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文档简介

1、第十三章函数列与函数项级数13.1 一致收敛性一 点态收敛二 函数项级数（或函数序列）的基本问题三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性四 一致收敛性判别 五 小结问题的提出问题:（一）函数项级数的一般概念1.定义:一 点态收敛现在我们将级数的概念从数推广到函数上去.函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:(定义域是?)解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.4.函数项级数与其部分和在本质上是完全一致的。二 函数项级数（或函数序列）的基本问题1.极限运算与无限求和运算交换次序问题2.求导运算与无限求和运算交换次序问题3.极限运算与

2、无限求和运算交换次序问题1.函数列及其一致收敛性 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性2.函数项级数的一致收敛性定义xyo几何解释:例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意一个自然数(1,1)1小结一致收敛性与所讨论的区间有关三一致收敛性判别 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则） 2.一致收敛的柯西准则1用定义 由上确界的定义，亦有 定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 定理13.5（Weierstrass判别法）4.一致收敛性简便的判别法：证例4证明级数证（2）由此判别法所得结果是绝对一致收敛的. 5.五、小结点态收敛函数项级数（或函数序列）的基本问题一致收敛

3、性判别 函数项级数（或函数列）的一致收敛性13.2 一致收敛函数列与 函数项级数级数的性质一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质一. 一致收敛函数列的解析性质 1 函数及限与序列极限交换定理2.连续性定理 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项 註 定理表明: 对于各项都连续且一致收敛 即极限次序可换 . 3. 可积性定理 4. 可微性定理 （ 对第二项交换极限与积分次序） 亦即求导运算与极限运算次序可换. 二 函数项级数的性质1.逐项求极限定理2.连续性定理定理13.12证(1)(2)同样有(3)由(1)、(2)、(3)可见,定理13.13(4)3.逐项求积定理证根据极限定

4、义，有即定理13.14(5)4.逐项求导定理注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导第十三章习题课一、主要内容二、典型例题一、函数项级数主要内容(1) 定义(2) 收敛点与收敛域(3) 和函数函数项级数的一致收敛性定义定理（魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法）一致收敛性简便的判别法：一致收敛级数的基本性质定理1定理2(4)定理3(5)注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数逐项求导后得级数所以原级数不可以逐项求导解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.二、典型例题原级数发散.收敛;发散;例2解余项的绝对值例3研究级数在区间( 0 , 1内的一致收敛性.解对于任意一个自然数因此级数在( 0, 1 )内不一致连续说明:从下图可以看出:但

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