程的典则形式.称为微分方程的对称形式。也可写为：“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。N一、可分离变量的微分方程的微分方程称为可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法eg4例1 求解微分方程解分离变量两端积分满足初始条件 y(1)=0的特解.解将原方程改写为由初始条件 x=1, y=0代入通解，得 C.故方程的特解为：例若函数 y=y(x) 连续，且满足求函数 y(x).解 两端对x求导可得上式两端再对x求导，有故所求函数y(x)为通解为解N二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.解法作变量代换代入原式定义可分离变量的方程eg4例 1 求解微分方程微分方程的解为解例 2 求解微分方程解微分方程的解为例3解原方程可化为代入原方程得分离变量两边积分所求通解为例4 求一曲线，使得在其上任一点 P 处的切线在 y 轴yxP(x,y)o解 设点P的坐标为（x, y）所求曲线为y=f(x),切线上的动点为(X，Y )，则过点P的切

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