高数函数的单调性与极值课件

1、高数函数的单调性与极值课件高数函数的单调性与极值课件第九节一、函数的单调性二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值 第二章 *2第九节一、函数的单调性二、函数的极值及其求法函数的单调性与极一、 函数的单调性若定理 1. 设函数则 在 I 内单调递增(递减) .证: 无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明 在 I 内单调递增.在开区间 I 内可导,证毕I 称为单调递增(递减) 区间。*3一、 函数的单调性若定理 1. 设函数则 例1. 确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为为驻点*4例1. 确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减说明: 单调区间的分界点除驻点外,

2、也可是导数不存在的点. 例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .例如,*5说明: 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例例2 证明证：令令从而成立*6例2 证明证：令令从而成立*8例3. 证明证: 设, 则故时, 单调增加 ,从而即思考: 证明时, 如何设辅助函数更好 ?提示:*7例3. 证明证: 设, 则故时, 单调增加 ,从而例4 求证证法一：设当时当时综上可知，无论为什么值，总有则不等式成立。当时*8例4 求证证法一：设当时当时综上可知，无论为什么值，总有则例4 求证证法2：设则无论为什么值，总有则不等式成立对 f (x) 在 0 与 x 之间应

3、用拉格朗日中值定理，有式中在 0 与 x 之间，由于与 x 同号，*9例4 求证证法2：设则无论为什么值，总有则不等式成立对 f例5 证明在证明令 在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而 在内单调增加。内单调增加。此函数为幂指函数，两边取对数*10例5 证明在证明令 在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而例5 证明方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明： 设在区间0,1 上连续，由零点定理，使即的根存在。又单调增加。的图形至多与 x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。*11例5 证明方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1) 则称 为 的极大

4、点 ,称 为函数的极大值 ;(2) 则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .极大点与极小点统称为极值点 .*12二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1) 则称 注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.1) 函数的极值是函数的局部性质.例如 (P146例4)为极大点 , 是极大值; 是极小值 .为极小点 , *13注意:为极大点为极小点不是极值点2) 对常见函数, 极值可定理2（极值存在的必要条件）如果在x0处可导，且在x0处取得极值，则（证明略）使的点称为函数的驻点。定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点。

5、寻求函数的极值点首先要找的驻点以及不可导的点，再判断其是否为极值点。*14定理2（极值存在的必要条件）如果在x0处可导，且在x0处取得定理 3 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “左正右负” ,(2) “左负右正” ,(自证)点击图中任意处动画播放暂停0为极小值为极小点如：*15定理 3 (极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1) “例1. 求函数的极值 .解:1) 求导数2) 求极值可疑点令得令得3) 列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为*16例1. 求函数的极值 .解:1) 求导数2) 求极值可疑点令定理4 (极值第二判别法)二阶导数 , 且则 在点 取极大值

6、 ;则 在点 取极小值 .证: (1)存在由第一判别法知(2) 类似可证 .*17定理4 (极值第二判别法)二阶导数 , 且则 例2. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数2) 求驻点令得驻点3) 判别因故 为极小值 ;又故需用第一判别法判别.*18例2. 求函数的极值 . 解: 1) 求导数2) 试问 为何值时,在时取得极值 ,解: 由题意应有又取得极大值为并求出该极值。指出它是极大还是极小，例3*19试问 为何值时,在时取得极值 ,解: 由题意应有又取得内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2. 连续函数的极值(1) 极值可疑点 :使导数为0 或不存在的点(2

7、) 第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3) 第二充分条件为极大值为极小值*20内容小结1. 可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上思考与练习1. 设则在点 a 处( ).的导数存在 ,取得极大值 ;取得极小值;的导数不存在.B提示: 利用极限的保号性 .*21思考与练习1. 设则在点 a 处( ).的导2. 设在的某邻域内连续, 且则在点处(A) 不可导 ;(B) 可导, 且(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示: 利用极限的保号性 .*222. 设在的某邻域内连续, 且则在点处(A) 不可导 ;(B3. 设是方程的一个解,若且则在(A) 取得极大值 ;(B

8、) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单调减少 .提示:A*233. 设是方程的一个解,若且则在(A) 取得极大值 ;(B作业P149 1（1）（2）；2；3 (2)(4) ; 4 ；5(2), (3) (6); 6；7；8.*24作业P149 1（1）（2）；2；*26思考与练习上则或的大小顺序是 ( )提示: 利用单调增加 ,及B1. 设在*25思考与练习上则或的大小顺序是 ( )提示: 利 .2. 曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及 ; ;*26 .2. 曲线4、设函数由方程所确定，求的极值。令 得 代入原方程得由 ，所以函数在处有极小值 解 方程两边同时对x求导整理