江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第4讲 数学归纳法及其应用课件

1、第4讲数学归纳法及其应用2021/8/8 星期日1知 识 梳 理1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明 当 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立nk1 第一个值n0(n0N*)2021/8/8 星期日22数学归纳法的框图表示2021/8/8 星期日3辨 析 感 悟1数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳

2、假设可以不用()2021/8/8 星期日42021/8/8 星期日5感悟提升1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，如(4)，检验n的值从n3开始，因此(1)不正确第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法，如(3).2021/8/8 星期日6考点一用数学归纳法证明等式【例1】 (2012天津卷改编)已知等差数列an的公差为3，其前n项和为Sn

3、，等比数列bn的公比为2，且a1b12.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn12 2an10bn(nN*)审题路线(1)代入等差、等比数列的通项公式求an，bn；(2)注意到所证结论是关于“n”的命题，可运用数学归纳法证明2021/8/8 星期日7(1)解由a12，公差d3，ana1(n1)d3n1.在等比数列bn中，公比q2，首项b12，bn22n12n.(2)证明当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，当nk1时，Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak

4、1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2021/8/8 星期日82ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由、可知，对任意nN*，Tn122an10bn成立规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程.2021/8/8 星期日9【训练1】 求证：(n1)(n2)

5、(nn)2n135(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)、(2)知，对nN*，原等式成立2021/8/8 星期日10考点二用数学归纳法证明不等式2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立

6、，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化2021/8/8 星期日13【训练2】 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15考点三归纳猜想证明(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性审题路线从特殊入手，正确计算a1，a2，a3，探求an与n的一般关系运用数学归纳法严格证明2021/8/8 星期日

7、162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18规律方法 “归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性.2021/8/8 星期日19解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，a12111，结论成立；2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日211在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法2021/8/8 星期日223归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写 2021/8/