《大学物理学》课件第二章 质点动力学

1、第二章 质点动力学22.1 牛顿运动定律2.2 动能定理 机械能守恒定律2.3 动量定理 动量守恒定律32.1 牛顿运动定律 1. 牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。惯性和力的概念 如物体在一参考系中所受合外力为零时，而保持静止或匀速直线运动状态，这个参考系就称为惯性参考系，简称惯性系。一、牛顿运动定律（Newtons law of motion）4 2. 牛顿第二定律 物体受到外力时，它获得的加速度的大小与物体所受的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。只适用于质点在惯性系中低速运动(vc)。力是产生

2、加速度的原因；质量是惯性大小的量度。5特性 合外力和加速度之间有瞬时性关系；力的叠加原理（力的独立性原理）矢量性分量式：6 3. 牛顿第三定律 两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反并在同一条直线上。12作用力与反作用力分别作用在不同物体上，同时存在，同时消失。它们是同一性质的力。7 4. 力学相对性原理 相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系。 在不同惯性系中，牛顿运动定律都具有相同的形式，与惯性系的运动无关，这就是力学相对性原理或伽利略相对性原理（Galilean Principle of Relativity）。8二、 牛顿运动定律的应用 1. 问题分类运动情况受

3、力情况；受力情况运动情况；部分运动、受力情况其余运动、受力情况。 2. 解题基本步骤确定研究对象隔离物体受力分析建立坐标系列方程解方程结果讨论9例2.1 求图所示物体组的加速度及绳子的张力。已知斜面夹角为30，物体 A 的质量为 3m ，物体 B 的质量为 m ，绳子不可伸长，绳子与滑轮的质量及所有摩擦力均不计。BA10BA解：分别对A、B进行受力分析mA gmB gTATBNxy由牛顿运动定律，有且有解得A向上滑的条件？ 11例2.2 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端固定，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球可在水平面内绕竖直轴作角速度为的匀速率圆周运动，求：绳与竖直方向的夹角 。lr

4、O解：对小球受力分析，则有mgT法向：竖直方向：解得 周期=？ 12例2.3 摩托艇在水面上以速度 作匀速运动。当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成正比。求关闭发动机后任意时刻摩托艇的速度与位置。解：设摩托艇受阻力为则有解得xf即两边积分O13由得OtOtx14例2.4 弹簧的一端固定，另一端连结一质量为 m 的小球，小球可在竖直方向振动。已知小球受到的弹性力为 F = -ky ，其中 k 为弹簧的劲度系数，y 为小球离弹簧原长端点处的位移。设小球在位移为 A 时从静止开始运动，求小球在任意位置时的速率 。15解：对小球受力分析，并建立坐标ymgFO则有A由移项并积分，得解得当kA=mg?

5、 16例2.5 长为 l 的轻绳，一端固定在 O 点，另一端系质量为 m 的小球。开始时小球处于最低位置并获得初速率 ，它将在竖直平面内摆动。求小球在任意位置的速率及绳的张力。解：对小球受力分析，则有法向：切向：lOTmg17解得由代入式得两边积分得代入式得小球圆周运动的条件?182.2 动能定理 机械能守恒定律力的累积效应力对空间的累积力对时间的累积动能定理、动能、功、机械能守恒动量定理、动量、冲量、动量守恒牛顿运动定律给出了力和加速度的瞬时关系，即力和运动状态变化的微分关系。力作用一段时间（空间）后，会有什么效果呢？19一、功与功率 1. 功(work)力的空间累积恒力做功变力做功AB20

6、注意 合力的功等于各个分力的功的代数和功是过程量，与质点运动的轨迹有关 功有正、负 q 0=90 dW = 090 dW 021例2.6 质量为 m 的质点沿曲线从 a 点运动到 b 点，已知 a 点离地面的高度为 ，b 点离地面的高度为 ，求此过程中重力对质点的做功。解：重力重力做功Oyab重力做功只与质点的始末位置有关，与运动路径无关。重力是保守力。22例2.7 光滑水平面上质量为 m 的质点与劲度系数为 k 的轻弹簧相连，弹簧的另一端固定，求：质点沿着弹簧方向从 a 点运动到 b 点的过程中弹性力所作的功。已知 a 点离平衡位置的位移为 ，b 点离平衡位置的位移为 。解：弹性力弹性力做功

7、弹性力做功只与质点的始末位置有关，与运动路径无关。弹性力是保守力。23例2.8 摩托艇在水面上以速度 作匀速运动。当关闭发动机后，它受到的水的阻力与速率成正比。求：关闭发动机后，摩托艇行走距离 x 时阻力所作的功。解：阻力又有整理并积分得24阻力做功做功 = 末动能 - 初动能252. 功率(power)描述做功的快慢平均功率瞬时功率功率的单位：瓦特（W）1W = 1 J s-126二、保守力与非保守力 势能 1. 保守力（conservative force）与非保守力 力的做功与质点运动的路径无关，仅由质点的始末位置确定，此力即为保守力。常见的保守力有：重力、弹性力、万有引力、静电场力等。

8、保守力沿任意闭合路径 l 的线积分为零。27例2.10 证明万有引力是保守力。解：万有引力drmMab元功又有做功万有引力做功只与始末位置有关，是保守力。28 2. 势能（potential energy）由于各物体间存在相互作用而具有的、由各物体间相对位置决定的能叫势能，又称作位能，记为Ep。保守力做功等于其相应势能的减少量。势能计算：，其中力学中常见的三种势能：势能增量29讨论势能是状态量，是位置（状态）的单值函数，Ep = Ep ( x, y, z ) 。势能具有相对性，与势能零点的选择有关。势能差是绝对的，与势能零点的选择无关。 势能是属于系统的，确定势能值的“位置”是指系统内物体间的

9、相对位置。 30 3. 保守力与势能函数的关系保守力在某一给定方向上的分量等于相应的势能函数在该方向的空间变化率的负值。质点在某点所受的保守力等于该点处的势能梯度的负值。31 4. 势能曲线OyEpOxEpOrEp32三、动能定理 功能原理 1. 质点的动能定理 ab合外力对质点所做的功 33合外力对质点所做的功，等于质点动能的增量。质点的动能定理功是过程量，动能(kinetic energy)是状态量。 动能定理只适用于质点和惯性系。 功和动能依赖于惯性系的选择，但对于不同惯性系，动能定理形式不变。 34例2.11 弹簧的一端固定，另一端连结一质量为 m 的小球，小球可在竖直方向振动。已知小

10、球受到的弹性力为 f = -ky ，其中 k 为弹簧的劲度系数，y 为小球离开弹簧原长端点处的位移。设小球在位移为 A 时从静止开始运动，求小球在任意位置时的速率 。（用动能定理求解）35解：小球所受合外力ymgfOA合外力做功解得由动能定理36例2.12 质量为 m 的物体从静止开始由 A 点沿四分之一圆弧轨道下滑到 B 点，速率为 。设圆弧半径为 R ，求：物体从 A 点到 B 点下滑过程中，轨道摩擦力对物体所作的功。（用动能定理求解）解：合力做功ABRNfG其中所以37 2. 质点系的动能定理 对于质点 i，合力做的功 对于质点系，有 即 38作用于质点系的所有内力和外力所做的总功，等于

11、该质点系总动能的增量。质点系的动能定理内力总是成对出现的。 当两质点间没有相对位移时，这对内力做功之和为零，否则不为零。 内力可以改变质点系的动能。 39 3. 质点系的功能原理 保守内力非保守内力又有所以即内力质点系非保守内力和外力做功之和等于系统总机械能的增量。质点系的功能原理40例2.13 有一弹簧振子放在水平桌面上，物体的质量为 m ，弹簧的劲度系数为 k ，物体与桌面的摩擦因数为 。当物体在平衡位置 O 时，给以向右的速度 ，则物体向右的最大位移为 。求：物体的初速度的大小；物体到达最大位移之前，位移为 x 时的速度大小。xOxx041解： 将物体与弹簧组成系统x = 0 x0，摩擦

12、力（外力）做功由功能原理解得 x = 0 x，摩擦力做功由功能原理解得42四、机械能守恒定律 能量守恒定律 1. 机械能守恒定律当时，有只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变。机械能守恒定律机械能守恒下，动能与势能可以相互转换43例2.14 弹簧的一端固定，另一端连结一质量为 m 的小球，小球可在竖直方向振动。已知小球受到的弹性力为 f = -ky ，其中 k 为弹簧的劲度系数，y 为小球离开弹簧原长端点处的位移。设小球在位移为 A 时从静止开始运动，求小球在任意位置时的速率 。（用机械能守恒定律求解）44解：小球、弹簧、地球组成系统，ymgfOA弹力、重力为保守内力，系统的机械能守

13、恒。解得选取弹簧原长处为弹性势能、重力势能零点，则有45 2. 能量守恒定律对于一个与外界无相互作用的孤立系统来说，系统内各种形式的能量是可以互相转换的，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭，它只能从一种形式转换为另一种形式，或从系统内一个物体传递给另一个物体。 能量守恒定律能量守恒定律是物理学中普遍适用的基本定律之一。462.3 动量定理 动量守恒定律力的累积效应力对空间的累积力对时间的累积动能定理、动能、功、机械能守恒动量定理、动量、冲量、动量守恒47一、质点的动量定理 1. 动量(momentum)、冲量(impulse)动量冲量状态量矢量，方向同速度方向过程量矢量48 2. 质

14、点的动量定理由牛顿第二定律在给定时间间隔内，合外力作用在质点上的冲量，等于质点在这段时间内动量的增量。 质点的动量定理 49注意动量定理是矢量式，冲量的方向同动量增量的方向。冲量是过程量，动量是状态量。 平均冲力分量式说明某方向受到冲量，该方向的动量就会增加 50例2.16 质量为 M = 3103 kg 的重锤从高度为 h = 1.5 m 处自由落到受锻压的工件上。如果作用时间分别为 0.1 s 和 0.01 s，求重锤对工件的平均冲力。解：重锤撞击前的动量重锤受到合力的冲量OyhMg51工件对重锤的平均冲力重锤对工件的平均冲力大小等于工件对重锤的平均冲力大小，方向竖直向下。动量增量一定时，

15、作用时间越短，冲力越大。52例2.17 质量为 m = 0.2 kg 的小球以 v0 = 8 m.s-1 的初速度沿与地面法线成 = 30角的方向射向水平地面，然后以同样角度弹起。碰撞时间为t = 0.01 s。设地面光滑，求小球对地面的平均冲力。解：小球撞击前的动量小球撞击后的动量mg53小球受到的冲量 地面对小球的平均冲力小球对地面的平均冲力大小等于地面对小球的平均冲力大小，方向竖直向下。54二、质点系的动量定理 对每个质点，应用动量定理 55作用于质点系的合外力的总冲量等于系统总动量的增量。质点系的动量定理是矢量式，可以写出相应的分量式。合外力是指系统内所有质点所受到的外力的矢量和。内力

16、不会影响整个系统的总动量，但内力可以改变系统内单个质点的动量。56例2.18 一辆装矿砂的车厢以 v = 4 m.s-1 的速率水平匀速前进，漏斗中的矿砂以 k = 2000 kg.s-1 的卸砂量下落到车厢中。求车厢的牵引力（忽略车厢与地面间的摩擦力）。vFM+m解：将车厢 M、矿砂 m 和新增的矿砂 组成系统，质点系的动量定理在水平方向的分量式为车厢的牵引力57三、动量守恒定律 1. 动量守恒定律当 时，有 当质点系所受的合外力矢量和为零时，质点系的总动量保持不变。动量守恒定律系统总动量不变，但系统内各物体的动量是可变的。58系统所受的合外力在某方向上的分量为零时，系统的总动量在该方向上的

17、分量仍然是守恒的。当 时，有 动量守恒定律是自然界的普遍规律，是物理学中最基本的定律之一。守恒条件： ，当可近似看成系统总动量守恒。动量守恒定律和动量定理只适用于惯性系中。59例2.19 质量为 m 的炮弹在抛物线轨道最高点炸成 A 和 B 两块，A 的质量为 mA = m/3，爆炸前瞬间炮弹的速率为 v0。 若爆炸后 A 以速率 2v0 竖直向上运动，求另一块 B 的速度。 若爆炸后 A 沿原来轨道返回抛出点，求另一块 B 的速度。解：A、B组成的系统，动量守恒 v0 xy60解得 所以 所以 61例2.20 质量为 M 的大木块具有光滑的半径为 R 的四分之一圆弧曲面，放在光滑的水平面上。

18、质量为 m 的小球从曲面顶端由静止滑下，求：小球脱离大木块时，小球和木块的速度。ORmM解：木块、小球组成的系统，在水平方向上动量守恒只有重力做功，机械能守恒 62解得 为什么不需考虑木块对小球的支持力（非保守内力）所做的功？支持力对木块做正功，对小球做负功，总功为零。63 2. 碰撞(collision)当两个物体相互靠近或发生接触时，在很短的时间内发生强烈的相互作用正碰（对心碰撞）斜碰（非对心碰撞）根据碰撞的速度方向根据前后能量的变化完全弹性碰撞非弹性碰撞完全非弹性碰撞64 完全弹性碰撞 动量守恒、机械能守恒（以两物体碰撞为例） 非弹性碰撞 动量守恒、机械能不守恒 65 完全非弹性碰撞 碰

19、撞后两物体“粘”在一起以相同的速度运动。动量守恒、机械能不守恒（损失最大）恢复系数 e=1 完全弹性碰撞(0, 1) 非弹性碰撞=0 完全非弹性碰撞66例2.21 设对心碰撞的两球质量分别为 m1 和 m2 ，两球碰撞前的速度分别为 v10 和 v20 。求完全弹性碰撞后两球的速度 v1 和 v2 。解：两球组成的系统动量守恒、机械能守恒 整理得 67得 即 联立、得 第一章 质点运动学691.1 参考系 坐标系 质点1.2 质点运动的描述1.3 圆周运动1.4 相对运动701.1 参考系 坐标系 质点一、参考系 坐标系 运动的绝对性 运动的相对性 1. 运动的绝对性与相对性71 2. 参考系

20、与坐标系( x, y, z )xyzO直角坐标系以篮板为参考系，并以篮板左下角为坐标原点建立直角坐标系。72 2. 参考系与坐标系( x, y, z )xyzO直角坐标系以篮板为参考系，并以篮板左下角为坐标原点建立直角坐标系。73二、质点 只有质量而没有大小和形状的几何点公转自转地球能否看成质点？D太地1.5108 kmR地6.4103 km741.2 质点运动的描述一、位置矢量 运动方程 1. 位置矢量（位矢）OxyzP ( x, y, z )在直角坐标系 Oxyz 中，位矢的大小描述质点某一瞬时的位置75位矢的方向余弦OxyzP ( x, y, z )abg方向余弦的关系：76 2. 运动

21、方程描述质点任意时刻的位置质点运动，位矢随时间变化分量式消去时间 t 即可得轨道方程Oxyz77以平抛运动为例xyO质点的轨道方程为质点的运动方程为78二、位移 描述质点一段时间内的位置变化OxyzBA质点在 t = t2 t1 时间间隔内，位矢改变了在直角坐标系中，其中79位移的大小位矢大小的增量80位移与位矢的区别位矢位移物理意义描述质点某一瞬时的位置，是描述运动状态的物理量。描述质点在一段时间间隔内的位置变化，是描述运动过程的物理量。决定因素与坐标原点的选取有关。与坐标原点无关，但与参考系有关。81位移与路程的区别路程 是标量。反映在t 时间内，质点实际走过的轨道长度。位移 是矢量。反映

22、在t 时间内，质点位置的变化，不关心中间过程。OxyzAB当t 0 时，一般情况下，82三、速度 OxyzAB描述质点一段时间 t 内位置变化的快慢及方向 1. 平均速度大小：方向同位矢增量 一致83 2. 瞬时速度（速度）Oxyz方向沿着 t 时刻质点所在处的轨道切线方向。描述质点某一瞬时位置变化趋势的快慢及方向84 3. 速度的大小（速率）在直角坐标系中，由运动方程对时间求导即可得速度方程。*平均速率85例1.1 已知质点的运动方程为 x = t + 2， y = t 2 / 4 + 2， 求： 质点运动的轨道方程，任意时刻的位置矢量； t = 0到4 s内的位移、平均速度； t = 2

23、s时的速度。解： 消去 t轨道方程：位矢：86 t = 0 时，1Ox(m)1y(m) t = 4 s 时， 位移： 平均速度：871Ox(m)1y(m) 运动方程对时间求导： t = 2 s 时，88四、加速度 OxyzAB描述质点一段时间t 内速度变化的快慢及方向 1. 平均加速度大小：方向同速度增量 一致89 2. 瞬时加速度（加速度）Oxyz方向指向 t 时刻质点所在处的轨道曲线凹的一侧。描述质点某一瞬时速度变化趋势的快慢及方向qq90速率减小90 3. 加速度的大小在直角坐标系中，由速度方程对时间求导即可得加速度方程。一维直线运动情况下，91例1.2 已知质点的运动方程为 x = t

24、 2+ 2， y = t 3 / 6 ， 求： t = 2 s时的速度、加速度。解：由运动方程对 t 求导得速度方程：再对 t 求导得加速度方程：92t =2s 时的速度和加速度：1Ox(m)1y(m)x = t 2 + 2y = t 3 / 693五、质点运动学的两类基本问题 1. 第一类基本问题：已知运动方程，求速度或加速度。 2. 第二类基本问题：已知加速度或速度及初始条件，求速度或运动方程。积分求导求导积分94例1.3 已知质点的运动方程为 ， 其中R 、为常数。求： 质点运动的轨道方程； 质点的速度和加速度 。解： 由运动方程的分量式消去 t ，得轨道方程：ROxy95运动方程对 t

25、 求导得速度方程：速度方程对 t 求导得加速度方程：ROxy速率： ，方向沿轨道切向。加速度大小： ，方向指向圆心。96例1.4 已知质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速度不随时间变化，初始时刻质点位置为x0 ，初速度为0 。求： 质点运动的速度； 质点运动的运动方程 。解： 一维直线运动中，两边积分：得：97 一维直线运动中，两边积分：得：98例1.5 质点在X-Y平面内以初速度 作斜上抛运动， 与水平方向的夹角为。求：质点的运动方程 。解：质点的加速度为两边积分：得：（ 为常矢量）分量式：Oxy由99两边积分：得：分量式：由100例1.6 有一个小球在某液体中竖直下落，已知其初速度数值为0 ,其加速度数值与速度大小成正比，加速度方向与运动方向相反，求：任意时刻小球所处的位置。解：令小球的加速度为移项并积分：得：Oy由101两边积分：得：由OtOty1021.3 圆周运动一、圆周运动的角量描述 1. 平面极坐标系与直角坐标系Oxy103 2. 圆周运动的角