培养思维是发展核心素养的关键讲座课件

培养思维

是发展核心素养的关键

（人民教育出版社课程教材研究所）一、当前基础教育改革中的一些现象新概念很多，令人眼花缭乱，例如：大单元教学、深度学习、基于问题的学习、STEAM教育、主题学习、研究性学习、跨学科学习、理解力课程、建模式教学、项目化学习……而且变得比较快，例如高中课程强调数学学科核心素养，而义务教育课标又不用了，有人说这是因为“不是哪个学科有素养，也不是哪个课程有素养，而是要通过科目、学科来培养学生的核心素养。”顶层设计理念先进，并从宏观上提出举措，但落地很难——教育的理想和极端功利化的社会的激烈博弈；单纯追求分数和升学率现象普遍存在，学生的社会责任感、创新精神和实践能力较为薄弱；教学改革与课程改革、高考命题、招生评价制度改革的步伐不一致，教学中刷题、套路盛行，固化学生思维现象严重；不执行教学计划，超课标教学、抢赶教学进度和提前结束课程等现象普遍存在；探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学的力度不够，方法不多；课堂教学效率有待提高，学生自主学习能力有待加强；学生对数学基础知识、基本技能、基本方法的掌握不系统；综合实践活动没有得到重视，教师没有掌握项目式学习、数学建模活动、数学探究活动的教学要领；全国各地每年制造出大量题目，但作业设计质量不高；轻视教材，教师不钻研教材，也不让学生阅读教材，以教辅资料为依据进行教学；信息技术与数学教学融合的水平有待提高；等等。二、本轮课程改革关注的主要问题（一）课程改革理念核心素养导向；（二）课程内容建构1.课程内容选择。保持相对稳定的学科体系，体现数学学科特征；关注数学学科发展前沿与数学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化；与时俱进，反映现代科学技术与社会发展需要；符合学生的认知规律，有助于学生理解、掌握数学的基础知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学基本活动经验，发展核心素养。2.课程内容组织。重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径。重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；重视数学内容的直观表述，处理好直观与抽象的关系；重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系。3.课程内容呈现。注重数学知识与方法的层次性和多样性，适当考虑跨学科主题学习；根据学生的年龄特征和认知规律，适当采取螺旋式的方式，适当体现选择性，逐渐拓展和加深课程内容，适应学生的发展需求。（三）大力推进育人方式改革国务院办公厅《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》突出德育时代性，强化综合素质培养，拓宽综合实践渠道，完善综合素质评价。要求广大教师注重课程的综合性、实践性，通过设置跨学科主题学习活动，促进课程之间的综合与关联。（四）强化教学方式的变革按照教学计划循序渐进开展教学，提高课堂教学效率，培养学生学习能力，促进学生系统掌握学科基础知识、基本技能、基本方法，培养适应终身发展和社会发展需要的正确价值观念、必备品格和关键能力。积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学。提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业。在教学内容的处理上，要改变碎片化知识点累积式教学，大力加强应用驱动、学用融合的整体性教学。（五）强化学习方式的变革要切实改变被动听讲、模仿练习、机械刷题等现象，强化运用独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等主动学习方式。再也不能满足于概念记忆、技能训练，必须注重概念理解、技能训练和问题解决的融合；注重做中学、用中学。（六）教学评价改革注重核心素养立意的教学评价，发挥评价的导向、诊断、反馈作用，丰富创新评价手段，注重过程性评价，实现以评促教、以评促学，促进学生全面发展。提升教师教学评价能力。明确教学评价要素和要求，充分利用人工智能和大数据技术，加强过程性与增值性评价，注重发挥教学评价的引导、诊断、改进与激励作用。引导教师提高教学设计和作业设计水平，鼓励科学设计探究性作业和实践性作业，探索设计跨学科综合性作业。改进和完善学生评价。引导广大教师注重过程性、实践性、发展性评价，促进学生全面健康发展。（七）高考数学命题改革高考数学命题贯彻高考内容改革要求，依据高中课程标准，进一步增强考试与教学的衔接。试题的考查内容范围和比例、要求层次与课程标准保持一致，注重考查内容的全面性，同时突出主干、重点内容的考查，引导教学依标施教。试题突出对学科基本概念、基本原理的考查，强调知识之间的内在联系，引导学生形成学科知识系统；注重本原性方法，淡化特殊技巧，强调对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识结构。——教育部教育考试院《2022年高考数学全国卷试题评析》《中学数学教学参考》2022年第8期“卷首语”今年的高考数学卷的试题没有超出课程标准范围，没有偏题、怪题。新高考的命题贯彻新课程标准理念，注重能力和素养的考查，注重对数学本质和内在联系与规律的考查；落实《深化新时代教育评价改革总体方案》的要求，“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象。”试题的形式和情境创新力度较大，突出综合性，强调应用性，反刷题、反套路的效果显著。因此，高考数学卷难的是试题新颖、灵活，强调综合，强调实际应用。2023年高考数学全国卷试题评析

2023年高考数学全国卷依据普通高中数学课程标准，贯彻中国高考评价体系理念，创新试题设计，加强关键能力考查，突出理性思维，发挥数学科高考的选拔功能；创设真实问题情境，考查考生利用数学工具解决实际问题的能力，体现数学思想方法在解决实际问题过程中的价值和作用；落实立德树人根本任务，引导“五育”并举、全面发展；积极推进内容改革，强化基础性要求，加强考教衔接，发挥对中学数学教学的积极引导作用。1.发挥基础学科作用，助力创新人才选拔2023年高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭就了展示的舞台、发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。重点考查逻辑推理素养，深入考查直观想象素养，扎实考查数学运算素养，要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。2.创设自然真实情境，助力应用能力考查高考数学全国卷在命制情境化试题过程中，在剪裁素材时，控制文字数量和阅读理解难度；在抽象数学问题时，设置合理的思维强度和抽象程度；在解决问题时，设置合适的运算过程和运算量，力求使情境化试题达到试题要求层次和考生认知水平的契合与贴切。首先是现实生活情境，数学试题情境取材于学生生活中的真实问题，贴近学生实际，具有现实意义，具备研究价值。其次是科学研究情境，科学研究情境的设置不仅仅考查数学的必备知识和关键能力，而且引导考生树立理想信念，热爱科学，为我国社会主义事业的建设作出贡献。最后是劳动生产情境。3.落实“四翼”考查要求，助力“双减”政策落地2023年高考数学全国卷在反套路、反机械刷题上下功夫，突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握，注重考查学科知识的综合应用能力，落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求。同时，合理控制试题难度，科学引导中学教学，力图促进高中教学与义务教育阶段学习的有效衔接，促进考教衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习。高考命题改革的“势”高考命题改革，方向非常明确，就是党中央、国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》要求：“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象。”教育部教育考试院院长孙海波在2022年9月15日教育部举行的“教育这十年”第12场新闻发布会上说：高考内容改革是考试招生制度改革的重要内容，是新时代教育评价改革的重要载体，对高中教育教学改革和育人方式的转变具有重要导向作用，直接影响高校人才选拔与培养质量。十年来，高考命题全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，成为铸魂育人的有效途径和引导学校实施素质教育的风向标；从能力立意走向素养导向、从单一评价走向多维评价，形成了具有中国特色的考试评价范式；与高中育人方式改革和高考综合改革同向同行，实现了学生成长、国家选才、社会公平的有机统一。十年来，高考命题探索形成具有中国特色的考试评价理论和实践体系，确立“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能，回答了“为什么考”的问题；构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，凸显学生发展核心素养要求，回答了“考什么”的问题；研制中国高考评价体系，回答了“怎么考”的问题。十年来，高考命题不断完善考试内容，创新考查形式，丰富评价手段，强化保障措施，取得了一系列突破性进展，主要体现在以下三个方面：1.落实立德树人，实现高考由考试评价工具到全面育人载体的转变高考是连接基础教育和高等教育的关键环节。党的十八大以来，高考系统性地加强考试内容的思想教育和价值引领作用，逐步由注重智育评价的人才选拔，向落实立德树人的育人载体转变，成为德智体美劳全面培养教育体系的有机组成部分。一是聚焦铸魂育人，夯实信仰之基。高考不断强化考试的育人功能，以习近平新时代中国特色社会主义思想培根铸魂，考试内容深度融入社会主义核心价值观，弘扬中华优秀传统文化、革命文化、社会主义先进文化，在引导学生坚定理想信念、厚植爱国主义情怀、加强品德修养、培养奋斗精神上下功夫，将显性考查和隐性教育相结合，用精品试题让学生接受思想的启迪、文化的熏陶。二是紧扣时代脉搏，培养时代新人。围绕改革开放40周年、中华人民共和国成立70周年、打赢疫情防控阻击战、决战脱贫攻坚、决胜全面建成小康社会、中国共产党成立100周年、北京冬奥会和冬残奥会、构建人类命运共同体等重大时代主题，精心选材和设计试题，采用符合高中学生认知特点的呈现方式，在考试内容中巧妙融入新时代党和国家事业取得的历史性成就、发生的历史性变革，引导学生坚定“四个自信”，助力培养担当民族复兴大任的时代新人。三是彰显五育并举，引导全面发展。高考命题遵循高中学生的认知水平和成长规律，将对体美劳教育的引导与考查内容、考查要求、考查载体有机融合，促进学生在思想道德修养、科学文化素养、人文和审美素养、健康和劳动素养等方面全面提升，走出了一条以德引领、以智为基、体美劳强力呼应的内容改革之路。2.科学服务选才，实现高考由“解题”到“解决问题”的转变“为国选才”是高考的基本功能。高考命题探索“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查模式，不断增强试题的应用性、探究性、开放性，把考查的重点放在学生的思维品质和综合应用所学知识解决实际问题的能力上，不断完善人才选拔标准和方式方法，服务高校招生和人才培养改革。一是提升选才效度，考查关键能力。高考注重考查支撑学生未来长远发展和适应社会进步要求的能力，有效鉴别学生发展潜质。通过优化考查内容、丰富呈现方式、创新设问角度等途径，突出对关键能力的考查，让善于独立思考、认知能力强的学生脱颖而出。二是注重学用结合，创设真实情境。高考加强理论联系实际，紧密结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等创设情境，充分考虑学生学习和生活实际，把课本知识与“具体真实的世界”联系起来，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问题的能力，引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养。三是突出思维品质，强调开放灵活。高考持续优化试卷结构，创设新的题型，从材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等方面增强试题开放性，强调思维过程和思维方式，鼓励学生多角度主动思考、深入探究，发现新问题、找到新规律，引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。中学反映：高考命题反套路、反对背素材，材料来源于生活，接地气，死记硬背、机械刷题、题海战术难以发挥作用。3.有效引导教学，实现高考由“以纲定考”到“考教衔接”的转变高考充分发挥教育评价的积极导向作用，与高中教育教学同向同行、同频共振，逐步形成“招-考-教-学”良性互动、有机结合的一体化育人格局，引导教学回归课标、回归课堂主渠道。一是遵循课程标准，引导中学依标教学。高考命题严格依据高中课程标准，确保“内容不超范围，深度不超要求”。考查内容限定在课程标准范围之内，既注重考查内容的全面性，又突出主干和重点内容的考查；考查要求依据学业质量标准，深度不超过其规定的层次，引导中学做到应教尽教，开齐开好国家规定课程。二是注重以考促教，服务教学提质增效。高考命题遵循教育规律，注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解，引导学生要知其然，更知其所以然，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，引导教学把精力放在讲透课程重点内容上。强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用，不考死记硬背、不出偏题怪题，平和中有新意，灵活中见潜力，实践中出真知，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养，提升课堂效果和作业效率。教师普遍认为：考试与教学的衔接越紧密、越一致，教师、学生的负担就越轻；高考注重基础性，强调综合性、应用性和创新性，加强考教衔接，就是对“双减”的最好呼应和落实。三是坚持稳中求进，助推育人方式改革。近年来，高考内容改革、高考综合改革、高中新课程改革、高中育人方式改革并行推进，面临新老高考衔接、新旧课标交叠。通过开展学情调研，分析考试数据，制订科学的命题策略，在考试内容覆盖上保持平衡，在命题素材选择上保持平实，在试题设问上保持平和，在试卷结构设计上保持平稳，有利于考生正常发挥，有利于教学有序开展，为各项改革平稳实施奠定坚实基础。教师普遍认为：高考命题结构科学合理，稳中有新，增强了中学把握课标理念、用好新编教材、构建有效课堂的信心。小结有的人常常因为自己的武功不够精进，没有炼就孙悟空的火眼金睛，不能识破白骨精的真身而被其外表“魅惑”，并因此而导致缺乏定力，不在理解数学、把握课标、研读评价体系、研究教材、研究学生上下功夫，听信“绿皮书”，滥用教辅资料，追求“秒杀大招”，试图走捷径，最后不仅成绩搞不上去，而且还让自己怀疑自己，搞坏了自己的心情，失去了职业快乐。其实，应对中考、高考的真经就在那里，讲得非常清楚，而且非常易懂。只是很多人不信“佛”、偏信“妖”，把旁门左道奉若神明，从而误入歧途，把学生也带偏了。希望大家一定要信教育部考试研究院说的，回归课标，用好教材，在“四基”、“四能”上下功夫，在培养学生思维品质上下功夫，在“解决问题”上下功夫。三、发展核心素养的关键是培养思维首先，数学是思维的科学，由此决定了数学育人的重心在培养人的思维，正如课程标准指出的，数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。第二，中国学生发展核心素养的文化基础方面包含人文底蕴、科学精神两大素养。其中，科学精神包括理性思维、质疑批判、勇于探索。理性思维的重点是：崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法；尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等。批判质疑的重点是：具有问题意识；能独立思考、独立判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等。勇于探究的重点是：具有好奇心和想象力；能不畏困难，有坚持不懈的探索精神；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等。可以看到，科学精神发展的关键在于思维发展。第三，注重培养思维能力是我国数学教育的优良传统，“双基”和“三大能力”是新中国成立以来我国数学课程长期坚持的教学目的。新课程标准将数学课程应着力培养的核心素养界定为“会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界和会用数学的语言表达现实世界”，并给出了各学段数学核心素养的具体表现：上述表述没有离开我国数学教学目的发展的历史轨迹，其核心仍是培养思维。

数学的眼光数学的思维数学的语言小学数感、量感、符号意识、几何直观、空间观念运算能力、推理意识数据意识、模型意识初中抽象能力、几何直观、空间观念运算能力、推理能力数据观念、模型观念高中数学抽象、直观想象逻辑推理、数学运算数据分析、数学建模第四，心理学的研究表明，智力、能力发展的核心是思维的发展，也就是说，学生的智力、能力发展，其落脚点都在思维的发展上。同时，思维发展心理学强调，培养思维能力的关键在于培养抽象与概括能力，智力、能力发展的突破口是思维的逻辑性（深刻性）、灵活性、创造性、批判性、敏捷性等思维品质的培养。由此可见，思维发展的基本路径与核心素养发展的基本路径完全一致。第五，以培养思维为核心的数学育人，可概括为：基于数学的整体性，建构结构化数学课程，在一般观念统领下，以研究一个数学对象的基本套路（背景——概念（本质）——性质（关系、规律）——结构（联系）——应用）为主线，创设符合数学知识发生发展规律（数学的逻辑）和学生思维规律及认知特点（心理的逻辑）的系列化情境与问题，引导学生开展高质量数学思维活动，在发现和提出问题、分析和解决问题的过程中，系统掌握数学基础知识、基本技能，领悟基本思想，积累基本活动经验，发展数学核心素养。总之，发展学生的思维是数学教学的永恒主题！这是数学课程的精髓，是数学育人的真谛，也是把握课改内涵的基点。四、提升情境设计与问题提出的水平是提高教学质量的关键注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。课堂是学生核心素养发展的主阵地。为了有效培养学生数学学科核心素养，我们必须变革教与学的方式，大力实施基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，为学生创造独立思考、自主探究、合作交流的时空，努力提高课堂教学效率，提高学生自主学习能力，使他们在获得“四基”提高“四能”的过程中，逐步形成理性思维、科学精神，促进智力发展，达成“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”的目标。创设情境提出问题要注意的问题教师是课堂教学变革的“关键少数”，而“基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学”的关键又在于教师的提问能力。课堂观察发现，教师不会提问是普遍现象。因此，当务之急是大力开展“如何学会创设情境提出提问”的研究。课程标准对创设情境、提出问题的要求：（1）注重创设真实情境。真实情境创设可从社会生活、科学实践、数学知识的发生发展过程和学生已有数学经验等方面入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材。（2）注重情境素材的育人功能，引导学生关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成严谨求实、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。（3）注重情境的多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值。五、提升设问水平是提高思维教学水平的关键衡量问题质量的几个基本指标：（1）反映当前内容的本质，特别是内容所蕴含的数学思想和方法；（2）在学生思维最近发展区内；（3）具有可发展性，形成自然而然、环环相扣的问题串；（4）能够启发学生逐步学会自主提问——看过问题三百个，不会解题也会问。（一）提升问题的数学“含金量”老师的设计探究一：直线的点斜式方程问题1已知一点，或已知直线的斜率，能确定一条直线吗？两个条件合在一起呢？在学生顺利回答“两个条件合在一起能确定一条直线”后，提出问题2已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，求l上不同于P0的任意一点P(x，y)的坐标与x0，y0，k的关系。只从“事实”层面提出，没有在研究什么、为什么研究以及如何研究等方面提出问题，其思想性不高，思考性不强，导致问题的数学含金量低。如何改进？课堂引入要通过具有较高统摄性的“情境+问题”，使学生明确研究对象、问题以及解决问题的方法等，进而构建起学习的先行组织者。引导语：前面学习了直线的倾斜角与斜率，知道斜率是倾斜角的代数化。下面我们要利用直角坐标系中确定直线位置的几何要素——一点和一个方向，求出直线的方程，并利用方程解决直线的有关问题。问题1我们知道，直角坐标系中，给定直线l上一点P0及其倾斜角α就可以唯一确定这条直线。你能用代数语言解释“唯一确定”的含义吗？追问设直线l过点P0(x0，y0)，斜率为k，你认为“求直线l的方程”就是要解决什么问题？你能独立解决这个问题吗？设计意图：通过问题1，引导学生用代数语言刻画几何要素，为明确研究对象和要解决的问题做铺垫。“唯一确定”的代数含义是直线l上任意一点P的坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)、斜率k之间的关系是唯一确定的。通过追问，使学生明确要解决的问题是利用斜率k，建立点P(x，y)、点P0(x0，y0)之间的联系，得出x，y所满足的方程。在完成点斜式的推导后，可通过下面问题引导学生反思：问题2在推导点斜式时，（1）为什么要“设P(x，y)是直线l上不同于P0(x0，y0)的任意一点”？（2）为什么要说明“直线l的方程是y－y0＝k(x－x0)”、“方程y－y0＝k(x－x0)的直线是l”？注：以上问题有难度，教师可以在学生思考后进行讲解。（二）注重连贯性和逻辑必然性老师的设计探究二：“直线的斜截式方程”，没有任何铺垫就直接给出如下问题：已知直线l的斜率为k，与y轴的交点为(0，b)，求直线l的方程。学生利用点斜式方程求出方程y=kx+b，再在“高二数学微学案”上通过填空方式明确“截距”“斜截式”等概念，接着安排思考题，针对“截距”、“斜截式方程能否表示平面内的所有直线”进行辨析，并让学生联系一次函数表达式，再安排“典例分析”“变式训练”进行巩固训练。问题分析没有揭示斜截式方程与点斜式方程之间特殊与一般的关系，孤立地提出问题，学生虽然不费吹灰之力就得出斜截式方程，但并没有从中体验两种形式之间的内在逻辑关联，同时也失去了一次培养发现和提出问题能力的机会。如何改进？人教A版在这里是这样开头的：“下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为k的直线l过点P0(0,b)，这时P0是直线l与y轴的交点……”，这里特别指出了斜截式是点斜式中“点”在y轴上时的特例。如果教师能够认真分析教材，理解教材的编写意图，那么就可以在教材的指引下设置问题，启发学生研究“特例”而得出斜截式方程。例如，我们可以这样来引导和提问：研究数学对象时，在得出一般结论后，往往要通过探索“特例”或进行推广来实现对问题更全面更深入的认识。你认为点斜式中的“点”有哪些特殊位置？斜率有哪些特殊取值？这时的方程有怎样的特殊形式？从两点式到截距式我们知道，两点确定一条直线，说明在直角坐标系中，给定两点的坐标就可以求出过这两点的直线方程。你能利用点斜式方程求出过两点的直线方程吗？你认为给定的两点有哪些特殊位置？直线与方程的整体架构人教A版在得出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程后指出，这些方程“都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率。这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画。在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位。点斜式方程是其他方程的基础，其他方程都是点斜式方程在一定条件下的变式。”数学对象就是一个系统，数学对象的组成元素就是这个系统的要素，要素之间的基本关系决定了对象的一般特性，而要素的某些特殊形式、特殊关系往往反映了对象的重要特性。这样，在抽象数学对象要素及其基本关系的基础上，依着一般与特殊及其相互转化的思路探索数学对象的各种性质，乃是数学研究的基本之道。用一个数学思维逻辑图来表示，就是特殊化类比当前内容联系一般化在直线的方程这个系统中，要解决的基本问题是“在平面直角坐标系中，由确定直线位置的几何要素求直线的方程”，研究的路径是：（1）以“一点和一个方向确定一条直线”为出发点，得出点斜式方程，这个方程可以作为一个定理来看待；（2）研究点斜式的特例，得出斜截式；（3）建立“两点确定一条直线”与“一点和一个方向确定一条直线”的联系，用点斜式推出两点式；（4）研究两点式的特例，得出截距式；（5）归纳各种条件下直线方程的共性，得出一般式直线方程，指明直角坐标系下二元一次方程（数）与直线（形）之间的一一对应性。例：等式性质与不等式性质的整体架构三歧性；实数大小关系的基本事实——为什么要把“三歧性”转化为“基本事实”？等式性质与不等式的性质——自反性、对称性、传递性的地位作用是什么？性质要研究的问题是什么？重要不等式——特殊的不等式性质；基本不等式——特殊的重要不等式；两个基本模型——特殊的基本不等式。公理化体系，建构起代数推理的逻辑基础从一般到特殊的知识发展逻辑运算观念统领下研究基本不等式

（三）适应学生认知水平，形成适度的思维挑战性并不是任何问题都能激发学生有意义学习心向，也不是随便地给个背景提个问题就算创设了问题情境。对学生而言，只有在自己思维最近发展区内的那些问题才是有意义的，才能形成思维的挑战性。那些不需努力就能回答或再怎么努力也不能回答的问题，也就是与学生认知水平不适应的问题，不能达到挑战学生思维的目的。可以非常肯定地说，与学生认知水平不适应的问题是无效问题，然而课堂中却充满着这样的问题。直线的点斜式方程后，教师提出如下问题：（1）x轴、y轴的方程分别是什么？（2）经过P0(x0，y0)且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？（3）经过P0(x0，y0)且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？（4）能否用点斜式表示平面上的所有直线？在得出斜截式方程后，教师又提出如下问题：（1）截距是距离吗？（2）直线的斜截式方程能不能表示平面上的所有直线？（3）直线的斜截式方程与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论？分析教师的上述提问可以发现，教师的意图是让学生关注特例，实际上是以直线的斜率为标准对点斜式方程进行分类。在获得一个对象后，通过分类、讨论特例等有利于学生更细致而深入地认识对象，这是学习过程中的必要一环，但我们要考虑如何使学生掌握这种研究方法，而不仅仅是让学生被动执行一个程序指令，这样才能使学生在独立面对一个数学对象时自觉地进行分类、研究特例等活动。改变提问方式研究一个数学对象的过程中，在得出一般结论后，往往要通过讨论特殊情况来达到深化认识的目的。对于点斜式方程中的参数x0，y0，k，你认为有哪些特殊情况？这样设问，是在知识的发生发展过程中提问，具有问题的必然性，渗透了研究一个数学对象的基本套路，在指明思想方法的过程中体现了“如何研究”的引导，而且给学生留出了适当的独立思考、自主探究空间。学生可以根据问题的提示，自己提出各种可能的特殊情况。例如：（1）x0=y0=k=0；（2）k=0，x0∈R，y0≠0；（3）k≠0，x0∈R，y0∈R；（4）k不存在。由此也就自然得到，与y轴平行或重合的直线不存在点斜式方程。例：同角三角函数的基本关系式问题1：终边相同的角的同一三角函数值有相等关系，那么，终边相同角的不同三角函数值之间是否也有某种关系？为什么？学生1：终边相同的角的三个三角函数值是由同一个点得到的，所以它们必然有关系．【设计意图】三个三角函数值之间如果没有关系，则没有研究的必要，通过问题引导学生明确探索的方向，坚定探索的信心．问题2：终边相同的角有无穷多个，那么，如何研究多个角的三角函数值的关系？学生2：因为终边相同的角的三个三角函数值相等，所以只要用一个角代替所有终边相同的角．【设计意图】利用诱导公式一，简化探究内容．

存在的不足：问题琐碎，降低认知要求，导致碎片化学习同角三角函数的基本关系式是三角函数的性质。从定义出发研究性质是数学研究的“基本之道”。单位圆是三角函数定义的“脚手架”，所以在发现问题“三个三角函数定义是基于同一个背景的，那么它们一定有内在联系”，明确“只要探究同一个角的三个三角函数之间关系”后，应该画出单位圆，在单位圆中展开整体探索。后续的对称性也是这样。注意：相同背景下的几个事物之间一定有内在联系，这是指引发现的一般观念。（四）加强思想方法的启发性数学的公理、概念、定理、公式、法则等之中蕴含着数学思想，体现着数学的思维方式，也包含了用数学的方式处理问题的基本方法。如果我们的提问仅仅关注知识的事实层面或囿于形式化表达，不对“内容所反映的数学思想和方法”进行深入挖掘，那么这样的教学一定只能是缺乏思想性、没有思维的深刻性和独创性的教学。人教A版在“直线的一般式方程”的开头提出：“观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程。直线与二元一次方程是否都有这种关系？下面我们探讨这个问题。”接着提出“思考”：（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？这个设计有点直白。如何基于教科书的设计创设问题呢？我想，无非就是“三个理解”的落实：首先，从数学上厘清点斜式、斜截式、两点式、截距式与一般式之间特殊与一般的关系。直线方程的特殊形式使其具有了明确的、特别的几何意义，但同时也赋予了某些特殊条件，从而使其失去了普适性；直线方程的一般式使其具有了普遍意义，但同时又失去了明确的几何意义。其次，以研究一个数学对象（问题）的一般性思维过程为指引，从数学思维过程的基本框架入手创设问题情境，引领学生的数学思维活动，这就是“理解学生”。思维过程的基本框架是：（1）观察与实验，（2）归纳与演绎，（3）比较与分类，（4）分析与综合，（5）抽象与概括。第三，融合数学的逻辑与学生思维的逻辑设计教学过程，这就是“理解教学”。从特殊到一般要经历如下过程：（1）观察点斜式、斜截式、两点式、截距式，并分析各方程的组成要素；（2）通过比较得出相同点和相异点，即它们都是二元一次方程，它们的表达形式不同，字母系数（参数）有不同的几何意义；（3）通过归纳、抽象与概括，得到直线与二元一次方程之间的本质关系，形成一般性结论，即“直角坐标系中，任意一个二元一次方程都表示一条直线，任意一条直线都可以用一个二元一次方程表示”；（4）通过演绎，对“直线的方程”、“方程的直线”进行代数推理，得出确定性结论。问题1

我们知道，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有特殊的几何意义，都是直线与直角坐标系有某种特殊关系时的特殊形式。请你列举这些方程，再从方程的组成要素进行观察，你能发现它们的共性吗？由此你能想到什么问题？猜想出什么结论？问题2

类比点斜式的研究方法，你将如何证明猜想的正确性？追问1对于平面直角坐标系中的任意一条直线l，根据前面求直线方程的经验，我们应该分几类情况得出它的方程？这些方程都是二元一次方程吗？追问2

反之，对于任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），如果能将它转化为直线方程的某种形式，那么就获得了证明。如何转化？例：斐波那契数列的教学除了递推公式的性质，还有什么性质？我们来看看相邻两项之比怎么样？——老师用信息技术计算“后项与前项比值”、“前项与后项之比”，让学生观察规律。——这里的关键问题是什么？是如何想到“做比值”，其实在指数函数的概念、等比数列等都有。要发挥“代数学的根源在于代数运算”这一一般观念的作用，引导学生思考“从哪些角度研究”、“研究哪些问题”等等。这里的规律，靠观察无法完成发现，只有靠实实在在的算，从加减乘除乘方开方等等入手，要让学生自己动手。斐波那契数列性质的探究整体架构；一般观念：运算、函数的观点；数形结合，与现实的联系；等等方法从哪里来？——类比等差、等比数列的研究内容及研究方法，对斐波那契数列展开探究。内容？方法？这里要重点讨论。这些是老师要引导的。通过这样的教学，让学生体会如何用已经学习的知识、思想方法去研究一个新的数列。课上是否要研究所有性质？——建构研究框架，形成研究方法，给出研究示范，然后让学生在课下自主探究。可以通过板报、成果的课堂展示等进行成果交流。黄金分割——从代数角度得出，关键是“从后项比前项的极限就是黄金分割数”入手。综合实践活动的目标追求①问题解决为导向，②整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生③从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受④数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，⑤积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，⑥发展应用意识、创新意识和实践能力。——知识、见识，学习的兴趣、关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动；在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，欣赏并尝试创造数学美；养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。（五）以“一般观念”统领全局一般观念是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。要让学生逐步学会提问，创造性地学习，就必须加强一般观念的引领。例、空间中点、直线、平面的向量表示内容与要求：能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。教学提示：在“空间向量与立体几何”的整体架构中，用向量语言描述空间基本图形是向量方法的第一步，也是沟通向量方法与综合几何方法的桥梁。要通过适当方法引导学生领悟点、直线、平面的向量表示中蕴含的数学基本思想，理解参照系的作用，体会“位置”、“方向”作为三维欧几里得空间基本概念的基础地位，形成将确定空间直线、平面的条件“向量化”的一般观念。几何图形的向量表示——要解决的问题是什么？将确定几何图形的要素及其基本关系用向量表示出来，本质上是把满足几何条件的点用向量方法表示出来，实现“向量化”进而能够通过向量运算解决几何问题。一个点和一个方向确定一条直线——通过向量表示，把直线上每一个点都给出了量化表示，从而使直线上的点变成可操作对象。原来是定性的，“两点确定一条直线”“三个不共线的点确定一个平面”等，利用向量表示，实现了定量，从而使平面上的点变成可操作的对象。分析共性，抽象用空间向量表示空间基本图形的一般观念

从上述四条可以发现：利用空间向量表示点、直线、平面，就是将平面几何、立体几何初步中关于确定点、直线、平面的条件“向量化”，其中的基本思想是取定空间一点O作为基准点，再利用向量集大小与方向于一身的特征，发挥方向的作用，通过向量运算得到空间点、直线、平面的向量表示式：因此，用空间向量表示空间基本图形的一般观念是：取定空间一点O为基准点，发挥方向的作用，通过向量运算得到向量表示式。

（3）平面的向量表示问题1我们知道，三个不共线的点、两条相交直线或两条平行直线都能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗？问题2

在立体几何初步中，还学到过哪些确定一个平面的方法？其中的条件是什么？你能将它转化为向量表示吗？如何引导学生研究用法向量表示平面？

——仍然聚焦在“几何问题向量化”

例

等比数列与等差数列的类比怎样的类比才能启迪学生的思想？教师的“类比性提问”：类比问题1我们已经得到等差数列的定义，请同学们思考一下，根据等差数列的定义，我们能够联想到什么？分析：这是一个没有数学思想的问题，思考的“