【高考数学】与球有关的截面问题

1、与球有关的截面问题【典例精讲】典例1已知三棱锥PABC的棱AP，AB，AC两两垂直，且长度都为eq r(3)，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于()A3 B.eq f(3,2)C.eq f(4,3) D.eq f(5,6)解析如图所示，由题意知RtPAC，RtPAB为等腰直角三角形，且APABACeq r(3).以顶点P为球心，2为半径作一个球，设球P与RtPAC的边PC，AC分别交于点M，N，与AB，PB分别交于点H，G，易得cosAPNeq f(r(3),2)，所以APNeq f(,6)，ANAPtaneq f(,6)1，所以NPMeq

2、f(,12)，所以弧MN的长leq o(MN,sup8()eq f(,12)2eq f(,6).同理leq o(GH,sup8()eq f(,6)，易知AHAN1，则leq o(HN,sup8()eq f(,2)1eq f(,2).又易知弧GM的长是以顶点P为圆心，2为半径的圆的周长的eq f(1,6)，所以leq o(GM,sup8()eq f(22,6)eq f(2,3)，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于eq f(,6)eq f(,6)eq f(,2)eq f(2,3)eq f(9,6)eq f(3,2).故选B.答案B小结求解本题的难点在于准确确定球与各个面的交线，

3、依据球的几何特征确定球面与四棱锥各个面的交线后，准确求出弧所在圆的半径和弧所对圆心角即可，考查了直观想象这一核心素养典例2(2020新高考全国卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，BAD60.以D1为球心，eq r(5)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为_【解析】如图，连接B1D1，易知B1C1D1为正三角形，所以B1D1C1D12.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得D1GD1Heq r(2212)eq r(5)，D1MB1C1，且D1Meq r(3).由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点在侧面BCC1B1内任取一

4、点P，使MPeq r(2)，连接D1P，则D1Peq r(D1M2MP2)eq r(（r(3)）2（r(2)）2)eq r(5)，连接MG，MH，易得MGMHeq r(2)，故可知以M为圆心，eq r(2)为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线由B1MGC1MH45知GMH90，所以eq o(GH,sup8()的长为eq f(1,4)2eq r(2)eq f(r(2),2).【变式练习】1某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4eq r(3)的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4，则

5、该球的半径是()A2 B4C2eq r(6) D4eq r(6)解析：选B设截面圆半径为r，则有2r4，所以r2.由题意知，球的球心为正方体的中心，设球的半径为R，则R2(2eq r(3)22216，所以R4，故选B.2在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABAC，AB6，AC8，D是线段AC上一点，且AD3DC.三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16，则球O的表面积为()A72 B86C112 D128解析：选C将三棱锥PABC补成直三棱柱，如图所示，则三棱锥PABC和该直三棱柱的外接球都是球O，设三角形ABC的中心为O1，球O的半径为R，PA2x，连接OO1，则球心O到平面ABC的距离为x，即OO1x，连接O1A，OA，则O1A5，所以OA2OOeq oal(2,1)O1A2，即R2x225.在ABC中，取AC的中点E，连接O1D，O1E，则O1Eeq f(1,2)AB3，O1EAB，DEeq f(1,4)AC2，所以O1Deq r(13).连接OD，在RtOO1D中，ODeq r(x213)，由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面圆面积最小，设此时截面圆的半