最新第五章《平面向量》基础的测试题打印版

1、基础测试（一）选择题（第题4 分，共 24 分）1计算 ACDBCDBA 等于（）（A）0（B） 0（C）2 DB（D）2 AC【提示】AC DBCDBA （ ACCD ）（ DBBA ） ADDA0【答案】（B ）【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法2若向量 a （ 3， 2）， b （ 0， 1），则向量2 b a 的坐标是（）（ A ）（ 3， 4）（ B ）（ 3， 4）（ C）（ 3，4）（D ）（ 3， 4）【提示】 2 b a 2（ 0， 1）（3， 2）（3， 4）【答案】（D ）【点评】本题考查向量的坐标运算3下列各组向量中，共线的是（）A ） a

2、（ 2， 3）， b （ 4，6）B） a （ 1， 2）， b （ 7， 14）C） a （ 2，3）， b （ 3， 2）D） a （ 3， 2）， b （ 6， 4）【提示】若 a （ x，y）， b （ x2， y2），则 a 与 b 共线的充要条件是x1 y2 x2 y1 0这里（ 3）（ 4） 2 6 0故选（ D ）【答案】（D ）【点评】本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件对于（ A ），（ 2） 6 3 4 24 0，排除（ A）；对于（ B）， 1 14（ 2） 7 28 0，排除（ B）；对于（ C）， 2 23 3 5 0，排除（ C）4平面上有三个点A（ 1，3），

3、B（ 2，2），C（ 7，x），若 ABC 90， 则 x 的值为（）（A）5（B）6（C）7（D）8【提示】 ABC 90，即 AB BC ，因 AB （ 1， 1）， BC （ 5， x 2），得15（ 1）（ x 2） 0，解出 x 7【答案】（C）【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件5设 s、t 为非零实数，a 与 b 均为单位向量时，若|s a t b | |t a sb |，则 a 与 b 的夹角的大小为（）（A）30（B）45（C）60（D）90【提示】由 |s a t b | |t a sb |，得 s2 a 2 t2 b 2 2 st a b t2 a 2 s2

4、 b 2 2 st a b 又 a 、 b 均为单位向量，|a | 1，| b | 1，即 a 2 1， b 2 14 s t a b 0，有 | a | |b |cos 0，得 cos 0 90【答案】（D ）【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律6如图， D 、 C、 B 三点在地面同一条直线上，从C、D 两点测得A 点仰角分别为、，（），则 A 点距地面高度AB 等于（）（ A ） m sincos（B ）sin()（ C） m coscos（D ）sin()m sincoscos()m coscoscos()【提示】在 ACD 由正弦定理，得m sin，再在直角三角形中求 ABA

5、C sin s()【答案】（A ）【点评】本题主要考查应用正弦定理解三角形的有关知识（二）填空题（每题4 分，共 20 分）1已知向量a （ 1，2）， b （ 3， 1），那么向量2 a 1 b 的坐标是 _2【提示】2 a 1 b22（ 1， 2） 1 （ 3，1）2（ 2，4）（ 3 ， 1 ）22（2 3，4 1）22（ 1，31）22【答案】（ 1 ，3 1 ）22【点评】本题考查平面向量的坐标运算2已知 A（ 1， 2），B（ 2， 4）， C（4， 3）， D （ x ，1 ），若 AB 与 CD 共线，则 | BD | 的值等于 _【提示】由AB 与 CD 共线，先得x 10，

6、再求 | BD |的长【答案】73 【点评】本题考查向量的模、向量的坐标运算及向量共线的充要条件3已知点 P1（ 1， 2），P2（ 2，1），直线 P1P2 与 x 轴相交于点 P，则点 P 分 P1 P2所成的比的值为 _【提示】由直线 P1P2 与 x 轴相交于点 P，得点 P 的纵坐标为0，于是 0 21 ，即 21【答案】 2【点评】本题考查线段的定比分点的坐标公式4将点 A（ 2， 4）按向量 a （ 5， 2）平移后，所得到的对应点A的坐标是 _xxh【提示】由已知， x 2，y 4，h 5， k 2，代入平移公式y，得 xyk3， y 2【答案】（ 3， 2）【点评】本题考查点

7、的平移公式主要应分清平移前后点的坐标5在 ABC 中，已知a 2， b 22 ， c 6 2 则这个三角形的最小角的度数是_ 【提示】先由已知条件判断ABC 三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角由于 c b a，则 a 对的角 A 为最小利用余弦定理，得cos A b2c2a 22 bc( 22)2(62) 222222( 62 )3 ，2A 30【答案】 30【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题（三）解答题（每题14 分，共 56 分）1设平面三点A（1， 0），B（ 0，1）， C（ 2， 5）1）试求向量 2 AB AC 的模；2）试求向量 AB 与 AC

8、的夹角；3）试求与 BC 垂直的单位向量的坐标【提示】AB 、 AC 的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出 AB 、 AC 的坐标后， 可得 2 AB AC 的坐标，（ 1）可解，对于（2），可先求 AB、 AC 的值，代入ABAC，cos |AB| |AC|即可；对于（3），设所求向量的坐标为（x， y），根据题意，可得关于x、 y 的二元方程组，解出 x， y【答案】（ 1）AB （ 0 1， 10）（ 1， 1），AC （ 2 1，5 0）（ 1， 5）2 AB AC 2（ 1， 1）（ 1， 5）（ 1， 7）|2AB AC |(1)27250 （2） | AB |( 1)212 2

9、|AC | 125226 ，AB AC （ 1） 1 1 54 cosABAC42 13|AB|AC|22613（ 3）设所求向量为m （ x， y），则x2 y2 1又 BC （ 2 0，5 1）（ 2， 4），由 BC m ，得2 x 4 y 0 x2 5x 2 5由、，得5或5y5 y5 55（25， 5）或（ 2 5， 5）即为所求5555【点评】本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积， 向量垂直的充要条件以及运算能力2如图，已知AB DC a ， BC b ，且 | a | | b |1）用 a ， b 表示 AD ， AO ， OB ；2）求 AC BD 【提示】由 AB

10、DC ，可判定四边形 ABCD 为平行四边形，于是利用平行四边形的性质可求 AD，AO，OB 又 AC ABBCBD AD AB，ADBC利用数量积的运算性质及已知条件|a | | b |可求ACBD【答案】1） ABDC ，四边形 ABCD 为平行四边形AD BC b AC AB BC a b ， BD AD AB b a ，而 AO1 AC，OB 1 BD，22AO 1 a 1 b ， OB 1 a 1 b 22222） AC a b ， BD b a ，AC BD （ b a ）（ b a ）b 2 a 2|b |2 | a |20【点评】本题考查平面向量的加减法，基本定理、 数量积及运

11、算律解题时注意结合平面图形的几何特征，寻求向量之间的联系由题目的条件及结论可知，四边形ABCD为菱形3一只船按照北偏西30方向，以36 海里 / 小时的速度航行，一灯塔M 在船北偏东15，经 40 分钟后，灯塔在船北偏东 45求船与灯塔原来的距离【提示】先画船航行的示意图， 将题目的已知条件分别与三角形内的边、 角对应起来， 从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决【答案】如图，设船原来的位置为A， 40 分钟后的位置为B，则 AB 36 2 24（海里）3在 ABM 中， BAM 30 15 45ABM 180（ 45 30） 105，AMB180（ ABM BAM） 30由正

12、弦定理，得AM ABsin ABMsinAMB24sin 105sin30 12（2 6 ）（海里）答：船与灯塔原来的距离为12（2 6 ）海里【点评】本题考查解斜三角形的应用问题关键是画出示意图（这里必须弄清方位角的概念），建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题4在 ABCD 中，对角线 AC 65 ，BD 17 ，周长为 18，求这个平行四边形的面积【提示一】要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角由周长为18，知两条邻边的和为 9，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角【提示二】在 AOB 和 BOC 中利用余弦定理求解【解法一】如图，在 ABCD 中，设 A

13、B x，则 BC 9x，在 ABC 中，据余弦定理，得AC2 AB2 BC2 2 AB BC cos ABC在 ABD 中，据余弦定理，得BD2 AB2 AD 22 AB AD cos DAB 由已知AC 65 ，BD 17 ， DAB ABC 180， BC AD故角65 x 2 (9 x) 2 2 AB BC cos ABC，17 x 2 （ 9 x 2） 2 AB BC cos ABC，二式相加，得82 4 x2 36 x 162即 x2 9 x 20 0解得x 4，或 x 5，在 ADB 中，由余弦定理，得AD2AB2BD2cos DAB 2AD AB42 52 172 4 53 5s

14、in DAB 4 5sin ABCD AB AD sin DAB45 4516【解法二】在AOB 和 BOC 中，由余弦定理，得2222 OA OB cos AOB，AB OA OBBC2 OC2 OB2 2 OC OB cos BOC，可设ABx，则 BC 9 x，而OA OC 1AC， OB 1BD ， AOB BOC 180，22代入后化简，可求得 4 或 x 5在 ADB 中，由余弦定理，得AD2AB2BD2cos DAB 2AD AB42 52 172 4 53 5sin DAB 4 5sin ABCD AB AD sin DAB45 4516【点评】本题考查余弦定理的灵活运用3如图

15、，某观测站C 在城 A 的南偏西20方向上，从城A 出发有一条出路，走向是南偏东 40，在千米后到达C 处测得距D 处测得C 处 31 千米的公路上的B 处有一人正沿着公路向城CD 21 千米，这时此人距城A 多少千米A 走去走20【提示】要求 AD 的长，在 ACD 中，应用正弦定理，只需求ACD ，而 CDB 是 ACD 的一个外角， CAD 已知，故只需求CDB，在 CDB 中，已知两边，可利用余弦定理求角【答案】由已知，在CDB 中， CD 21，DB 20， BC 31，据余弦定理，有cos CDBCD 2DB 2BC2172CD DBsin CDB 1cos2 CDB 43 7在

16、ACD 中， CAD20 40 60，ACD CDB CAD CDB 60sin ACD sin（ CDB 60）sin CDB cos 60 cos CDB sin 60 43 1（ 1）372725 3 14由正弦定理，得CDAD sin ACD 15（千米）sinCAD答：此人距A 城15 千米【点评】本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决4已知平面向量a （ 7，9），若向量 x 、 y 满足 2 x y a ， x y ，| x | | y |，求 x 、的

17、坐标【提示】设 x （ x1，x2）， y （ y1，y2），由已知，可以得到含有x1，x2，y1，y2 的四个关系式，建立方程组，解之即可【答案】设 x （ x1，x2）， y （ y1，y2）由 2 x y a ，得2（ x1， x2）（ y1 ，y2）（ 7， 9），2x1y17(1)即2x2y29(2)由 x y ，得 x1y1 x2y2 0由 | x | | y |，得x12 x22y12 y22 0将（ 1）式化为y17 2 x1，（ 2）式化为y2 9 2 x2，代入式，得x1 （7 2 x1） x2（ 92 x2） 0，即2（ x1 2 x22） 7 x19 x2，代入式，得x

18、1 2 x22 (7 2 x1) 2 (9 2 x2) 2，即3（ x1 2 x22） 28 x1 36 x2 130由、，得x12x22267 x19x252 x123x115解之得，或x211x255分别代入（1）、（ 2），得11y1y155 或123y2y25x （ 23 ， 11 ）， y （ 11 ， 23 ）5555或 x （ 1， 5）， y （ 5， 1）即为所求【点评】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，两点间距离公式及运算能力赠送以下资料六年级分数除法单元测试题班级：姓名：得分：一、选择题（ 24 分）1 、a、b、c 都是不为 0 的自然数，如果a5/2 b5 /3c，那么（）最大。AaBb