数理方程课后习题答案

1、0,0,1.性为r的均匀杆侧面绝绛一端温度为霉，胡一端有恒定热流9进人（即单位吋闻内通过羊也赧面积流人的热量为*）.杆的初始隔度分布是屋与出，试写出相应的定解问題.这是一个热传导问题由于考壌细杆內的漏度分朮所以屋一维的、谏者可以按朧教材第-节中例4的方註来建立方程r也可以在二维热传导方程中假定温度不fR赖于爭人只与工有关把细杆放在工轴上）来得到.0,0,剰下的问题就足要写出边界条件，设在工-0这个端点处漓產是零度，则有o,L=i；=o,另一端（即r-?处海恒定的热流q进人杆内，所谓恒定昭指q是牛常数，根据热流的定义有其中6Q是在df时问内通过面积dS的热景*现襄璃量墨流人杆内、表明热流方向与丄

2、轴正向相反，由專里叶实验定律得彳二蟲=阳窪（在鼻二f端，截面的外法向就是工柚的正向人其中k是杆的热传导系数因为杆是均匀的敬是常数”所以在工=/处的边界条件为4.Mx_0Mx_0二0,薯L=Hftt0,t=0任为/的弦闯端固定开媳时在龙=巴社受到冲量山的萍用，试写出相应的定解问题.这展一个弦振动问题，方程在教材第章第一节搠1中已轻推导过了，边界条件也简单、设弦的两端为工=0授工二扎由于迖曲耀魁固足的，所以社这悶点位移为霉，即wL=n=wL=;=O现在的问题是耍找出初始条件已知在初始时刻菠上工二处量到一牛冲燉k利用动最原理动疑的改璧等干沖SD知，这个案件就相当于在这点给了-个初速匿.为了清楚起见我

3、们考虑以c点为中心、长为28的一小段蠢-矗f町,设张是均匀的，其密度为p姬这一小段弦的质量为2,在受曲击之前弦的速度为零爰冲击时速度为诗所以由动蜃原理得2fffl-3,在这个小段以挤,初速度仍为零&我们的问题并不是在这一小啓上受到冲击両是在一点厂&处受到冲击.所以最后还要令此外显然弦是没有初位移的，即uL-o.于是初始条件为la=Ot,0,0,n(iin(iis.2如果要求解这个冋题时先固定右把解找出來：这样的解当然依赖于扒再令汩亠0所得的极跟函教就是原问题的解.如果渎者熟悉狄拉克（Dirac）函数（简称古-函数），厕上述第二个初始条件可表示为二&(上-c)70弍直=0P占-函数是-个广义函数

4、，简卑一点讲它是-个可积函数，它的定义足对任意逹续函数卩（J有+g冷Ud工=ptO)._oo由此可知(X-Ck5!J7)dx=F(c).kj注从占-西数的定叉知它的拉普趟斯变拱及傅里叶变换很容易求鬻，事实上：mS0)e_Edf-(-oLS(l-)乂忆OCTF&)=J(3d-F&)=tjlrtFJ(J7疋Q0,0,4.一均何杆原长是農一端固定、另一端沿杆的轴线方向被拉长疋面静止，突熔放手任其撮动，试建立振动方程和定解条件.这是一个杆的纵振戲问题，由上一题已知振勒方程为护血2护扭5P现在的问题是聲写出定解条仲先看边界条件，设固定端在識=0点侧有Mr=Q-70?I0,/D.i=f再考虑初始条件.因为

5、弦是由静止状态开始0,/D.i=f再考虑初始条件.因为弦是由静止状态开始振动的，故初速礎为家即3工37匸队0笛文W牡X-0开始時整个杆菽纵向拉长s卿单位长度杆的伸长为莘心点处的位移（伸心战为子即0,0,1.设弦的两端固定于工二仆及工二匚弦的初始锂移如圈离汞，初速度为零戈没有外力作用求茁柞横向振动时的位移函数讥u）要解这个问题,苜先要写出初始位移讥衣），由图知它由两个直绒段组成，枉久门内的直线段由两点）与5川）确定,在M昇内的肓线段曲匸川）与（八要解这个问题,苜先要写出初始位移讥衣），由图知它由两个直绒段组成，枉久门内的直线段由两点）与5川）确定,在M昇内的肓线段曲匸川）与（八确定，利用解析几何

6、中宜线的两点式可得脱（丁*0）V门，cjrr所要求解的闻题是护超_2尸址乔=疔迂0J0,=0,利用教枕申2.1的方法得到解S匚心号%+j-l样）切-t）71TC510二曲袂始条件可稳0,0,0.,.T丄SsanxJi0.,.T丄SsanxJi=Er0,0,0,0,2-就下列初始条件及边界条件解弦振动方程；(JT,0)=0,OWzM匚计(心心=T(/-T),QMHWa(011)=甘(匚门=0:i0+这个题不应该有困难，因为边界条件是第一类齐次边界条件、可以苣接用分离变量法来做.在用分离变童医时应该写出全过捏,千万不能挹教材中的结果十作公式来套否则容易把特征函数搞错.5.试求适合于下列初蜡棗件及垃

7、界朵轄的一维热传导方理的解肚1=打二.可(一才，工伍r-D=“L-(=0这个问题的边界条件是齐次的，而且都是第一魏的,直接用分篇变嚴法求解只要是第一类边界条件，不论是热传导方程还是波祠方程J它们的持征瓯数系是一样的，因为特征函数只由方程申关T工的导数项及边界条件来确定，所以適过分离变量疳得魁恃征碉数为两罕2一维栩传导方程和一维滋动方超的差别在于方程中关干/的导数项不同，所以分离变量后得到的丁U)的方程就不一祥，盼披动方程得列T7/)十a3AT(z)-0,它的通解是1f)=Ceosa4Dsinu忑:.对于热传导方程得到厂(Q+和-0,它的通懈为T(i)-Ce也上而的丄应该用特征值代薔.J解一堆热

8、转导问题，其初始条件及边界条件为MLO-H*0黑丁，詳|=o肆“-芒尤上二(JoJCj=这个间题的边界条件是齐次的故可宣接用分离变量苦，与前而的习题不同的是两个边界条件都是第二娄的.通过分离变量得到持征值问题；+AX(r)=0sXJ(O)=疋=0.由此可得特征值与特征函数为13-半径为“曲半圖羽平板，其園周边界上的温度探持血而克轻边界上温度保持为0C,板的侧而绝缘，试求穂恒状态下的温度分布规律衣要解这个问题，首先要把定解问题写出来，由于求稳恆的温度分布，所以悬拉普拉期方程的边值问题，现在求解区域是半圆板,根据第一段亠内容评述內所讲的选坐标泰的原则直取极坐标系此外，还和教材2.3样应补充自燃边界

9、条件|讥0#)|Cm,郎求解U-050,0n.pU-050,090,0,剩下的冋题就是用分离变趙法求解了，与教材中23所不同的罡一,衽那里特征函数由周期条件讥p,十2=比(6们来确定，现在只在半圆内求塀，股有周期条件但在直径边界上的条件足齐决的可也用来确定特征值与特征函奴丫注庶宜径的方程是H二0A彳工工令泌严#)=经过分离变量后得到.申”十ZID)=0.0&V亦(0)=5)0*”疋+州严R=山0CpsI/?(0)|+8.下面的工作读者可以自比来完成了(参阅教材2.3).14.-圆环玳平板，内半径为r，外半径为忙齐侧面绝缘，如内圆温度保持0圮外圆温度保持1匕，试求稳恒状态下的温度分布规律U(rt

10、5).这是在环形区域内求解拉普拉斯方程第一边值问题与教材中2.4/的例子棚比城在的问題更简单些.由于在环形域内.0冬2叭所以应谏补充周期性条件a(r“十2?t)=zt(r这个条件用来确定特征價与特絶丽数-此外，因乃丢厂厂心山故不需票在r-0处添加自熊边界条杵因此，我们要求解问题1dj1dj1沪舛n7芥(厂芥)十尹丽二。uJ=fi0?uJ.j=1,tt(r,0t2ir)=讥厂，G),rjr厂2冬9农2w,0Mfl2k,厂1电丁电F令煮砒二经分离变量后碍窗J2=0,0?2心8+2n)=及WR十-dR=0,rLr),代入方程与所有的齐次边界条件可無比-赵二0,0rx(0)-0?(Y+丄丫二0,Cy-

11、+K利用边界条件知虫二0,即YD0记成入二沪，则得Y(y)=C补C加in矽.利用边界条件得彳H)的非零解兀1二逊为所UMU)的特征值为“0及兀二乍亡仏二匚2,)，特征函数为Yo二E,Y.三m-y(=1,2,-0-厶jprrtit厶-r)二仆护+此沪，左0.故fur绘氏TJ呂古0fur绘氏TJ呂古0il-5小管jn-Lr2T.0,0,0,0,利用叠加原理可碍原问题的評为,.y)匸口。工+肆hxoo5v再由条件(乂=加得Aj/-gfi+口詐h-y-HCQS尹,特Ay在沁飞上展成余弦的扁里叶缠数并比较系数得Ab孔二石.故原问题的解为、Ab)=厉,MK科7Tsh故原问题的解为、Ab)=厉,MK科7Ts

12、htco3iy.b白+y2血1广-空XwVsh平b需要菇出的是这里用来确定特征直的边界条件都是第二类的，故A=Q也星一个特征值I这一点一走要注盍，I.求方程g八T0满足边界条件盘丨，=0=卯卞i=OS5y的解这亍方程虽然是非齐次闕由于右端可厲对丈及丿稅分所處仍然可逋过直接积分禿获得“通解J然后利用边界条件确定两令任意函数,解这类问题应该注意两点；一是在对菽(或)进行积分时危加一个任意“常数所说的“常数，是就班或为而言的*故一般说来它应依赖于了(或北)，实际上是两牛任意函数；二是在利用定解条件确定任意函数时有可能合出现任意國数在某点的特定值这个值也是不知道的，但不必二且实际上也不可能求出耒，先保

13、留在式子里，最后会清掉例如，本题通过对方程积分得到通解u(xty)匕亠54+6(上几并利用条评得工=0)十L,即C2(j?)=x2-Cj(0).令/=1并利用条件得COSy=十+CJy+C?=*/十Ci(y)1-Cj(0),故Ci(y)=cos-1寸Ci(0),再把CKQ与代人讥丈)中就消去丁cfc(o).10,求下列Goursat13题的算:其中列。）=以。这塵所谄的Goufsat问题屋一个未渎及过的新何题，只有陂动方程才会谈到*它的提法与初懂冋题及籾边值问题都不同其磐点是定解為件中的已知数据是给在两条特征统上对这个方程而言，它的毬征线是const”特别是过原点有两条特征线=丄陸=-心图25

14、中阴黑部分是求牌的蛋域，越=越=o,eoT?0,0,2T2T2丿通过积分可得通解为鎖0q）=代）+g其中八g是任意函数，再代入边界条件得/U)土2L（自2L（自亠穴0）-皿）.越=越=o,eoT?0,0,越=越=o,eoT?0,0,/CO)=G0-(0)g0)冃$?(o)-fu).由此可得JP）+点0）=哼昨二讥。几因此最后可得霹-平.讥工，y）=-平.0,0,内就农和用第二格林公式得tcPV2lnpla山丄工内就农和用第二格林公式得tcPV2lnpla山丄工ptl在二维情况建立阖和函数,类似于公式（412）的积分表达式逑里所说的公式（4.12）就是*2.4.1小节中所讲殖调和函数的积分表达式

15、与三维情形的相同之处是,1都从第二格林公弍团发,2）基本解在点（心,旳）有奇性与三维情形的不同之处寵！在二维情形为了避开基本解的奇性，如图2,6在H内挖出一个取Mo（矶*小为中心、以e为半径的圆域耳.以R表示平曆上的一个区域，其边界为八以口表示位于G内的以A/。（工为圆心、以e为半径的圆其边界为匚令趾是心内的调和雷数，它在7T上是一次连绫可微的记r-In丄0,0,0,0,然后与三维情邮做一糕的处理，可得n(Mn)=n(Mn)=0,0,5.求证圆城F十弄的格林函数为并由此推岀圆内狄氏问题的洎松公式(2.36).1并由此推岀圆内狄氏问题的洎松公式(2.36).1由1N1!齐,尸叫M化rMjMJ0,

16、0,0,0,按頤定文，二维问按頤定文，二维问GCM.N)=Y-In-苴中七由-b在n内，Uv”心确定，SqM=d一工一巧)十ty-丿汀的楼林函数为为了求岀要求出调和函数巴对于圆形区域我$门黑用敎茁44中光于球域所用的方法饋像袪如图2工GMM話右端的是恥审关于圆周孑卫的反演点”即満足OM0OMi二戎?具中点O是圆域口的圆心丈尺是其半轻推导的细节与球域情形完全一样，请谀考自己完咸，记Og严刊QM严Q,OMHp,ZMO肱严儿由余弦定理得啲少7*用；+-城fcosy，0,0,由于图2.7i27PCDS7由于图2.7i20,0,0,0,In_V4+円討一2J?3otipcos/由此式再求出?G=_.l血

17、二*0=贞2ttRp：十疋2d-ffcosX若令厶OM-,Z.rOAf=则Y*-如.由ds=RdSt则得圆内耿氏问题的解为讥佝切）=貼齐皿鳥。严这就是（2.36）斯表示的泊松公式，武中孤巧是就氏问題的边挥数据.6.用格袜函数法求下列问题gI，=皆（忑），-00J：?5T?邸曲瓠（渤二?这里只要利用显合函数微分法及儿（=“人&匚即可得到答案.*刃匸小二？与上一题解祛类似.计算积分（1）卫山（工）壯；尼一人（心）Tjt1中的被积函数是幻江龙丸我们岌设迭利用递推关系将它化成可比直接戒出原函数的形式，由話左7n（）1二-卫-9中3可得刃；文）-加昭工）=-刃卄】（工）取?t-1,得喊細=人（工-姿鶴i

18、故rr|xJg（x）l兀=Jx（x）dx（x）djJ-注m+=-.VjCr）中C.（2）中披积函数为中的变量是叱，所以先要作变量代换令2啦撤护“丄（血）肛-陽孑小人3）山*&-再利用递推关系丁叽（丁1=TrJrj（T）读苦可旦把结果寫出来.18,.试解下列圆柱区域的边值问題虑圆柱内X.在慟柱健面凸二趴在下底d严趴在上底从仁，人=A.为解此題，先要注惹画点：一是区域的形状根踞这个形狀选哦适当的坐标系：二是定解问题中已知项的特点十其中包括方程的岂山项及定解条件.现在的求解置诫是圖柱形区域，Jt芈径为“高为乩所UI选圆柱坐标系比较方便！在这个坐标条中区城的边界方程只含有一个自变量，即变屋已经分离在柱

19、坐标家中A13/施八“1帀5|n边界条件宥三个：dp二山江L_o二：二儿方程的自由项及边界条件均5应无关严披可推知解昇也应与“无关于是所鉴求螂的定解问題为0,0,昇陰-*heV宀0NV从昇陰-*heV宀0壬-T?=m；tL从而所求的解为eheha剰下的问题是确定系数C由吐在匕底的条件得co.,_在弋上上展开的系数，即A=scsj,&4由）这说明Gh（牛）是人按”*|在弋上上展开的系数，即0,0,-0,f二a-0,f二a若方程换成非齐次的即右端的和分很容易计算、将由此所得的G代人解的表迭式即得所求的解运算的细节请读者自行完成.仅辭不列定解问题r）0M卩CL0,0,0,0,1靜口=-为常数）,0,

20、0,而所有定解臬件均为零,试求其能.这个定解问题描述了圆形薄鑽的振动，而且位移址与无关这毘包含两种情况，一种情况是膜不受外力夬振动悬由初始位林引起的；另一种橋况是掘动仅由一个定常的力引起的一（T齐次方稅的情形用分离变垦法令ej（p+B=R（.pT（t）代入方程得iQ人J的表达式”得将民代碍TriQ人J的表达式”得将民代碍Tr(/)=C；cos虽丄E+Dsin门5罟+RJ=-/32(0待定人1即r4xp2十p氏$bFr=o.第一个方思的通解是T（i）-Ccqsapt4-Csincpl,第二个疔程是零険贝塞尔方程，它的通斜为RS=D（i（傑）+口儿（和）由丨忖i_00,0,利用第17利用第17题中

21、所提示豹方法计算右端的积分再将所求得的C；代人泌0）的表达式即得解”（二）非疔次方程的情龙这时定解问题为十际#0,仇辺带以n十际#0,$3总r註二半tLt0.1-/r-.Op-=-R有两种方法求这个问题的解，第一个方法是特征函数法，即将解表示成肚（宀F）一X：州（上）几II然后代人定解问题确定具体步骤略.第二个方迭是谀法将方程化威齐次的，即令u（p?r）=2十Tv（p），讐+十帶“=jIIX-（O）I8阻（R）=0.创的方程可写成税分两次可得通解珂（严）一了+C|In卩4C?由点匚丸”再利用第二十条件得所以w（/）=y（Ji2-利用说（）可将原问题转化成Ld叭p亦i哲丨0,0,0,0,5-证明

22、几)=盂曰这也是勒让德多项式的一个遥堆公式要证明这个警式，只要先证明S)二卩：犖(宝S)二卩：犖(宝)+U+门匕“)j还逼利用罗德利克表这式1(771)!dp752ff+1HiI27TV!dx；?1尙翳齐fdrLl齐fdrLl1）十2曲（忑2l）一_J亠/(卫_左户一叮TOC o 1-5 h z2Bl(-1)!dLEJ了)EJ了)十丁(宀！尸+(a)!3-川Tj搐右端稍柞整理即可得所姜证的结论.&在半径为丄的球内.求调和函敷使J3cos241.所谓求.调和函数，就是求拉普拉斯方程g=0的解，在球面坐标系(九/%)中、f7G由于边界条件不依赖于刑所以0也应不依戟于艸于是要解下列边值问题代人方程R代人方程R即异皮亠2W-AR-为&H+ctg册+2=0.令1A匕讥氏+1),盂=Os&,farccosx)=f(x),则得(1-JT)士-2卫号尸亠探(r?4l)P=02ojc这是勒让德方程为了使解有界，所以在0内叭恒应育界洌P（r-i,l上应育界很据