高等数学b学习31不定积分的概念及其线性法则课件

1、高等数学b学习31不定积分的概念及其线性法则课件高等数学b学习31不定积分的概念及其线性法则课件定义：一、原函数与不定积分的概念1.原函数 设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导函数 F(x)使对每一个 xI 有F(x)= f(x)或 dF(x) = f (x)dx ，则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 . 牛牛文库文档分享定义：一、原函数与不定积分的概念1.原函数 设关于原函数有以下三个问题：1) f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？2) 若 f(x) 有原函数 , 其原函数有多少个？3) f (x) 的全体原函数如何表示?原函数存在定理 若 f(x

2、) 在区间 I 内连续 , 则在区间 I 内一定存在 f(x) 的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.若 f (x)有原函数 ,则 f (x) 的原函数有无穷多个.若 F(x) 是f (x)的一个原函数 ,则 f (x)的全体原函数可表示为 F (x) +C. (C为任意常数) 牛牛文库文档分享关于原函数有以下三个问题：1) f(x) 满足什么条件 ,任意常数积分号被积函数2. 不定积分的定义：被积表达式积分变量若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ,则 f (x) 在区间 I 内的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 内的不定积分,例 求例2 求 牛牛文库文档分享任意

3、常数积分号被积函数2. 不定积分的定义：被积表达式积分变3. 不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等都为f (x) , 即在横坐标相同的点处各切线相互平行.y=F(x) 为平面上的 一条曲线.y=F(x)+C 为平面上的 一族曲线.设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数 , 则函数 f (x) 的原函数的图形称为积分曲线. 牛牛文库文档分享3. 不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分(导数)的关系由此根据微分公式可得积分公式. 牛牛文库文档分享结论：求不定积分的运

4、算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分二、 基本积分表 P172( k 是常数) ; 牛牛文库文档分享二、 基本积分表 P172( k 是常数) ;www.niu 牛牛文库文档分享 牛牛文库文档分享例 求积分解 牛牛文库文档分享例 求积分解 牛牛文库文档分享三、 不定积分的线性运算法则(性质可推广到有限多个函数线性组合的情况) 牛牛文库文档分享三、 不定积分的线性运算法则(性质可推广到有限多个函数线性组四、直接积分法 直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积分公式 , 直接求出不定积分的方法.例1 求下列不定积分： 牛牛文库文档分享四、直接积分法 直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积

5、说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形才能使用基本积分表. 牛牛文库文档分享说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形才能使用基本解解解 牛牛文库文档分享解解解 牛牛文库文档分享4. 求积分解 牛牛文库文档分享4. 求积分解 牛牛文库文档分5. 求积分解 牛牛文库文档分享5. 求积分解 牛牛文库文档分6. 求积分解 牛牛文库文档分享6. 求积分解 牛牛文库文档分7. 求积分解 牛牛文库文档分享7. 求积分解 牛牛文库文档分8. 求积分解 牛牛文库文档分享8. 求积分解 牛牛文库文档分9. 求积分解解 牛牛文库文档分享9. 求积分解解 牛牛文库文档在求 f (x) 的所有原函数中,有时需

6、要确定一个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线 .即求通过点(x0 , y0)的积分曲线 .这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值. 牛牛文库文档分享在求 f (x) 的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件 例2 解故所求曲线方程为 牛牛文库文档分享例2 解故所求曲线方程为 牛牛文库例3解 牛牛文库文档分享例3解 牛牛文库文档分享例4解 牛牛文库文档分享例4解 牛牛文库文档分享注意:1) 导数是唯一的 , 但原函数不唯一.2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示 .这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函数来表示 .3) 不定积分与变量符号无关. 牛牛文库文档分享注意:1) 导数是唯一的 , 但原函数不唯一.2) 任一初基本积分表不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分是互逆关系四、 小结 牛牛文库文档分享基本积分表不定积分的性质 原函数的概念：不定积分的概念：求微思考题符号函数在 内是否存在原函数？为什么？ 牛牛文库文档分享思考题符号函数在 内是否思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数. 牛牛文库文档分享思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以 练习题 牛