专题4-10-导数大题（双变量与极值点偏移问题2）-高三数学一轮复习精讲精练

1、专题4.10导数大题（双变量与极值点偏移问题2）1已知函数有两个极值点、（）求实数的取值范围；（）求证：；（）若，求的最大值（）解：函数的定义域为，因为有两个极值点、，故有两个解、，令，则，所以两个不同的正根，则有，且，解得，故的取值范围是；（）证明：由（）知，不妨设时，则函数在和，上递增，在，上递减，因为，所以，故，则，故只要证，设，则，所以函数在上递增，在上递减，故（4），故；（）解：根据韦达定理，可得，所以，所以，因为，则令，设，其中，则，所以函数在区间，上单调递减，故当时，（3），所以的最大值是2已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若存在两个零点，求的取值范围，并证明解：（1）

2、当时，则，令，则，在单调递增，又，故存在唯一，使得，即，且当时，当，时，在单调递减，在，单调递增，；（2），当时，在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；当时，当时，单调递减，当时，在上单调递增，则，解得，注意此时，当时，此时，则在和分别存在一个零点；当时，设（a），则（a），（a），（a）在单调递增，则（a），（a）在单调递减，则（a），即，此时，则在和分别存在一个零点；综上，若有两个零点，则的取值范围为；下证明，不妨设，由得，两式相减得，两式相加得，要证，只需证，即证，令，则，在，单调递增，则（1），又，故等号不成立，即得证3已知函数（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点

3、，且，求的最大值解：（1）函数的定义域为，当时，恒成立，在上单调递增；当时，令，则，设，则，易知，当时，单调递减，当时，单调递增，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增；（2）依题意，则，两式相除得，设，则，设，则，设，则，在单调递增，则（1），则在单调递增，又，即，（3），即的最大值为34定义在上的函数在处取到极小值，（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）令，若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）解：（1）因为，所以因为函数在处取到极小值，所以（2），解得此时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取到极小值所以符合题意，即若对任意的，不等式恒成立

4、，即恒成立令，则，令，则恒成立，所以在，上单调递增，则（1），即在，上恒成立所以在，上为减函数，（1），故实数的取值范围为证明：（2）由（1）得，因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以方程的两个根为，则，两式相减得，又，则下证：，即证明，令，因为，所以，即证明在时恒成立，因为恒成立，所以在是增函数，则（1），从而明，故成立，故可得5已知函数，为的导函数（1）设，讨论函数的单调性；（2）若点，均在函数的图象上，设直线的斜率为，证明：（1）解：，则，当，即时，恒成立，在上单调递增；当，即时，由，可得，当时，当，所以在上单调递增，在，上单调递减综上可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减（2）证明：，由题意可得，要证，只要证，因为，故只要证，令，则只需证，令，则，所以在上单调递增，所以（1），即，令，所以在上单调递减，所以（1），即，综上，即6已知函数（1）证明：函数在内存在唯一零点；（2）若函数有两个不同零点，且，当最小时，求此时的值（1）证明：函数，则，因为，所以，则在上单调递减，又，且函数的图象不间断，故函数在内存在唯一零点；（2）解：由题意可知，所以，令，所以，则有，令，则，令，则，所以在上单调递增，则，故在上单调递增，要求的最小值，即求的最小值，令，则，令，则，所