复变函数精品课件

1、复变函数第1页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二复变基础 函数 极限 解析 研究对象 研究方法 研究桥梁第2页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二第三节 复变函数第二节 复平面上的点集第一节 复数运算及几何表示第一章复数及复变函数第3页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二第一章、复数及复变函数第一节 复数 1、复数域 2、复平面 3、复球面与无穷大MathSNNU第4页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二 复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任 意的实数，i是虚数单位( 的平方根）. x和y分

2、别称为的实部和虚部，分别记作： 注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等. 如果Imz=0，则z可以看成一个实数； 如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数； 如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.复数域: 1. 复数第5页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二 2.复数的四则运算复数的四则运算定义为： 全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域.记为C，复数域可以看成实数域的扩张.注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.第6页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+

3、(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，第7页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二共轭复数的性质3. 共轭复数 定义 若z=x+iy , 称z=xiy 为z 的共轭复数.(conjugate)第8页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二复平面1. 复平面的定义第9页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二2. 复数的模(或绝对值)显然下列各式成立第10页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二3. 复数

4、的辐角说明辐角不确定.第11页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二辐角主值的定义:第12页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式欧拉介绍4.复数的三角表示和指数表示第13页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为第14页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二指数表示式为故三角表示式为指数表示式为第15页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二故三角表

5、示式为指数表示式为第16页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例2解(三角式)(指数式)第17页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二5. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.第18页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二6. 复数和差的模的性质第19页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二7.基本不等式:关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：第20页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例3证第21页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二

6、两边同时开方得三角形两边之和大于第三边！第22页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例4证第23页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二两边平方, 并化简得 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.第24页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例5试用复数表示圆的方程:其中，a,b,c,d是实常数。解：利用第25页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二8.乘积与商定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等

7、于它们的辐角的和.证第26页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.从几何上看, 两复数对应的向量分别为证毕第27页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义, 证毕第28页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二第29页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例6解第30页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二第31页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二

8、9.幂与根1. n次幂:第32页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二棣莫佛公式推导过程如下:2.棣莫佛公式第33页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二根据棣莫佛公式, 第34页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 第35页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二从几何上看, 第36页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 第37页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二从几何上看, 第38页，共49

9、页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例7解第39页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二即第40页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二例8解即第41页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二第42页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二小结 本课学习了复数的有关概念、性质及其运算. 重点掌握复数的表示与运算(等式与不等式运算), 它是本节课的重点.第43页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二复球面与无穷大:0N第44页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二x1x2x3oz(

10、x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作.这样的球面称作复球面.第45页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义：第46页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二扩充复数域-引进一个“新”的数: 扩充复平面-引进一个“理想点”: 无穷远点 .第47页，共49页，2022年，5月20日，13点11分，星期二小结 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复数域、复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与