2022-2023学年云南省昆明市第三十一中学高三数学文期末试题含解析

1、2022-2023学年云南省昆明市第三十一中学高三数学文期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数，设的最大值是A，最小正周期为T，则的值等于（ ）A B C. 1 D. 0参考答案：B，所以最大值，周期，所以，故选B。2. 定义运算,函数图象的顶点坐标是（），且成等比数列，则的值为 .参考答案：14略3. 函数的零点个数为（ ）A. 1 B.2 C. 3 D.4参考答案：B略4. 已知等比数列an的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=( )ABCD2参考答案：B【考点】等比数列的性质 【专

2、题】等差数列与等比数列【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列an的公比为正数，所以q=，故a1=故选B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题5. 二项式的展开式中常数项为A15 B15 C20 D20 参考答案：B6. 已知正数x,y满足，则的最小值为( ) A1 B C D参考答案：C画出约束条件的可行

3、域，又，令，由可行域知：函数过点（1,2）时有最小值，最小值为，所以的最小值为。7. 底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体的三视图，如图所示，则该组合体的体积为（）A+2 B+C+ D+2参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，分别求其体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个底面为正方形且侧棱与底面垂直的四棱柱与圆锥的组合体，棱柱的体积为：112=2，圆锥的底面半径为1，高为1，体积为：，故组合体的体积V=+2，故选：A8. 定义在R上的函数满足：对任意，总

4、有，则下列说法正确的是 A是奇函数 B是奇函数 C是奇函数 D是奇函数参考答案：D9. 如图所示，直四棱柱ABCDA1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A1BCD2参考答案：D【考点】LR：球内接多面体【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=62h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，=3，a2=62h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h2h3，V=66h2，当0h1时，V

5、0，1h时，V0，h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2故选：D10. 若x、y满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：C【分析】画出可行解域，画出直线，平移直线，找到使直线在轴截距最大的点，把坐标代入即可求出的最小值。【详解】画出可行解域如下图：平移直线 ，当经过交点时，直线在轴截距最大，即有最小值，最小值为，故本题选C。【点睛】本题考查了线性规划问题，解决此类问题的关键是画出正确的可行解域.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，函数有最小值，则不等式的解集为 。参考答案：答案：解析：由，函数有最小值可知a1，所以不等式可化为x1

6、1，即x2.12. 经过（2，3）且在两坐标轴上截距相反的直线方程是_参考答案：y=或x-y+1=013. 如图，为直线外一点，若，中任意相邻两点的距离相等，设，用，表示，其结果为 . 参考答案：略14. 已知集合如果，则 .参考答案：15. 不等式的解集是参考答案：试题分析：由，解得：，所以不等式的解集是考点：解一元二次不等式16. 已知圆：，则圆心的坐标为 ；若直线与圆相切，且切点在第四象限，则 参考答案： 圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径为1.要使直线与圆相切，且切点在第四象限，所以有。圆心到直线的距离为，即，所以。17. 已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围是 参考答案：三、

7、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）已知函数，（1）求函数的极值；（2）若对，都有恒成立，求出的范围；（3），有成立，求出的范围；参考答案：【知识点】导数与极值.B11;B12【答案解析】(1) 极大值是，极小值是 (2) (3) 解析：解：，解得， 分正0负0正递增递减递增因此极大值是，极小值是 6分 （2）， 7分因此在区间的最大值是，最小值是， 10分（3）由（2）得： 12分【思路点拨】根据函数求出函数的导数，再利用导数等于0求出极值点，根据极值点的两侧异号的条件求出极值，及最值.19. 已知抛物线C：y2=2px（p0）

8、与直线y=x+1相切（1）求抛物线C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上两个动点，其中x1x2，且x1+x2=4，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于点Q，求ABQ面积的最大值参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的标准方程【分析】（1）联立抛物线方程与直线方程消x得y22py+2p=0，利用=0，求出p，即可求抛物线的方程；（2）设线段AB的中点为M，则M（2，求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得SABQ，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论【解答】解：（1）联立抛物线方程与直线方程消x得y2

9、2py+2p=0，因为直线与抛物线相切，所以=4p28p=0?p=2，所以抛物线C的方程是y2=4x （2）依题意可设直线AB：y=kx+m（k0），并联立方程y2=4x消x得ky24y+4m=0，因为0?mk1，且又y1+y2=k（x1+x2）+2m=4k+2m，并且结合 得，把代入得 ，设线段AB的中点为M，则M（2，直线l：，令y=0?x=4?Q（4，0），设直线AB与x轴相交于点D则，0），所以=，把代入并化简得SABQ= 设=t，由知 t0，且，SABQ=12t4t3，令f（t）=12t4t3，f（t）=1212t2=12（1t）（1+t），当0t1时，f（t）0，当t1时，f（t）

10、0，所以，当t=1时，此时k=1，函数f（t）取最大值f（1）=8，因此ABQ的面积的最大值为8，直线l的方程为y=x20. 在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，取相同的长度单位，若曲线C1的极坐标方程为sin（）=3，曲线C2的参数方程为（为参数）（1）将曲线C1的极坐标方程化为直角方程，C2的参数方程化为普通方程；（2）设P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，求|PQ|的最小值参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）由曲线C1的极坐标方程为=3，能求出曲线C1的直角坐标方程，由cos2+sin2=1，能求出曲线C2的普通方程（2

11、）曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，求出圆心（0，2）到曲线C1的距离d，由|PQ|的最小值为：dr，能求出结果【解答】解：曲线C1的极坐标方程为sin（）=3，=3，曲线C1的直角坐标方程为曲线C2的参数方程为（为参数），曲线C2的普通方程为：x2+（y+2）2=4（2）曲线C2：x2+（y+2）2=4是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，圆心（0，2）到曲线C1：的距离d=4，P是曲线C1上任一点，Q是曲线C2上任一点，|PQ|的最小值为：dr=42=2【点评】本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化，考查两点间距离的最小值的求法

12、，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用21. 已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，nR）（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1，求T（x）在上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=，nN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；求导T（x）=ex（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4

13、时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；求导m=ex2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；从而化为最值问题解答：解：（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；故T（x）=ex（x+1）；则当n2时，T（x）0；故T（x）在上的最大值为T（1）=e（+1）；当n2时，x时，T（x）0；T（x）在上的最大值为T（）=0；（2）当n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；m=ex2，故当x时，m0；m（ln2）=22ln2；m（0）=1，m（2）=e24；故由题意知，22lnm1；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；F（x）=ex；故F（x）在（，ln）上是减函数，在（ln，+）上是增函数；故可化为F（ln）0；即（1ln）+0；令G（n）=（1ln）+；故G（n）=（ln+1）0；故G（n）=（1ln）+是1，+）上的减函数，而G（2e2）=e2+0；G（14）=7