年人教B版数学必修二讲义：第2章+23+233直线与圆的位置关系及答案

1、2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第 2 章+2.3+2.3.3 直线与圆的位置关系及答案2.3.3 直线与圆的位置关系学 习 目 标 核 心 素 养1懂得直线与圆的三种位置关系 重点 1通过直线与圆的位置关系的学习,培2会用代数法和几何法判定直线与圆 的位置关系 重点 养直观想象规律推理的数学核心素养2通过解决直线与圆位置关系的综合问3能解决直线与圆位置关系的综合问题,培育数学运算的核心素养.题难点直线与圆的位置关系的判定判定位置关系相交相切相离公共点个数2 个1 个0 个几何法：设圆心到直线的距离ddr dr dr方法|AaBbC|A 2B 2判定代数法：由AxByC02r

2、2000 xa2 yb方法消元得到一元二次方程的判别式图形1直线 3x4y50 与圆 x 2y 21 的位置关系是 A相交B相切|5| 3 24 21,又圆 x 2y 21 的C相离D无法判定B圆心 0,0到直线 3x4y50 的距离 d- 1 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案半径 r1,dr,故直线与圆相切 2设直线 l 过点 P2,0,且与圆 x 2y 21 相切,就 l 的斜率是 A1 B1 2C3 3 D 3 C 设 l：ykx2,即 kxy2k0.又 l 与圆相切, |2k| 21.k1k3 3 .

3、503直线 x2y 550 被圆 x 2y 22x4y0 截得的弦长为 A1B2 C4D4 6 C圆的标准方程为 x1 2y2 25,圆心 1,2到直线 x2y5的距离 d|12 255|1,所以弦长为 251 24. 1 22 24如直线 xym0 与圆 x 2y 22 相离,就 m 的取值范畴是 _m 2 或 m2由于直线 xym0 与圆 x 2y 22 相离,2,解得 m 2 或 m2. 所以|m| 1 21 2直线与圆位置关系的判定【例 1】已知直线方程 mxym10,圆的方程 x 2y 24x2y10.当 m 为何值时,直线与圆：1有两个公共点；2只有一个公共点；- 2 - / 10

4、 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案3没有公共点思路探究 可联立方程组, 由方程组解的个数判定,也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判定解 法一：将直线 mxym10 代入圆的方程, 化简、整理得,1m 2x 22m 22m2xm 24m40.4m3m4,当 0,即 m0 或 m4 3时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点；当 0,即 m0 或 m4 3时,直线与圆相切, 即直线与圆只有一个公共点；当 0,即4 3m0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点法二： 已知圆的方程可化为 x2 2y1 24,即圆心为 2

5、,1,半径 r2.圆心 2,1到直线 mxym10 的距离|2m1m 1| |m2|d22.1m 1m当 d2,即 m0 或 m4 3时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点；当 d2,即 m0 或 m4 3时,直线与圆相切, 即直线与圆只有一个公共点；当 d2,即4 3m0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点直线与圆的位置关系的判定方法1几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径 r 的大小关系判定2代数法：依据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判定3直线系法：如直线恒过定点,可通过判定点与圆的位置关系来判定直线与- 3 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义

6、：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案圆的位置关系,但有肯定的局限性,必需是过定点的直线系1已知圆 C 的方程是 x1 2y1 为何值时,1直线平分圆；2直线与圆相切；3直线与圆有两个公共点24,直线 l 的方程为 yxm,求当 m解1由于直线平分圆,所以圆心1,1在直线 yxm 上,故有 m0.2由于直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,|11m| 所以 d1 21 2|m| 22,m2 2,即 m2 2时,直线 l 与圆相切3直线与圆有两公共点,dr ,即|m| 22,所以 2 2m2 2时有两个公共点直线与圆相切的有关问题【例 2】过点 A4,3作圆 C：x3 2y

7、1 21 的切线,求此切线的方程思路探究 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率,进而求出切线方程解由于43 2312171,所以点 A 在圆外1如所求切线的斜率存在,设切线斜率为 k,就切线方程为 y3kx4- 4 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第 2 章+2.3+2.3.3 直线与圆的位置关系及答案由于圆心 C3,1到切线的距离等于半径,半径为 1,|3k13 4k|所以1,即 |k4|k 21,k 21所以 k 28k16k 21,解得 k15 8 .所以切线方程为 y315 8 x4,即 15x8y360.2如直线斜率不存在,圆心 C3,1到直线

8、 x4 的距离也为 1,这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是 x4.综上,所求切线方程为1点在圆上时15x8y360 或 x4. 过一点的圆的切线方程的求法求过圆上一点 x0,y0的圆的切线方程： 先求切点与圆心连线的斜率 k,再由垂直关系得切线的斜率为1 k,由点斜式可得切线方程假如斜率为零或不存在,就由图形可直接得切线方程 xx0 或 yy0.2点在圆外时1几何法：设切线方程为 可求得 k,也就得切线方程yy0kxx0由圆心到直线的距离等于半径,2代数法：设切线方程为 yy0kxx0,与圆的方程联立, 消去 y 后得到关于 x 的一元二次方程,由0 求出 k,可得切线方程提示： 切线的

9、斜率不存在的情形,不要漏解- 5 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案2求过点 1, 7且与圆 x 2y 225 相切的直线方程解由题意知切线斜率存在,设切线的斜率为k,就切线方程为 y7kx1,|k7|即 kxyk70.5,k 21解得 k4 3或 k 3 4.所求切线方程为 y74 3x1或y73 4x1,即 4x3y25 0 或 3x4y250. 圆的弦长问题探究问题 1已知直线 l 与圆相交, 如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？ 提示 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标,再利用 |AB|x2x1 2 y

10、2y1 2求弦长2如直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为 d,如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形,如下列图,求得弦长l2r2d 2. - 6 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案【例 3】 直线 l 经过点 P5,5并且与圆 C：x 2y 225 相交截得的弦长为 4 5,求 l 的方程思路探究 设出点斜式方程, 利用 r、弦心距及弦长的一半构成三角形可求解 据题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y5kx5,与圆 C相交于 Ax1,y1,Bx2,y2,法一： 联立方

11、程组y5k x5 ,x 2y 225.消去 y,得 k 21x 210k1kx25kk2 0.由 10k1k 24k 21 25kk20,10k 1k解得 k0.又 x1x2,k 2125k k2x1x2,k 21由斜率公式,得 y1y2kx1x2|AB|x1x2 2 y1y2 21k 2 x1x2 21k 2 x1x2 24x1x22100k 2 1k 225k k21kk 21 24k 214 5.两边平方,整理得2k 25k20,解得 k1 2或 k2 符合题意故直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50.法二 ：如下列图,|OH|是圆心到直线 l 的距离,|OA|是圆的半径, |A

12、H|是弦长 |AB|的一半- 7 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案在 Rt AHO 中,|OA|5,|AH|1 2|AB|1 2 4 52 5,就|OH|OA| 2|AH| 25.|5 1k |k 215,解得 k1 2或 k2.直线 l 的方程为 x2y50 或 2xy50. 1圆心坐标为 2,1的圆在直线 xy10 上截得的弦长为 2 2,就此圆的方程为 _x2 2y1 24.圆心到直线的距离d|211|22,由于弦长距 d、半径 r 及弦长的一半构成直角三角形,所以r2d 2 2 24,所以所求圆的方程是

13、x2 2y1 24. 2经过点 P2,1且被圆 C：x 2y 26x2y150 所截得的弦长最短,求此时直线 l 方程解 圆的方程为 x3 2y1 225.圆心 C3,1所以点 P 在圆内当 CPl时,弦长最短又 kCP11322.所以 kl1 2,所以直线 l 的方程为 y11 2x2,即 x2y0. - 8 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案直线与圆相交时弦长的两种求法1几何法：如图 1,直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心距为 d,圆的半径为 r,弦长为 |AB|,就有 |AB|2 2d 2r 2

14、,就 |AB|2 r 2d 2.图 1 图 2 2代数法：如图 2 所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是Ax1,y1,Bx2,y2,就 |AB|x1x22 y1y221k 2|x1x2|11 k 2|y1y2|直线 l 的斜率 k 存在且不为 01本节课的重点是懂得直线和圆的三种位置关系,会用圆心到直线的距离来判定直线与圆的位置关系,能解决直线与圆位置关系的综合问题难点是解决直线与圆的位置关系2本节课要重点把握的规律方法1直线与圆位置关系的判定方法2求圆的切线的方法3求直线与圆相交时弦长的方法3本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况1判定 正确的

15、打“ ” ,错误的打“ ” 1假如直线与圆组成的方程组有解,就直线与圆相交或相切 2如直线与圆只有一个公共点,就直线与圆肯定相切 - 9 - / 10 2022-2022 年人教 B 版数学必修二讲义：第2 章+2.3+2.3.3直线与圆的位置关系及答案答案122已知直线 axbyc0ab 0与圆 x 2y 21 相切,就三边长分别为 |a|,|b|,|c|的三角形是 B直角三角形 A锐角三角形C钝角三角形D不存在B由题意知,a |c|2b 21,a 2b 2c 2,因此三角形为直角三角形3由点 P1,3引圆 x 2y 29 的切线段的长是 _1点 P 到原点 O 的距离为 |PO|10,r3,且 P 在圆外