经典数列求公式

1、经典数列求及公式经典数列求及公式经典数列求及公式数列乞降的基本方法和技巧利用以下常用乞降公式乞降是数列乞降的最基本最重要的方法.1、等差数列乞降公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)2、等比数列乞降公式：Sna1(1qn)a1anq1)1q1(qqn3、Snk11n(n1)自然数列24、Snnk21n(n1)(2n1)自然数平方成的数列k16例1已知log3x1，求xx2x3xn的前n和.log23解：由log3x1log3xlog32x1log232由等比数列乞降公式得Snxx2x3xn（利用常用公式）11x(1xn)2(12n)111x112n2例2Sn1+2+3+n

2、，nN*,求f(n)(nSn的最大.32)Sn1解：由等差数列乞降公式得Sn1n(n1)，Sn1(n1)(n2)（利用常用公式）22f(n)Snn2n(n32)Sn134n64111648250n34(n)50nn当n8，即n8，f(n)max1850二、位相减法乞降种方法是在推等比数列的前n和公式所用的方法，种方法主要用于求数列ab的前n和，此中a、b分是等差数列和等比数列.nnnn例3乞降：S13x5x27x3(2n1)xn1n解：由可知，(2n1)xn1的通是等差数列2n1的通与等比数列xn1的通之xSn1x3x25x37x4(2n1)xn.（制位）得(1x)Sn12x2x22x32x4

3、2xn1(2n1)xn（位相减）再利用等比数列的乞降公式得：(1x)Sn12x1xn1(2n1)xn1xSn(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2例42462n前n的和.求数列2,22,23,2n,解：由可知，2n的通是等差数列2n的通与等比数列1的通之2n2nSn2462n223n2221Sn2462n（制位）22223242n1得(11222222n（位相减）)Sn22223242n2n12Sn4n22n1：*提示：不要得重复和无聊，乘公比位相减的关就是熟！通anbn,1、an是自然数列，bn是首1，q2的等比数列2、an是正偶数数列，bn是首1，q2的等比数列3、an是正奇数数

4、列，bn是首1，q2的等比数列4、an是正偶数数列，bn是首3，q3的等比数列5、an是正奇数数列，bn是首3，q3的等比数列6、an是自然数列，bn是首3，q3的等比数列三、分法乞降有一数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列适合打开，可分几个等差、等比或常的数列，而后分乞降，再将其归并即可.例5求数列的前n和：11,14,17,13n2，aa2an1解：设Sn(11)(14)(127)(1n13n2)aaa将其每一项打开再从头组合得Sn111(1473n2)（分组）(1a2an1)a当a1时，Snn(3n21)n(3n1)n（分组乞降）211(3n1)naa1n(3n1)n当a1时，

5、Snan112a12a例6求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设akk(k1)(2k1)2k33k2knnSnk(k1)(2k1)(2k33k2k)k1k1将其每一项打开再从头组合得nk3nk2nkn23（分组）Sk1k1k12(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)（分组乞降）222n(n1)2(n2)2四、裂项法乞降这是分解与组合思想在数列乞降中的详细应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，而后从头组合，使之能消去一些项，最后达到乞降的目的.通项分解（裂项）如：（1）an111=升级分母是n(n+2)呢？-要点掌握这个型n(n1)nn1例7求数列11,1,的前n项和.2,n123n1解：设an1n1n（裂项）nn1则Sn111（裂项乞降）1223nn1(21)(32)(n1n)n11例8在数列an中，an12n，又bn2，求数列bn的前n项的n1n1n1anan1和.解：a